●張宗余 祝益鋒 (象山中學(xué) 浙江象山 315700)

平面向量與不等式復(fù)習(xí)

●張宗余 祝益鋒 (象山中學(xué) 浙江象山 315700)

平面向量、不等式作為高考的常見考點(diǎn)，在近幾年高考中的分值基本穩(wěn)定．在命題中，向量的坐標(biāo)運(yùn)算和數(shù)量積屬必考內(nèi)容，同時(shí)此內(nèi)容與平面幾何、立體幾何、解析幾何聯(lián)系緊密，因而有著豐富的幾何背景．不等式的考查突出工具性，淡化獨(dú)立性，是不等式命題的總體趨向．

平面向量；不等式；幾何意義

1 知識內(nèi)容

1)平面向量部分：主要考查平面向量的基本概念、平面向量的線性運(yùn)算及幾何意義、平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示、平面向量的數(shù)量積、向量的綜合應(yīng)用．

2)不等式部分：主要考查不等關(guān)系及其性質(zhì)、一元一次不等式、二元一次不等式組與簡單線性規(guī)劃、基本不等式、絕對值不等式及其應(yīng)用．

2 命題分析

2.1 平面向量部分

近5年的浙江省數(shù)學(xué)高考試題中，對平面向量的考查分布如表1所示.

表1 平面向量在近5年浙江省數(shù)學(xué)高考試題中的考查分布

1)命題角度.

①考查平面向量的幾何意義以及零向量、向量的模、單位向量、向量相等、平行向量、向量夾角等概念；

②考查平面向量加法、減法、數(shù)乘的概念及其幾何意義；

③平面向量的基本定理及其意義，利用平面向量基本定理解決簡單問題，向量的加法、減法與數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算；

④根據(jù)平面向量的數(shù)量積概念及其幾何意義解決幾何圖形中向量的數(shù)量積，利用坐標(biāo)計(jì)算平面向量的數(shù)量積及2個(gè)向量的夾角；

⑤利用數(shù)量積證明平行與垂直，利用數(shù)量積求最值、證明不等式，利用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題．

2)命題趨勢.

平面向量作為高考的常見考點(diǎn)之一，在近幾年的浙江省數(shù)學(xué)高考中分值基本穩(wěn)定．其中向量的基本概念與運(yùn)算多以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)；向量的坐標(biāo)運(yùn)算和數(shù)量積屬必考內(nèi)容，同時(shí)此內(nèi)容與平面幾何、立體幾何、解析幾何聯(lián)系緊密，有著豐富的幾何背景．

2.2 不等式部分

近5年的浙江省數(shù)學(xué)高考試題中，對不等式的考查分布如表2所示.

表2 不等式在近5年浙江省數(shù)學(xué)高考試題中的考查分布

1)命題角度.

①利用作差、作商法比較大小,利用不等式的基本性質(zhì)判斷關(guān)于不等式的命題的真假;

②利用函數(shù)的圖像解一元二次不等式,利用分類討論解含參數(shù)的不等式,利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解含絕對值的不等式;

④利用三角不等式||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|求最值、證明不等式．

2)命題趨勢.

在高考命題趨勢上，不等式的考查突出工具性，淡化獨(dú)立性，這是不等式命題的總體趨向．在數(shù)學(xué)高考試題中，有關(guān)不等式的考查主要有：①不等式的性質(zhì)，常與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等結(jié)合起來，考查不等式的性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性、最值等；②不等式的證明，多以函數(shù)、數(shù)列、解析幾何等知識為背景，在知識網(wǎng)絡(luò)的交匯處命題，綜合性強(qiáng)，能力要求高；③解不等式，往往與公式、根式和參數(shù)的討論聯(lián)系在一起，考查學(xué)生的等價(jià)轉(zhuǎn)化能力和分類討論能力；④絕對值不等式(三角不等式)在2016年的高考中異軍突起，值得重點(diǎn)關(guān)注．

3 典題剖析

考點(diǎn)1 平面向量的線性運(yùn)算及幾何意義

例1 設(shè)a，b是2個(gè)非零向量，

( )

A．若|a+b|=|a|-|b|，則a⊥b

B．若a⊥b，則|a+b|=|a|-|b|

C．若|a+b|=|a|-|b|，則存在實(shí)數(shù)λ，使得b=λa

D．若存在實(shí)數(shù)λ，使得b=λa，則|a+b|=|a|-|b|

(2012年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第5題)

分析 此題較全面地考查了平面向量的模、向量的線性運(yùn)算及其幾何意義、向量的共線定理．

解法1 |a+b|=|a|-|b|平方后得

|a|2+|b|2+2a·b=|a|2+|b|2-2|a||b|,

從而

a·b=-|a||b|,

于是cos=-1,即向量a，b共線．故選C．

解法2 由三角形法則得：若向量不共線，則||a|-|b||<|a+b|(根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊)，因此若|a+b|=|a|-|b|，則存在實(shí)數(shù)λ，使得b=λa成立．

考點(diǎn)2 平面向量的數(shù)量積

分析 第1)小題考查平面向量射影的概念，方法有直接法、坐標(biāo)法、幾何法等．

解法1 向量a在b方向上的射影為

圖1

分析 第2)小題以圓為背景，考查平面向量的數(shù)量積，屬于動態(tài)問題，選擇合適的變量，構(gòu)建函數(shù)關(guān)系．

圖2

解法1 引入∠ABC=θ,其中θ∈(0,π),則

解法3 引入BC邊上的中線AD,設(shè)AD的長為x(其中x≥2)，則

平面向量有很多與數(shù)量積最值相關(guān)的問題，解題的關(guān)鍵是利用向量知識將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題，通過構(gòu)造函數(shù)、數(shù)形結(jié)合、極化恒等式來求最值或范圍．向量與函數(shù)的結(jié)合，既考查了學(xué)生的創(chuàng)新數(shù)學(xué)素養(yǎng)，又加強(qiáng)了對“雙基”的考查，特別是向量線性運(yùn)算．該命題形式符合考綱要求，從學(xué)科的整體高度和思維價(jià)值的高度考慮問題，在知識網(wǎng)絡(luò)的交匯處設(shè)計(jì)試題，對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的考查達(dá)到必要的深度．

考點(diǎn)3 不等式的解法

分析 從數(shù)(方程)的角度，原方程無解，即(ab-1)x=b-1無解，則

ab-1=0,b≠1，

故

從形的角度，原方程無解，即2條不重合的直線平行，則

故

考點(diǎn)4 基本不等式及其應(yīng)用

2)已知x>0，y>0，2x+8y-xy=0,則x+y的最小值是______;

分析 這3道題均是二元條件最值問題，一般的解法是利用均值不等式、消元法、判別式法、數(shù)形結(jié)合等．

解 1)(利用均值不等式)由

2)(判別式法)設(shè)x+y=t，則2x+8(t-x)-x(t-x)=0，將該式整理成關(guān)于x的一元二次方程x2-(6+t)x+8t=0.由于該方程有解，從而

解得t≥18，故x+y的最小值是18．

評注 恩格斯曾說過：數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的量的關(guān)系與空間形式的科學(xué)，數(shù)形結(jié)合的根據(jù)是數(shù)學(xué)問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系．解題時(shí)既分析其代數(shù)意義，又揭示幾何直觀，使數(shù)量關(guān)系的精確刻畫與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結(jié)合在一起，充分利用這一結(jié)合，尋找解題思路有時(shí)能使問題化難為易、化繁為簡．

考點(diǎn)5 含參一元二次不等式

例5 關(guān)于x的不等式x2-ax+2a<0的解集為A，若A中恰有2個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．

分析 此題是含參的一元二次不等式問題，解題策略有參數(shù)分離、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等．

h(3)

即

h(-1)≤a

即

評注 函數(shù)是方程及不等式的支撐，僅用方程來解不等式是不夠的，應(yīng)該從函數(shù)高度認(rèn)識問題．

考點(diǎn)6 含絕對值不等式的解法及應(yīng)用

例6 不等式|x-1|-|x-5|<2的解集是

( )

A．(-∞,4) B．(-∞,1) C．(1,4) D．(1,5)

分析 利用零點(diǎn)分類討論去絕對值，當(dāng)x<1時(shí)，1-x-(5-x)=-4<2成立；當(dāng)1≤x<5時(shí)，x-1-(5-x)=2x-6<2，解得x<4，從而1≤x<4；當(dāng)x≥5時(shí)，x-1-(x-5)=4<2不成立．綜上可知，x<4.故選A．

變式 不等式|x-1|-|x-5|≤a對任意的x∈R恒成立，則a的最小值為______．

分析 由絕對值不等式可得

|x-1|-|x-5|≤|(x-1)-(x-5)|=4,

當(dāng)x≥5時(shí)取到等號，故a的最小值為4．

例7 已知f(x)=x2-x+13，|x-a|<1，求證：|f(x)-f(a)|<2(|a|+1)．

分析 本題中給定函數(shù)f(x)和條件|x-a|<1，注意到要證的式子右邊不含x，因此對條件|x-a|<1的使用有3種選擇：1)直接用；2)打開絕對值a-1

證明 由f(x)=x2-x+13，知

f(a)=a2-a+13.

因?yàn)閨x-a|<1，所以

|x|-|a|≤|x-a|<1,

從而

|x|<|a|+1，

于是 |f(x)-f(a)|= |x2-a2+a-x|=|(x-a)(x+a)-(x-a)|=|(x-a)(x+a-1)|=

|x-a||x+a-1|<|x+a-1|<|x|+|a|+1<|a|+1+|a|+1=2(|a|+1),

即

|f(x)-f(a)|<2(|a|+1)．

評注 這是絕對值和函數(shù)的綜合題，此類題通常要運(yùn)用絕對值及絕對值不等式的性質(zhì)等綜合知識來解決．分析中對條件|x-a|<1的使用有3種選擇，解題時(shí)要結(jié)合求證，靈活選用．

考點(diǎn)7 絕對值不等式與平面向量的綜合應(yīng)用

例8 設(shè)平面向量a,b滿足|a|=1，|b|=2，若平面向量c滿足|c-(a+b)|=|a-b|，則|c|的最大值為______．

評注 解決絕對值不等式與平面向量的綜合應(yīng)用問題，主要有3個(gè)工具：1)已知平面向量a,b，4a·b=(a+b)2+(a-b)2；2)設(shè)m=a+b，n=a-b，|m|2+|n|2=2(|a|2+|b|2),即平行四邊形2條對角線平方和等于其4條邊長平方之和；3)三角形不等式||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|．

4 精題集萃

1.設(shè)a，b是向量，則“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的

( )

A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件

2.若a,b為實(shí)數(shù)，則下列命題中正確的是

( )

A．a(chǎn)>b?a2>b2B．a(chǎn)≠b?a2≠b2C．|a|>b?a2>b2D．a(chǎn)>|b|?a2>b2

3.若a>0，b>0,且a+b=4，則下列不等式恒成立的是

( )

8.已知向量a=(cosα,sinα)，b=(cosβ,sinβ)，其中0<α<β<π．

2)設(shè)c=(0,1)，若a+b=c，求α,β的值．

9.已知a,b,c∈R，對任意實(shí)數(shù)x均有|ax2+bx+c|≥|x2-3x+2|，求|b2-4ac|的最小值．

10．設(shè)函數(shù)f(x)=|x-1|+|x-a|．

1)若a=-1，解不等式f(x)≥3；

2)如果對任意x∈R,f(x)≥2,求a的范圍．

參 考 答 案

1.D 2.D 3.D 4.6 5.直角三角形

6.a=0,b=4 7.-2

8.1)證明 由|a+b|2=2得

a2+b2+2a·b=2.

因?yàn)閨a|2=|b|2=1，所以a·b=0，即a⊥b．

2)解 因?yàn)閍+b=(cosα+cosβ,sinα+sinβ)=(0,1)，所以

cosα+cosβ=0, sinα+sinβ=1,

9.解 不妨令a>0.

1)當(dāng)b2-4ac>0時(shí)，ax2+bx+c與x2-3x+2有相同的零點(diǎn)，即

b=-3a,c=2a,

此時(shí)，要使得|ax2+bx+c|≥|x2-3x+2|恒成立，只需a≥1，即

|b2-4ac|=a2≥1.

2)當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，畫出圖像可知該情況不成立；

3)當(dāng)b2-4ac<0時(shí)，只需保證y=ax2+bx+c同時(shí)在y=x2-3x+2與y=-x2+3x-2的上方即可，即

恒成立,即

2個(gè)式子相加得|b2-4ac|≥5．

綜上可知，|b2-4ac|的最小值為1．

10．解 1)當(dāng)a=-1時(shí)，

f(x)=|x-1|+|x+1|,

由f(x)≥3得

f(x)=|x-1|+|x+1|≥3,

即

|(x-1)+(x+1)|≥3,

或

|(x-1)-(x+1)|≥3,

解得

故不等式f(x)≥3的解集為

2)由f(x)≥2得

|x-1|+|x-a|≥2，

即

|(x-1)+(x-a)|≥2

或

|(x-1)-(x-a)|≥2，

即

|2x-(a+1)|≥2或|a-1|≥2.

因?yàn)閷θ我鈞∈R,f(x)≥2恒成立，所以|a-1|≥2成立，解得a≤-1或a≥3,故a的取值范圍為

(-∞,-1]∪[3,+∞)．

2016-12-06；

2016-12-30作者簡介：張宗余(1976-)，男，浙江象山人，中學(xué)高級教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

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1003-6407(2017)02-26-07