梁昌金

我們默認自然數(shù)不包含0，用符號N表示全體自然數(shù)組成的集合.如果一個自然數(shù)p的因子只有1和p本身，我們就稱p為素數(shù).素數(shù)，又稱之為質(zhì)數(shù).默認在自然數(shù)中，1不是素數(shù).我們稱自然數(shù)中其它非1、非素數(shù)的數(shù)為合數(shù).所以根據(jù)我們的定義，1既不是素數(shù)也不是合數(shù).在下面的討論中，我們把素數(shù)按照遞增的順序?qū)懗梢粋€序列：p1=2，p2=3，p3=5，p4=7，…，pn，….素數(shù)在自然數(shù)中占有重要的地位.回顧一下數(shù)的發(fā)展歷史，整數(shù)的求逆運算使得數(shù)從自然數(shù)發(fā)展到全體整數(shù).為了使乘除法在數(shù)中有良好的定義，數(shù)又從整數(shù)擴充到有理數(shù).數(shù)從有理數(shù)到實數(shù)的擴充，可以理解為有理數(shù)的完備化過程.物理天文等進一步研究需求的產(chǎn)生，使得數(shù)又從實數(shù)擴充到復數(shù).如果把復數(shù)看成一個物體，實數(shù)、有理數(shù)、整數(shù)、自然數(shù)等可以看成這個物體的一些基本的組成部件.下面定理使得我們可以將自然數(shù)看成全體素數(shù)的乘積，即素數(shù)可以看成自然數(shù)的組成“元素”，即從素數(shù)出發(fā)可以構(gòu)造出全體復數(shù)！算數(shù)基本定理設(shè)n為一個大于1的自然數(shù)，則有

n=p1p2…ps，其中s為某自然數(shù)，pj（1≤j≤s）是素數(shù)，并且在不記素數(shù)排列次序的意義下，上式分解是唯一的.素數(shù)在實際中也有很多應用.在密碼學中，一些公鑰加密體系就是將想要傳遞的信息在編碼時加入質(zhì)數(shù)計算，編碼之后傳送給收信人，任何人收到此信息后，若沒有此收信人所擁有的密鑰（某個素數(shù)），將會因為找質(zhì)數(shù)的過程（分解質(zhì)因數(shù)）過久而使取得的信息也會無意義.在汽車變速箱齒輪的設(shè)計上，相鄰的兩個大小齒輪齒數(shù)最好設(shè)計成質(zhì)數(shù)，以增加兩齒輪內(nèi)兩個相同的齒相遇嚙合次數(shù)的最小公倍數(shù)，可增強耐用度減少故障.在害蟲的生物生長周期與殺蟲劑使用之間的關(guān)系上，殺蟲劑的質(zhì)數(shù)次數(shù)的使用也得到了證明.實驗表明，質(zhì)數(shù)次數(shù)地使用殺蟲劑是最合理的：都是使用在害蟲繁殖的高潮期，而且害蟲很難產(chǎn)生抗藥性.以質(zhì)數(shù)形式無規(guī)律變化的導彈和魚雷可以使敵人不易攔截.多數(shù)生物的生命周期也是質(zhì)數(shù)（單位為年），這樣可以最大程度地減少碰見天敵的機會.關(guān)于素數(shù)有無窮多個的證明，早期經(jīng)典的證明可以追溯到歐幾里德（Euclid）的《幾何原本》.這也用到了數(shù)學中的反證法.

證法1（Euclid的證明）：假設(shè)p12，則整數(shù)N-1為一些素數(shù)的乘積，從而必有某個pi為N的素因子，所以pi整除N-（N-1）=1，矛盾.證法3（Harmite的證明）考慮任意的正整數(shù)n，只需證明必存在大于n的素數(shù)即可.為此，考慮P=n！+1，若P為素數(shù)，則結(jié)論成立.若P為合數(shù)，則P必存在比n大的素因子.利用上面證明思想還引發(fā)出一些有趣的數(shù)論問題.比如，考慮序列q1=2，q2=3，q3=7，q4=43，q5=139，q6=50207，q7=340999，…，其中qn+1是q1q2…qn+1的最大素因子（從而qn+1≠q1q2…qn）.可以考慮序列（qn）n≥1是否含有所有素數(shù)？是否有無窮多個素數(shù)不在序列中？這個序列是否是單調(diào)遞增的？類似的，還可以考慮序列：l1=2，l2=3，l3=7，l4=43，l5=13，l6=53，l7=5，l8=6221271，…，一般地，ln+1是l1l2…ln+1的最小素因子，是不是每一個素數(shù)都屬于這個序列？1985年，Odoni考慮一個類似的序列：w1=2，w2=3，…，wn+1=w1w2…wn+1.他證明了存在無窮多個素數(shù)不是此序列中任何一項的因子，也存在無窮多個素數(shù)至少是此序列中某項的因子.這也證明了素數(shù)有無窮多個.更一般的有Dirichlet的素數(shù)定理，即當正整數(shù)h和k滿足（h，k）=1時，算數(shù)序列h，h+k，h+2k，…，h+nk，…中有無窮多個素數(shù).