小題回歸課本本源，讓復習在變式中綻放精彩

☉甘肅省渭源縣第一中學 何偉軍

普通高中《數(shù)學課程標準》指出：“高中數(shù)學課程應力求通過各種不同形式的自主學習、探究活動，讓學生體驗發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，發(fā)展他們的創(chuàng)新意識.”數(shù)學“變式教學”也是順應“體驗發(fā)現(xiàn)”“再創(chuàng)造”絕好的手段.“水本無華，相蕩乃成漣漪；石本無火，相擊乃發(fā)靈光”.學生思想上泛起“漣漪”，思維上閃爍的“靈光”就需要“變式教學”的激活.筆者通過對一道高考填空題一題多解的探究及精心設計變式題、拓展源于課本的知識點，以及在解題中頻繁運用這些知識點的方法，找到解決問題的通性通法，激發(fā)學生的求知熱情，演繹出小題在變式中出彩的高效例題教學.

一、試題呈現(xiàn)

試題分析：本題是2013年全國新課程卷Ⅱ理科第15題，屬于一道填空題，處于分題把關“翹尾巴”的題.本題主要考查兩角和的正切公式及同角的三角函數(shù)公式，考查化歸與轉化思想、方程與函數(shù)思想，考查意圖非常明顯.從題設到求解目標不難可找到解決問題的“切入點”，容易解答，但深入、全方位探究發(fā)現(xiàn)，本題雖小，不妨從解題方法及其變式兩個方面進行大做，“大有可為”，頓感又榮光異彩.

二、解法探究

探究多種解法，有助于提高學生解題的能力，掌握從不同角度“切入”方法，促進學生分析問題和解決問題的能力；在體驗解題的策略與過程中，引發(fā)學生的發(fā)散性思維，感受變式探究樂趣的同時，優(yōu)化了學生思維品質，培養(yǎng)了學生的創(chuàng)新能力.

評注：利用“湊角”易求得角θ的正切值，巧妙地將未知三角函數(shù)式平方，再利用“1”（sin2α+cos2α=1）的代換，將弦轉化為切，直接代入求解，真讓人感到基礎與技能“比翼齊飛”.

所以（cosθ-sinθ）2+（cosθ+sinθ）2=2=5（cosθ+sinθ）2，所以（cosθ+sinθ）2=.又因為θ是第二象限角，所以sinθ+ cosθ＜0，所以sinθ+cosθ=-

評注：化異名為同名是解決此問題的“切入點”和“落腳點”，關注點是判斷sinθ+cosθ的正負.構建一個恒等式（cosθ-sinθ）2+（cosθ+sinθ）2=2=5（cosθ+sinθ）2，搭建起未知與已知的橋梁.

評注：定義法乃是解決各類數(shù)學問題的根本大法，首當其沖，在解題教學中應引起我們的足夠重視.

三、變式探究、精彩生成

所謂的變式教學是指教師有目的、有計劃地對命題進行合理的轉化.對已有的問題進行改造、拓寬，不僅能開拓學生的解題思路，而且能達到講一題、會一類題的效果.三角函數(shù)主要從“角”、“函數(shù)名”兩個角度展開研究，針對此題，筆者給出如下變式：

評注：直接用兩角和的正切公式化為關于以未知三角函數(shù)為變元的方程求解.

評注：直接給出角θ的正切值，利用兩角和的正切公式可以求tan（ θ+），還可以利用二倍角的正、余弦公式將代值求解即可，化“未知”為“已知”是關鍵，這正是2015年廣東文第16題.對于三角變換，只要求掌握最基本的公式和簡單的應用，不需要太多的變換技巧和煩瑣的變形計算.

評注：逆向思考，變換原題的條件和結論，是變式常用的手段.

變式6已知角θ的頂點與原點重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊在直線y=-x上，則cos2θ等于（）.

評注：此題由2011年高考新課標卷Ⅰ理第5題改編而來，只要緊緊抓住任意角的三角函數(shù)的定義或直線的斜率得知tanθ=-，然后化弦為切可達目標，即cos2θ=.故選D.

評注：此題為2015年高考浙江卷第16題的第（1）問，在三角形這個特定的條件下，由已知求得tanA=，再將未知式化為含tanA的式子求解即可，突出對運算能力的考查.

評注：此題改編后是2011年高考江蘇卷第7題，只改為填空題，現(xiàn)將未知三角函數(shù)式化簡為（1-tan2θ），然后求解得.

評注：此題是2009年高考陜西卷第7題，將未知的三角函數(shù)式進行“1”的代換后化為關于tanθ的三角函數(shù)式，再將tanθ=-代入即可.

變式10已知3sinθ+cosθ=0，則2sinθcosθ-cos2θ的值是_________.

評注：此題由2015年高考四川卷（文）第13題改編，由已知得tanθ=-，再將未知的三角函數(shù)式化為含tanθ

的三角函數(shù)式可求解.

評注：此題是2013年高考浙江卷理科第6題，若選擇方程思想，將原式與sin2θ+cos2θ=1聯(lián)立得所以tanθ=3或tanθ= -，所以tan2θ=-.本題亦可用兩邊平方法得1+ 3cos2θ+4sinθcosθ=，考慮到所求角為2θ，則采用降冪公式、逆用二倍角公式，可化為3cos2θ+4sin2θ=0，兩邊同除以cos2θ得tan2θ=-.尋找角的差異，并對角的變式也是命題者常用的命題方式，此題的設置，其用意在于用平方法整理后式子的右邊為0，降低試題難度.

評注：此題是2012年高考遼寧卷理科第7題，將已知三角恒等式化為關于tanθ為變元的方程求解即可，式變但維系“弦切互化”，方程思想的魂在.

四、追根溯源，充分發(fā)揮“四題”的功能

課本是經過資深專家們深思熟慮、千錘百煉而成，汲取了幾十年課程改革的經驗.課本安排了一定數(shù)量的例題、練習題、習題和復習參考題（簡稱課本“四題”），這些題目是各類考題的“題源”，都具有很強的典型性、針對性、示范性和關聯(lián)性，它們或滲透著某些數(shù)學方法，或體現(xiàn)了某種數(shù)學思想，或提供某種結論，往往我們不夠重視，以“課本題簡單，不足以應對高考”而忽視課本“四題”的演練.人教A版數(shù)學必修④P21習題1.2A組第12題：已知求cosα-sinα的值.2013年全國新課程卷理科第15題題目條件和所求幾乎一樣，命制者只是改動了數(shù)字和符號，變?yōu)橐坏罉O具代表性的三角函數(shù)題，可見命題者的良苦用心.

又如2015年江蘇卷第8題：已知tanα=-2，tan（α+β）=，則tanβ的值為________；

2015年重慶卷（文）第6題：若tanα=1，tan（α+β）=

以上三題均由人教A版數(shù)學必修④P137習題3.1A組第9題、第17題、P71復習參考題B組第4題改編，其實質是配角法，利用兩角和的正切公式、同角三角函數(shù)間的基本關系和倍角公式求值.因此充分認識“四題”本身所蘊含的價值，只有充分發(fā)揮課本“四題”的基礎作用及支柱功能，才能全面、系統(tǒng)地掌握基礎知識和通性通法，構建數(shù)學的知識網絡，以不變應萬變；吃透課本上的例習題不僅僅是解題能力的生長點，也是高考試題的生長點.

五、結束語

高三復習必須重視對課本習題的變式研究，重視對往年高考試題的研究！高考試題凝結了命題專家巨大的智慧和心血，具有深刻的背景和豐富的內涵，命題專家一直重視經典課本題的傳承、重視對往年高考題的傳承和相互借鑒，穩(wěn)中求進，因此，這些題應是備考者首選研究的試題；同時我們注意看到課本“四題”是高考命題人和考生共有的“資源”、“財富”，對課本原題的變形、改造及綜合，彰顯“源于課本，高于課本”的命題原則，高考題深，課本生根；課本“四題”，鏈接高考，所以一線教師研究“四題”和高考題成為一種備考習慣，重視“四題”和高考試題潛在功能的挖掘和利用；重視變式訓練，觸類旁通，優(yōu)化學生思維品質，減輕學生負擔，讓小題在變式中綻放精彩.

1.中華人民共和國教育部.普通高中課程標準（實驗）［M］.北京：人民教育出版社，2004.

2.倪月英.挖掘課本習題的價值［J］中學數(shù)學（上），2015（12）.

3.何偉軍.善變陳題，觸類旁通，精于設計［J］.中學教研（數(shù)學），2016（10）.