●鐘德光 (廣州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 廣東廣州 510006)

●關(guān)麗娜 (深圳大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 廣東深圳 518060)

橢圓一般弦長(zhǎng)公式的妙推及應(yīng)用

●鐘德光 (廣州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 廣東廣州 510006)

●關(guān)麗娜 (深圳大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 廣東深圳 518060)

文章給出橢圓一般弦長(zhǎng)公式的一個(gè)妙推，并借此一般公式，舉例說(shuō)明了它在優(yōu)化解題步驟和求解圓錐曲線壓軸題中的妙用.

橢圓弦長(zhǎng)公式；仿射變換；優(yōu)化解題步驟

1 定理及推論

高中課堂上介紹的橢圓弦長(zhǎng)公式雖然形式簡(jiǎn)單，但缺點(diǎn)是計(jì)算量太大，學(xué)生也往往因此導(dǎo)致計(jì)算失誤或者半途而廢.因此找到橢圓一般弦長(zhǎng)公式顯得很有必要.然而這個(gè)一般公式是否存在呢？答案是肯定的.文獻(xiàn)[1]中給出了答案，只是其中略有缺陷：其一是直線方程不夠一般；其二是在推導(dǎo)過(guò)程中，應(yīng)用韋達(dá)定理將此公式“硬算”出來(lái),這與數(shù)學(xué)追求簡(jiǎn)單的思想有點(diǎn)不對(duì)口.因此筆者給出一個(gè)原創(chuàng)證明，證明過(guò)程采用了仿射變換的性質(zhì)，優(yōu)點(diǎn)是可繞開(kāi)復(fù)雜的計(jì)算.

為了證明方便，筆者先給出仿射變換的性質(zhì).關(guān)于仿射變換的性質(zhì)，讀者可在文獻(xiàn)[2-3]中找到相關(guān)內(nèi)容.

引理1 2條平行線段經(jīng)過(guò)仿射變換后，依舊是2條平行線段，而且保持線段比例不變.

有了這個(gè)引理，就可以著手證明下面的定理：

從而

圖1 圖2

由此定理，我們很容易得到以下幾個(gè)推論.值得一提的是這些推論都是已知的結(jié)果，只是為了行文方便，將它們羅列出來(lái)，并且給出粗略的證明.

證明 由定理1可得

設(shè)點(diǎn)O到直線l的距離為d，由點(diǎn)到直線的距離公式可得

證明 由推論1可知

由基本不等式可得

分析 根據(jù)條件把直線AB的方程代入一般弦長(zhǎng)公式并且稍加整理即可得出結(jié)論，此處略去具體證明過(guò)程.

A2a2+B2b2-C2≥0.

證明 根據(jù)條件，只需要令

即可，容易得到

A2a2+B2b2-C2≥0.

接下來(lái)我們通過(guò)例子談?wù)剻E圓一般弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用.

2 應(yīng)用

2.1 優(yōu)化解題步驟，巧縮計(jì)算時(shí)間

圖3

1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

2)求△AOB面積的最大值.

(2015年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第19題)

2)如圖3所示，設(shè)點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2)，根據(jù)條件可設(shè)直線AB的方程為

x+my+k=0.

(m2+2)x2+4kx+2(k2-m2)=0.

由韋達(dá)定理可得

(2)

(3)

到此為止，我們很有必要停下來(lái)談一談式(1)、式(2)和式(3).首先，式(1)是由韋達(dá)定理得到的，這一步學(xué)生一般都能寫得出來(lái)；其次，式(2)純粹是課堂上常用的公式，只要學(xué)生記得公式就可以直接套用；至于式(3)，學(xué)生一般都是將式(1)代入式(2)，再進(jìn)行化簡(jiǎn)而得到.但是這種方法不但計(jì)算復(fù)雜，而且往往會(huì)花很多時(shí)間，最后還可能得不到|AB|的正確表達(dá)式.為了避免這些問(wèn)題，筆者建議：學(xué)生不妨在式(1)、式(2)的基礎(chǔ)上，利用定理1得到式(3)，而不再將式(1)代入式(2)化簡(jiǎn)從而得到式(3).這樣不但可以省下許多時(shí)間，而且還可以保證計(jì)算的正確性，何樂(lè)而不為？這里記住定理1的公式是關(guān)鍵.

由基本不等式可得

2.2 巧用極端，妙證切線

證明 設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)(x0,y0)的切線方程為Ax+By+C=0，則Ax0+By0+C=0.因?yàn)橹本€Ax+By+C=0為切線，故其與橢圓相交所成的弦長(zhǎng)為0，所以

A2a2+B2b2=C2.

即

cos(φ-θ)=-1,

從而φ=θ+π+2kπ，其中k∈Z，于是

即

又因?yàn)锳x+By+C=0，所以

評(píng)注 注意此題2次用到參數(shù)方程.

2.3 應(yīng)用各推論，簡(jiǎn)解壓軸題

1)求橢圓C的方程.

②求△ABQ的最大值.

(2015年山東省數(shù)學(xué)高考理科試題)

另外，由推論1可得

因此

[1] 廖炳江.求橢圓弦長(zhǎng)的一個(gè)公式[J].安順師專學(xué)報(bào)，1999(4)：40-43.

[2] 梅向明，劉增賢，林向巖.高等幾何[M].2版.北京：高等教育出版社，2000.

[3] 鄧振江.從圓到橢圓的不變性質(zhì)及其應(yīng)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2014(6)：19-23.

2016-10-27；

2016-11-30作者簡(jiǎn)介：鐘德光(1989-),男,廣東惠州人,博士研究生.研究方向：教育數(shù)學(xué).

O123.1

A

1003-6407(2017)02-17-03