☉重慶復(fù)旦中學(xué) 簡榆新

關(guān)注教材旁白浸潤數(shù)學(xué)文化提升核心素養(yǎng)*
——由“數(shù)列”中的一個旁白引發(fā)的思考

☉重慶復(fù)旦中學(xué) 黃益全

☉重慶復(fù)旦中學(xué) 簡榆新

一、問題源起

1.關(guān)注教材旁白，拓展教學(xué)空間

在人教A版教材必修5［1］P29例1的旁邊，教材編者給出了一個旁白“根據(jù)數(shù)列的前若干項寫出數(shù)列的通項公式的形式唯一嗎？請舉例說明.”教材P32“閱讀與思考”欄目又提供了“斐波那契數(shù)列”的閱讀材料.數(shù)學(xué)教材中“旁白”“閱讀與思考”等拓展欄目的素材常成為教師彰顯自身教學(xué)風(fēng)格的“自留地”，既拓展了教師的教學(xué)空間，又為學(xué)生自主學(xué)習(xí)搭建了平臺，滲透著數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)思想，融理性思辨與實踐智慧于一體，同時也是高考命題專家比較青睞的命題素材.可以說，教材“旁白”等拓展欄目及教材中的數(shù)學(xué)史料在積淀學(xué)生數(shù)學(xué)文化、提升學(xué)生核心素養(yǎng)方面起著相當(dāng)重要的作用.教材沒有太多的筆墨，但教師卻不能沒有思考.

2.浸潤數(shù)學(xué)文化，提升核心素養(yǎng)

目前，新一輪課程改革正在積極醞釀中，中國基礎(chǔ)教育課改正處于“再出發(fā)”階段，與之相伴的則是核心素養(yǎng)的提出.數(shù)學(xué)課標(biāo)修訂組提出了六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析，它是五大基本能力（空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力和數(shù)據(jù)處理能力）的延續(xù)和深化.學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)應(yīng)當(dāng)依托一定的載體，以構(gòu)建“數(shù)學(xué)文化背景下的思維活動”為價值取向的教學(xué)設(shè)計是一種較好的選擇［2］.在文化取向的教學(xué)設(shè)計中，我們的課堂教學(xué)不僅僅關(guān)注知識，還包括知識在內(nèi)的整個文化.

二、旁白引發(fā)的思考

1.通項公式顯魅力，深探妙賞育素養(yǎng)

數(shù)列的通項公式相當(dāng)于函數(shù)的解析式，有了它，無異于抓住了數(shù)列的全貌，為我們計算數(shù)列的任意項和研究數(shù)列的性質(zhì)提供了一個關(guān)鍵的抓手.那么“根據(jù)數(shù)列的前若干項寫出數(shù)列的通項公式的形式唯一嗎？”事實上，除等差數(shù)列、等比數(shù)列和一些項與序號n的函數(shù)關(guān)系明顯的數(shù)列，可以直接憑歸納法寫出通項公式外，一般有限數(shù)列通項公式的獲取，其途徑豐富多彩，過程妙趣橫生.

例1數(shù)列｛an｝由1，-1，1，-1，…交替構(gòu)成，其通項公式可表示為an=（-1）n+1，或an=cos（n+1）π，或an=sin或，也可表示為

以上構(gòu)建過程均不失嚴(yán)謹(jǐn)，從不同角度體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的抽象美.

例2斐波那契數(shù)列的前三項：1，1，2，我們可以設(shè)an=an2+bn+c，其圖像過點（1，1），（2，1），（3，2），那么an的表達(dá)式不也是該數(shù)列的通項公式嗎？［3］

再看該數(shù)列的前四項：1，1，2，3.在以上解法的基礎(chǔ)上，可設(shè)前四項的通項公式為an=an3+bn2+cn+d，則有

顯然，前后兩個通項公式大相徑庭，但卻都滿足前三項.實際上，斐波那契數(shù)列還有一個完整的通項公式：至此，有限數(shù)列通項公式不唯一的問題得以佐證.

這個問題引發(fā)了我們無限的遐想和追問：對于任意有限數(shù)列“a1，a2，…，an”，是否總可以構(gòu)造一個次數(shù)至多是n-1次的多項式函數(shù)an=f（n），使其圖象經(jīng)過n個點A1（1，a1），A2（2，a2），…，An（n，an）呢？答案是肯定的.同時，我們還可以發(fā)現(xiàn)，在有限數(shù)列“a1，a2，…，an”之后任意增補(bǔ)一項an+1，都可得新數(shù)列的通項公式，該公式又同時是原數(shù)列“a1，a2，…，an”的通項公式，所以，數(shù)列“a1，a2，…，an”的通項公式隨增項an+1的變化而變化，于是，可得數(shù)列的通項公式有無限多個.

以上構(gòu)建多元方程組模型來確定有限數(shù)列通項公式的方法，對于缺乏線性代數(shù)基礎(chǔ)的中學(xué)生而言，有較大的計算障礙.那么，能否規(guī)避障礙，讓中學(xué)生在充滿樂趣的心境中解決問題呢？答案是肯定的.事實上，早在18世紀(jì)，法國數(shù)學(xué)家拉格朗日就為中學(xué)生提供了一個可以掌握的、萬能的插值公式［4］.

按照拉格朗日插值公式的構(gòu)想，設(shè)an=f（1n）×（-1）+ f（2n）×π+f（3n）×10+f（4n）×，只需想法做到f（in）=，an的表達(dá)式即為所求.那么，f（in）如何構(gòu)造呢？

事實上，只需取f1（

因此，對于任意k階有限數(shù)列，只需構(gòu)造an=f（n）=，其中

至此，任意有限數(shù)列的通項公式的存在性與構(gòu)造性問題得以解決.其中，fi（n）（i，n=1，2，3，4，…，k）的構(gòu)建，更展現(xiàn)了數(shù)列的韻律美，使運算過程充滿了情趣.

2.數(shù)學(xué)文化入高考，核心素養(yǎng)潤無聲

事實上，高考試題中也常出現(xiàn)數(shù)列通項公式的背影，學(xué)生在解答高考試題的同時，對古典數(shù)學(xué)及數(shù)學(xué)文化進(jìn)行了悄無聲息的浸潤.

例4［2008湖北卷理15題］觀察下列等式：

解析：由觀察可知，當(dāng)k≥2時，每一個式子的第三項的系數(shù)是成等差數(shù)列的，所以，第四項均為零，所以ak-2=0.

評注：此試題的命制背景是基于正整數(shù)冪和等式.設(shè)k，n為整數(shù)，n≥1，k≥1，記Sk（n）=1k+2k+3k+…+nk，規(guī)定S（0，k）=0，稱S（n，k）=Sk（n）為前n個正整數(shù)的k次方冪和.正整數(shù)冪和的研究是一個古老而極具魅力的數(shù)論問題，它與G.Giuga猜想、偽素數(shù)、費馬數(shù)、伯努利數(shù)等都有關(guān)系，長期吸引著古今中外眾多杰出數(shù)學(xué)家如阿基米德、朱世杰、歐拉、陳景潤等傾心研究.13+23+33+…+n3=（1+2+ 3+…+n）2是著名華裔數(shù)學(xué)家陶哲軒少年時期最鐘愛的冪和恒等式.中國清代著名數(shù)學(xué)家李善蘭先生也研究過冪和正整數(shù)，并于1859年在《垛積比類》一書中首次提出了“李善蘭恒等式的組合公式”：該式馳名中外，自20世紀(jì)30年代以來，受到國際數(shù)學(xué)界的普遍關(guān)注和贊賞.

例5（2012湖北卷文17題）傳說古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上面畫點或用小石子表示數(shù).他們研究過如下圖所示的三角形數(shù)：

將三角形數(shù)1，3，6，10，記為數(shù)列｛an｝，將可被5整除的三角形數(shù)按從小到大的順序組成一個新數(shù)列｛bn｝，可以推測：

（1）b2012是數(shù)列｛an｝中的第_____項；（2）b2k-1=______.（用k表示）

解析：由以上規(guī)律可知三角形數(shù)1，3，6，10，…，的一個通項公式為寫出其若干項有：1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，105，110，發(fā)現(xiàn)其中能被5整除的為10，15，45，55，105，110，故b1=a4，b2=a5，b3=a9，b4=a10，b5=a14，b6=a15.

故b2012=a2×1006=a5×1006=a5030，即b2012是數(shù)列｛an｝中的第5 030項.

評注：事實上，公元前6世紀(jì)，還沒有紙，用小石子來研究數(shù)的性質(zhì)，既方便又直觀，也是認(rèn)識數(shù)的一種有趣方法.英語中的“計算”（Calculation）一詞來源于拉丁文“Calculus”，是小石子的意思.最早把正整數(shù)和幾何圖形聯(lián)系在一起的是古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，他們把數(shù)描繪成沙灘上的小石子，又按小石子所能排列的形狀，把正整數(shù)與正三角形、正方形……等圖形聯(lián)系起來，將數(shù)分為三角形數(shù)、正方形數(shù)……這樣一來，抽象的正整數(shù)就有了生動的形象，尋找它們之間的規(guī)律也就容易多了.以此為原形編制的高考試題在考查學(xué)生觀察問題、分析問題、解決問題的能力及歸納推理能力、猜想能力的同時，也讓學(xué)生感受古代數(shù)學(xué)家的智慧.真可謂“小石子中蘊藏大天地”！

例6（2013湖北卷理14題）古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家研究過各種多邊形數(shù).如三角形數(shù)1，3，6，10，…，第n個三角形數(shù)為記第n個k邊形數(shù)為N（n，k）（k≥3），以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個數(shù)的表達(dá)式：三角形數(shù)

正方形數(shù)N（n，4）=n2，

六邊形數(shù)N（n，6）=2n2-n，

……

可以推測N（n，k）的表達(dá)式，由此計算N（10，24）= _______.

評析：此例以“形數(shù)”知識為背景，有著深厚的文化底蘊，如三角平方數(shù)構(gòu)成的數(shù)列的通項公式為fn=·另外斐波那契數(shù)列的通項公式為，這兩個含有無理數(shù)的通項公式，給出的解卻都是正整數(shù)，神奇之處如此一致，不得不令人嘆服！

在前幾年的高考自主命題中，湖北省對數(shù)學(xué)文化的考查可謂獨樹一幟，從教材正文、教材旁白、閱讀與思考等拓展欄目，到傳世名著、古典數(shù)學(xué)史料、數(shù)學(xué)猜想、歷史名題等，都成為湖北省命制高考數(shù)學(xué)試題的素材，由此逐漸形成了“依托數(shù)學(xué)史料，嵌入數(shù)學(xué)名題，彰顯數(shù)學(xué)文化”的鮮明特色.

人教A版高中數(shù)學(xué)教材非常關(guān)注對學(xué)生數(shù)學(xué)文化的熏陶和感染，在必修5中多次出現(xiàn)了古代數(shù)學(xué)家研究數(shù)學(xué)問題的文化背景，如P28畢達(dá)哥拉斯學(xué)派研究三角形數(shù)和正方形數(shù)，P30“謝賓斯基（Sieipinski）三角形”，P32“斐波那契數(shù)列”，P42“高斯求和”問題，P48以我國古代學(xué)者在《莊子.天下篇》中的一句話：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭.”來引入等比數(shù)列，P55以國際象棋起源的故事引入等比數(shù)列求和問題，P59中國古老智力游戲“九連環(huán)”等.例5、例6就取材于此，這類試題“巧妙地將數(shù)列問題融于其中，要求考生充分挖掘信息，根據(jù)圖形規(guī)律歸納推理出數(shù)量關(guān)系.既合理引用了經(jīng)典史料，又不刻意增加難度，同時對考生的‘?dāng)?shù)感’進(jìn)行了有效的考查，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)史的背景中體會數(shù)學(xué)的文化價值.”［5］與此同時，學(xué)生的六大核心素養(yǎng)在悄無聲息中得以提升.教師如能對教材中的這些內(nèi)容加以關(guān)注，通過課堂教學(xué)和選修課加以拓展，則是培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的一種重要途徑.

三、結(jié)束語

隨著素質(zhì)教育的深入推進(jìn)和立德樹人教育改革目標(biāo)的實施，學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)已正式提上日程，數(shù)學(xué)文化也將漸入高中數(shù)學(xué)課堂.核心素養(yǎng)理念支撐下的數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)是以知識教學(xué)為核心的文化教學(xué)，是數(shù)學(xué)文化背景下的思維活動，是孕育學(xué)生核心素養(yǎng)的重要載體之一.關(guān)注和培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的課堂，不應(yīng)忽視教材的拓展性欄目.誠然，自新課程改革以來，課時緊張，高考壓力增大是不言的事實.但對學(xué)生核心素養(yǎng)的浸潤和培養(yǎng)更是我們中學(xué)數(shù)學(xué)教師不二的選擇.在不斷重視過程性教學(xué)和學(xué)科核心素養(yǎng)的今天，我們的課堂教學(xué)要對局部核心知識的學(xué)習(xí)、重要數(shù)學(xué)方法的體驗、拓展欄目涉及的古典數(shù)學(xué)史料的追尋等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程以“慢”來浸潤，需要有意拉長被壓縮了的思維過程和數(shù)學(xué)發(fā)展歷程來豐富學(xué)生發(fā)現(xiàn)、探索、體驗的過程，提供文化背景，創(chuàng)建文化氛圍，挖掘文化內(nèi)涵，浸潤文化根基，促使學(xué)生在思維的慢鏡頭和歷史的長河中感知、體驗數(shù)學(xué)及數(shù)學(xué)文化.教師可以通過開設(shè)選修課，以小專題形式對教材拓展欄目的內(nèi)容加以深化、拓展，開闊學(xué)生視野，豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)意識，增強(qiáng)數(shù)學(xué)文化的感染力和滲透力，為提升學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)做應(yīng)有的努力.

1.人民教育出版社等.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書（A版）：數(shù)學(xué)5（必修）［M］.北京：人民教育出版社，2007.

2.陳敏，吳寶瑩.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)——從教學(xué)過程的維度［J］.教育研究與評論.中學(xué)教育教學(xué)，2015（4）.

3.孫泰.數(shù)列好玩［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬），2015（4）.

4.連春興.一個可被中學(xué)生掌握的插值公式［J］.數(shù)學(xué)通報，1990（3）.

5.梅磊.題題充滿數(shù)學(xué)味十年辛苦不尋常——十年高考數(shù)學(xué)湖北卷“亮點”題賞析［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2014（1）.

*本文系重慶市教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃2015年度基礎(chǔ)教育課程改革專項重點課題“人教版初高中數(shù)學(xué)課標(biāo)教材中旁白的功能價值與教學(xué)應(yīng)用研究”（課題批準(zhǔn)號：2015-JC-041，課題負(fù)責(zé)人：黃益全）研究成果.