●張文杰(鄞州區(qū)同濟(jì)中學(xué) 浙江寧波 315175)

從學(xué)與教的動(dòng)態(tài)平衡中剝離出概念課的四大要素

●張文杰(鄞州區(qū)同濟(jì)中學(xué) 浙江寧波 315175)

在課堂上，學(xué)與教是主客關(guān)系，理解學(xué)生的現(xiàn)有水平和潛在水平，是教學(xué)中的核心問題.在概念教學(xué)中，文章通過概念引入、生成、形成、延伸的分類分析，闡述從學(xué)與教的動(dòng)態(tài)平衡中剝離出概念課的四大要素，從而把握師生間的對(duì)話交流，促進(jìn)學(xué)生潛在水平的達(dá)成，提升其數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)和文化品味.

知識(shí)；經(jīng)驗(yàn)；引入；類比；能力

概念課是新知識(shí)的起點(diǎn)，其中的定義生成、確定、再應(yīng)用是整塊內(nèi)容至關(guān)重要的部分.“數(shù)學(xué)概念反映了一類事物在數(shù)量關(guān)系和空間形式方面的本質(zhì)屬性，是具體性和抽象性的辨證統(tǒng)一，具有很強(qiáng)的系統(tǒng)性[1].因此筆者認(rèn)為在概念課的教學(xué)中學(xué)科知識(shí)與主觀經(jīng)驗(yàn)的沖突尤為強(qiáng)烈，需要我們精心設(shè)計(jì).筆者從“等差數(shù)列第一課時(shí)”“等比數(shù)列第一課時(shí)”“等比求和第一課時(shí)”“不等關(guān)系與不等式第一課時(shí)”這4節(jié)課中的部分教學(xué)細(xì)節(jié)中剝離出概念課中的引入、生成、形成、延伸這4個(gè)方面，闡述學(xué)與教動(dòng)態(tài)平衡中的要點(diǎn).

1 概念引入，直抵學(xué)情

1.1 直觀經(jīng)驗(yàn)型引入

在概念教學(xué)中，概念的引入是“先鋒”，是“頭兵”，因此情境引入要精心設(shè)計(jì)，不能草率，盡可能從學(xué)生所熟悉、感興趣的實(shí)例或經(jīng)驗(yàn)入手，由淺入深，由表及里，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生經(jīng)歷概念形成的過程，抓住概念的本源，才能利于學(xué)生概念的構(gòu)建，也使學(xué)生對(duì)概念“回味無窮”[2].例如在等差、等比數(shù)列第一課時(shí)的教學(xué)中，課本給出了貼近生活的4個(gè)實(shí)例，提取其中的數(shù)列，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)其共同特征，然后總結(jié)歸納出等差數(shù)列的定義.而在“不等關(guān)系與不等式第一課時(shí)”的教學(xué)中更是提取了大量生活中的不等關(guān)系讓學(xué)生抽象轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)中的不等式，以期培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力.像這樣由直觀經(jīng)驗(yàn)引入的方式比較常見，往往能培養(yǎng)學(xué)生的觀察、發(fā)現(xiàn)、探索、抽象歸納等能力.

1.2 知識(shí)類比型引入

類比引入往往要依托于類似的定義，藉由已有的數(shù)學(xué)知識(shí)去類比獲取相似的知識(shí)，因此機(jī)會(huì)難得.例如，在等比數(shù)列定義的引入時(shí)是否可以不給任何實(shí)例，讓學(xué)生自己聯(lián)想：有了等差數(shù)列這樣的特殊數(shù)列，還可以有怎樣的數(shù)列呢？于是學(xué)生可能會(huì)提出“等和”“等積”“等商”等數(shù)列，然后讓學(xué)生自己提出具有等比數(shù)列特征的例子.這樣就開發(fā)了學(xué)生的另一種能力——類比產(chǎn)生概念.讓學(xué)生基于已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，探討有思維價(jià)值的數(shù)學(xué)問題，學(xué)生就會(huì)主動(dòng)投入到建構(gòu)新數(shù)學(xué)知識(shí)的活動(dòng)中去.

1.3 知識(shí)文化型引入

任何一門學(xué)科都有其自身的文化底蘊(yùn)，數(shù)學(xué)文化更是如此.而數(shù)學(xué)文化也可以看成是一部數(shù)學(xué)的發(fā)展史，其中的問題產(chǎn)生到破解就是一種很好的引入方式，如復(fù)數(shù)的引入.因此我們可以藉由數(shù)學(xué)本身的文化去引入一些知識(shí).筆者在“不等關(guān)系與不等式”這節(jié)課中就采用了這樣的引入方式：課本中提及不等關(guān)系常反映在大小、長短、重量中，各學(xué)案中的例子也比較雜亂，筆者將其整理為點(diǎn)(點(diǎn)的比較，從而產(chǎn)生個(gè)數(shù)、數(shù)量的不等)——一維(線段上都有無數(shù)個(gè)點(diǎn)，不可比，那么比較其長度，從而產(chǎn)生長度、溫度等的不等)——二維(同樣長度的紙片有不同的寬度，從而產(chǎn)生縱向、大小、面積的不等)——三維(長寬一樣的書本厚薄不一，從而產(chǎn)生體積的不等)——物理(同容積的泡沫箱和鐵箱在重量上是不等的，從而產(chǎn)生同體積不同重量；物理中的質(zhì)量不等，從而產(chǎn)生速度、密度不等)——經(jīng)濟(jì)(要在經(jīng)濟(jì)上謀求利益，最關(guān)心的是售價(jià)——課本問題2；成本——課本問題3).如此顯得環(huán)環(huán)相扣，不斷提出點(diǎn)至一維至二維至三維至物理至經(jīng)濟(jì)的變化，激發(fā)學(xué)生的興趣，同時(shí)把不等關(guān)系的產(chǎn)生原理置于其中，也體現(xiàn)了一定的數(shù)學(xué)文化和社會(huì)背景.

2 概念生成，遵循思維

2.1 質(zhì)疑型生成

人的思維總是把共性的事或現(xiàn)象進(jìn)行分析比較，揭示它們的規(guī)律，這就是思維的概括.但是共性只有在有反例的情況下才能更好地彰顯其特性.因此筆者認(rèn)為在生成過程中需加入干擾因素，且在教學(xué)中應(yīng)讓學(xué)生自己辨析，在過程中產(chǎn)生質(zhì)疑并進(jìn)一步完善.如在等差定義中“為什么不叫等和”“為什么要從第2項(xiàng)起”“為什么不是前一項(xiàng)減后一項(xiàng)”“為什么要強(qiáng)調(diào)每個(gè)、同一個(gè)常數(shù)”等都是重要的思想生成.在有必要的情況下甚至可以采取小組討論.為了保證這些生成，筆者也嘗試作了一些調(diào)整:1)既然要提取相同的特征，那么也需要不同的對(duì)比，因此在前面的例子中就應(yīng)放入非等差的數(shù)列,這樣比在后邊的定義辨析中放入更加自然；2)在引入的例子中最好放入常數(shù)數(shù)列，增強(qiáng)學(xué)生的辨析度，類似的例子中有關(guān)遞增性與遞減性的例子應(yīng)至少1個(gè)，同時(shí)數(shù)列a,a,a,a,a…(其中a為常數(shù))也有一定的辨析意義.

2.2 實(shí)踐型生成

通過學(xué)生的自我實(shí)踐，發(fā)現(xiàn)過程中存在的問題，這是一種很好的學(xué)習(xí)途徑.筆者有幸參加了一次區(qū)教研室組織的帶徒活動(dòng)，3位年輕教師執(zhí)教了“等比數(shù)列前n項(xiàng)和”都是借用了實(shí)例抽象出S30=1+2+22+…+229，但其后無一讓學(xué)生自己嘗試發(fā)現(xiàn).究其原因是教師認(rèn)為所教學(xué)生為中等水平學(xué)生，怕學(xué)生得不到其方法.但筆者認(rèn)為無論學(xué)情如何，都應(yīng)該讓學(xué)生嘗試，這是學(xué)生鍛煉發(fā)現(xiàn)、探索思維的絕好時(shí)機(jī).只要學(xué)生稍微進(jìn)行一些操作就有可圈可點(diǎn)之處，而教師跟隨學(xué)生的方法稍作提點(diǎn)即可達(dá)到很好的效果.因此教師一定要給予學(xué)生充分的實(shí)踐體驗(yàn).

2.3 變通型生成

圖1

3 概念形成，呈現(xiàn)本質(zhì)

3.1 要點(diǎn)

3.2 引申

3.3 理念

每個(gè)教師對(duì)學(xué)科知識(shí)有不同的認(rèn)知，風(fēng)格也不一，因此教師應(yīng)將自己的理解介紹給學(xué)生，讓學(xué)生產(chǎn)生共鳴或產(chǎn)生疑問，將會(huì)有不錯(cuò)的效果.

例如筆者在講解等差中項(xiàng)時(shí)就常提及等差中項(xiàng)即為平均數(shù)，聯(lián)系到圖像就是中點(diǎn).在等差數(shù)列的教學(xué)中常強(qiáng)調(diào)平均數(shù)、中間數(shù)、統(tǒng)一這類詞.

再如不等與等的關(guān)系:在“不等關(guān)系與不等式”教學(xué)中我們應(yīng)該有一個(gè)理念：那就是不等與等的統(tǒng)一性，不等是為了追求等，而等中又要追求其差異性，因此等與不等是辯證統(tǒng)一的.經(jīng)濟(jì)上的一些不等結(jié)果就是為了尋找臨界點(diǎn)、關(guān)鍵點(diǎn),而這些點(diǎn)正是相等之時(shí);解一元二次不等式也是借助了一元二次方程的根，一元二次函數(shù)等于0時(shí)的關(guān)鍵點(diǎn).北京大學(xué)張順燕教授曾精辟地指出：數(shù)學(xué)教學(xué)有3種境界，即“授人以業(yè)”“授人以法”“授人以道”.在這里，從傳授知識(shí)的角度來看應(yīng)理解為“授人以業(yè)”要求所授知識(shí)“準(zhǔn)確”，“授人以法”要求所受知識(shí)“深刻”，“授人以道”要求所授知識(shí)“本質(zhì)”，高境界的數(shù)學(xué)教學(xué)要基于思維發(fā)展，呈現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)[3].因此，我們?cè)诮虒W(xué)中應(yīng)適時(shí)地加入一些自我數(shù)學(xué)理念，這也正是在呈現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì).

4 概念延伸，理解思想

4.1 知識(shí)型延伸

對(duì)于一個(gè)新知識(shí)、新定義，既要找到它的前延，又要讓其續(xù)用.例如，數(shù)列是一個(gè)特殊的函數(shù)，是函數(shù)圖像中一些孤立的點(diǎn).通過圖像可以發(fā)現(xiàn)：等差數(shù)列是一次函數(shù)圖像上的點(diǎn)；等比數(shù)列是類指數(shù)函數(shù)圖像上的點(diǎn),這是它們的前延.而當(dāng)我們有了定義后，就可以用定義法來證明一次型數(shù)列an=pn+q即為等差數(shù)列；類指數(shù)型數(shù)列bn=p·qn(其中p≠0,q≠0)即為等比數(shù)列,這就是它們的續(xù)用.有了這樣的思想和體驗(yàn)，學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解會(huì)更加深刻.

4.2 經(jīng)驗(yàn)型延伸

一個(gè)數(shù)學(xué)概念的背后往往蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想，有的數(shù)學(xué)概念本質(zhì)上就是一種數(shù)學(xué)觀念，是一種分析、處理問題的數(shù)學(xué)方法.重視概念的自然生成可以使學(xué)生對(duì)原有知識(shí)、技能進(jìn)行再認(rèn)識(shí)、再加工，進(jìn)一步深化提高，把頭腦中已有的認(rèn)知能力調(diào)動(dòng)起來，積極參與到新的學(xué)習(xí)活動(dòng)中，加深對(duì)新知識(shí)的理解和認(rèn)識(shí)[4].我們必須重視過程中的方法性和經(jīng)驗(yàn)性的鋪墊，或許有時(shí)在當(dāng)堂課中無法體現(xiàn)，但在后邊的教學(xué)中會(huì)得到多次呼應(yīng).例如錯(cuò)位相減法思想在裂項(xiàng)相消中再次出現(xiàn):我們知道錯(cuò)位相減法是利用了等比數(shù)列求和中的整體消除、抵消的思想.那么裂項(xiàng)相消呢，其實(shí)質(zhì)是錯(cuò)位相減的再應(yīng)用，如

實(shí)則可看成

錯(cuò)位移動(dòng)2個(gè)位子，中間抵消，前后各留2項(xiàng).

5 小結(jié)

最后談?wù)劰P者對(duì)概念課的一些想法：其實(shí)對(duì)于許多概念課，學(xué)生自己看書也能完成任務(wù)，得到概念與定義;那么換作授課，教師則需關(guān)注其中更多的思維能力，設(shè)置好必要的學(xué)習(xí)框架，給予適量的自我實(shí)踐空間，平衡好教師的講與學(xué)生的練，起到引導(dǎo)性、開發(fā)性作用;在教師的引導(dǎo)下去實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，感悟其中的經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，在教師的提點(diǎn)下再次升華，繼而讓知識(shí)在應(yīng)用中得到延續(xù);而教師在教學(xué)中應(yīng)盡可能地授生以法，更授生以道.

[1] 廉萬朝.高中概念課教學(xué)中“問題導(dǎo)學(xué)”的案例研究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2016,(3)：28-30.

[2] 倪科技.從“三角函數(shù)的周期性”教學(xué)談高中數(shù)學(xué)概念的引入[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考：上旬,2015(11):25-26.

[3] 尤善培.基于思維發(fā)展設(shè)計(jì)教學(xué)路徑——再談著眼于學(xué)生思維發(fā)展的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)策略[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué),2016(3):35-37.

[4] 劉旭飛.關(guān)注預(yù)設(shè) 重視生成 基于對(duì)話——“函數(shù)的單調(diào)性”的教學(xué)實(shí)錄與反思”[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2016(2):6-9.

2016-10-14；

2016-11-20作者簡介：張文杰(1985-)，男，浙江寧波人，中學(xué)一級(jí)教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O122.4

A

1003-6407(2017)02-04-03