許惠芳+廖江鋒

摘要：“好的開(kāi)端等于成功了一半”，成功的課題引入能夠集中學(xué)生的注意力，為學(xué)生提供適宜的學(xué)習(xí)情境，激發(fā)學(xué)生的求知欲和調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。由于微課的時(shí)間短，形式新，能很好的吸引學(xué)生的注意力，促進(jìn)學(xué)生自主學(xué)習(xí)。在溫故知新、探究新知這個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中我插入了微課，在微視頻中復(fù)習(xí)鞏固相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)，為本節(jié)課的學(xué)習(xí)做好鋪墊。

關(guān)鍵詞：直線；圓；位置；練習(xí)

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)識(shí)別碼：A 文章編號(hào)：1001-828X（2016）030-000-02

2016年3月，在我校舉行的上課比賽中，筆者執(zhí)教了《直線與圓的位置關(guān)系》（高等教育出版社出版的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)模塊下冊(cè)第八章第四節(jié)），現(xiàn)將本節(jié)課的教學(xué)過(guò)程記錄下來(lái)，旨在與同行們交流、切磋，不妥之處，歡迎大家批評(píng)指正。

一、課堂實(shí)錄

（一）導(dǎo)入

1.創(chuàng)設(shè)情境，興趣導(dǎo)入

先利用多媒體展示幾張福建福安白云山日出的圖片。

師：請(qǐng)同學(xué)們說(shuō)說(shuō)在日出的過(guò)程中太陽(yáng)和地平線有怎樣的位置關(guān)系？從日出這種自然現(xiàn)象中可以抽象出哪些基本的幾何圖形？

生：可以將太陽(yáng)抽象成圓，地平線抽象成直線。

（地平線）

2.探索發(fā)現(xiàn)

教師在黑板上畫(huà)一條直線，并拿圓環(huán)在直線上移動(dòng)。

師：觀察剛才老師的操作演示，直線與圓有幾種位置關(guān)系？都是什么？

生：三種：相交、相切、相離。

師：回答的真棒！這就是我們本節(jié)課將要研究學(xué)習(xí)的內(nèi)容《直線與圓的位置關(guān)系》（出示本課課題）?，F(xiàn)在請(qǐng)?jiān)诒咀由袭?huà)一個(gè)圓，把直尺的邊緣看成一條直線，平移直尺，并畫(huà)出直線與圓的三種位置關(guān)系，接著在圖上畫(huà)出該圓的圓心到三條直線的距離。

（二）溫故知新，探究新知

師：點(diǎn)與圓有幾種位置關(guān)系？

生：三種。

師：都是哪三種？

生：點(diǎn)在圓外，點(diǎn)在圓內(nèi)，點(diǎn)在圓上。

師：怎樣判定點(diǎn)和圓的位置關(guān)系？

生：當(dāng)點(diǎn)到圓心的距離大于圓的半徑時(shí)，點(diǎn)在圓外；當(dāng)點(diǎn)到圓心的距離等于圓的半徑時(shí)，點(diǎn)在圓上；當(dāng)點(diǎn)到圓心的距離小于圓的半徑時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi)。

師：回答的真棒！能否類(lèi)比點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判定方法來(lái)判定直線與圓的位置關(guān)系呢？

（先讓學(xué)生思考討論，再微課播放直線與圓的位置關(guān)系的判定方法之一：用兩者公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來(lái)區(qū)分：有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)直線與圓相交；只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)直線與圓相切；沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí)直線與圓相離。）

（微課播放直線與圓的位置關(guān)系的判定方法之二：用圓心到直線的距離d與半徑r的大小關(guān)系來(lái)區(qū)分：dr時(shí)直線與圓相離。）

師：以上兩種方法在解題中哪種方法更好用？

生：第二種

師：為什么？

生：只要算出d的大小，再與r比較下就行了。

師：好！那本節(jié)課我們將用第二種方法進(jìn)行解題。在解題之前先回顧下點(diǎn)到直線的距離公式。

師：點(diǎn)P0（a，b）到直線Ax+By+C=0的距離d=？

生：d=

師： 設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（x-a）2+（y-b）2=r2 ，則圓心C（a，b）到直線Ax+By+C=0的距離為d=？

生：d=

師：很好！比較d與r的大小，就可以判斷直線與圓的位置關(guān)系。

（三）典型例題，鞏固新知

例1 判斷下列直線與圓的位置關(guān)系：

（1）直線x-y+3=0，圓（x-1）2+（y-1）2=9

（2）直線3x+y-5=0，圓x2+y2-10y=0

解：（1）由方程（x-1）2+（y-1）2=9知，圓的半徑r=3，圓心為點(diǎn)C（1，1），圓心C到直線x-y+3=0的距離d=，由于d

（2）將方程x2+y2-10y=0化成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，得x2+（y-5） 2=25

因此，圓心為點(diǎn)C（0，5），半徑r=5，圓心到直線3x+y-5=0的距離為d=，由于d

由例題引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)出用d與r的比較大小判斷直線與圓的位置關(guān)系，通過(guò)例題深化學(xué)生對(duì)點(diǎn)到直線距離的理解，加深印象，從而突破重點(diǎn)

（四）知識(shí)鞏固 應(yīng)用提升

例2 過(guò)點(diǎn)P（1，-1）作圓x2+y2-2x-2y+1=0的切線，試求切線方程

分析 求切線方程的關(guān)鍵是求出切線的斜率k，可以利用圓心到切線的距離等于半徑的條件來(lái)確定 k.

解：設(shè)所求切線的斜率為k，則切線方程為y+1=k（x-1），

即圓x2+y2-2x-2y+1=0的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-1）2+（y-1）2=1

所以圓心為點(diǎn)C（1，1），半徑r=1。如右圖所示：

作出圓及其過(guò)點(diǎn)P的兩條切線。圓心到切線的距離為d=，由于圓心到切線的距離與半徑相等，所以，解得k=故所求切線方程為即或.

例3 （2016年福建省高職招考的最后一題）：如圖所示，點(diǎn)A（6，0），B（0，8），求：

（1）線段AB中點(diǎn)C的坐標(biāo)及線段AB的長(zhǎng)度|AB|.

（2）以線段AB為直徑的圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（3）過(guò)點(diǎn)P（-2，-6）與圓C相切的直線方程。

解：（1） 因?yàn)辄c(diǎn)A（6，0），B（0，8），

所以線段AB中點(diǎn)的坐標(biāo)為C（3，4）。

線段AB的長(zhǎng)度|AB|=

（2）依題意得：

所求圓的圓心坐標(biāo)為C（3，4）.半徑r=|AB|=5

所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.

（3）設(shè)所求的切線斜率為k，則所求的切線方程為y+6=k（x+2）

即kx-y+2k-6=0

由d=r，得d=，解得：k=

所以所求的切線方程為y+6=（x+2）.即3x-4y-18=0

因?yàn)辄c(diǎn)P（-2，-6）在圓外，切線有兩條，所以另一條切線的斜率k不存在，切線方程為x+2=0，綜上所述，所求的切線方程為3x-4y-18=0或x+2=0。

（五）應(yīng)用知識(shí)， 強(qiáng)化練習(xí)

（1）判斷直線y=與圓（x-4）2+y2=4的位置關(guān)系

（2）求以點(diǎn)C（2，-1）為圓心，且與直線2x+5y=0相切的圓的方程

師：（1）題與上面例1一樣嗎？

生：差不多，只是數(shù)字不同。

生：還有直線方程的表示形式也不同

師：觀察的真好！能直接用點(diǎn)到直線的距離公式嗎？

生：不能，直線方程不是一般式，要轉(zhuǎn)換成一般式才能用公式。

師：回答的真棒！在應(yīng)用點(diǎn)到直線的距離公式中，直線方程必須為一般式方程。本題的直線方程轉(zhuǎn)換成一般式方程后是什么？

生：y+=0或3y+=0

師：很好！3y+=0在計(jì)算上更好些。

（六）歸納小結(jié)，布置作業(yè)

小結(jié)：用d與r的大小判斷直線與圓的位置關(guān)系的步驟：

（1）求出圓的圓心C（a，b），半徑r.

（2）直線方程必須是一般式

（3）用圓心C（a，b）到直線Ax+By+C=0的距離d=與半徑r比較大小

（4）若d>r，則相離；若d=r，則相切；若d

作業(yè)： 課本第72頁(yè)習(xí)題8.4A組1（4）、3 復(fù)習(xí)題8 A組1（6）、5。

二、教學(xué)感悟

本節(jié)課授課對(duì)象為電子商務(wù)專(zhuān)業(yè)的學(xué)生，他們思維活躍，有較強(qiáng)的求知欲。在本節(jié)課之前他們剛剛學(xué)習(xí)了直線方程、直線與直線的位置關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離、圓的方程，初步具備研究直線與圓的位置關(guān)系的基礎(chǔ)。但他們數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不夠扎實(shí)、數(shù)學(xué)興趣不濃，計(jì)算能力較弱，獨(dú)立分析、解決能力有限，積極參與研究、合作交流意識(shí)方面有待加強(qiáng)。直線與圓的位置關(guān)系的判定是本節(jié)課的難點(diǎn)，在判斷直線與圓的位置關(guān)系時(shí)還有第三種方法，即將直線的方程與圓的方程聯(lián)立組成方程組，通過(guò)對(duì)方程組的解的討論來(lái)研究直線與圓的位置關(guān)系，理論上講是很簡(jiǎn)單的，但是，實(shí)際操作的運(yùn)算過(guò)程很麻煩，計(jì)算量相對(duì)較大，針對(duì)學(xué)生的特點(diǎn)，在課堂上只是提一下，并沒(méi)有展開(kāi)。在課本教材中采用“數(shù)”“形”結(jié)合的方式，利用比較半徑與圓心到直線的距離的大小來(lái)討論的方法，相對(duì)比較簡(jiǎn)單。平面幾何中，學(xué)生對(duì)這樣判斷直線與圓的位置關(guān)系比較熟悉，現(xiàn)在通過(guò)比較半徑與圓心到直線的距離的大小來(lái)判斷直線與圓的位置關(guān)系，學(xué)生容易接受，例題1就是采用這種方法討論的。在教學(xué)過(guò)程中，為實(shí)現(xiàn)學(xué)以致用的教學(xué)特色，以引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)教學(xué)法和講練結(jié)合教學(xué)法作為教學(xué)主線，輔助以情境教學(xué)法，提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。

“好的開(kāi)端等于成功了一半”，成功的課題引入能夠集中學(xué)生的注意力，為學(xué)生提供適宜的學(xué)習(xí)情境，激發(fā)學(xué)生的求知欲和調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，在創(chuàng)設(shè)情境，興趣導(dǎo)入這個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，利用學(xué)生的直觀思維這一特點(diǎn)，采用多媒體展示日出圖片，讓學(xué)生感受生活中的例子，拉近數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)的距離，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的好奇心和求知欲，同時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生積極發(fā)言，學(xué)生對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)恰當(dāng)運(yùn)用信息技術(shù)由感性上升到理性。在探索發(fā)現(xiàn)這個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中，師生共同動(dòng)手操作演示，并讓學(xué)生思考、觀察，由想象過(guò)渡到實(shí)物演示，讓學(xué)生直觀看到變化過(guò)程，抽象到具體，形成知識(shí)，讓學(xué)生動(dòng)手畫(huà)出直線與圓的三種不同的位置關(guān)系，讓學(xué)生在操作中再現(xiàn)知識(shí)的形成過(guò)程。通過(guò)循序漸進(jìn)的問(wèn)題，類(lèi)比點(diǎn)與圓位置關(guān)系的判定方法為新課的學(xué)習(xí)做鋪墊，使得學(xué)生對(duì)直線與圓的位置關(guān)系的研究經(jīng)歷從直觀到抽象，學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力、類(lèi)比觀察能力得到培養(yǎng)。

由于微課的時(shí)間短，形式新，能很好的吸引學(xué)生的注意力，促進(jìn)學(xué)生自主學(xué)習(xí)。在溫故知新、探究新知這個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中我插入了微課，在微視頻中復(fù)習(xí)鞏固相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)，為本節(jié)課的學(xué)習(xí)做好鋪墊。例題2是鞏固提升題，所使用的方法是待定系數(shù)法，在利用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用，這種題型一直是大部分學(xué)生的難點(diǎn)，在高考題中也經(jīng)常出現(xiàn)它的面孔，為此引出2016年高考的最后一題壓軸題，進(jìn)一步增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的好奇心和求知欲。

參考文獻(xiàn)：

[1]武湛.《拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程》教學(xué)實(shí)錄與反思[J].福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2015（12）：26-28.

[2]李廣全，李尚志.數(shù)學(xué)基礎(chǔ)模塊下冊(cè)修訂版[M].北京：高等教育出版社，2013：73-75.