●陳科鈞 (鎮(zhèn)海中學(xué) 浙江寧波 315200)

2類切比雪夫多項(xiàng)式性質(zhì)的證明與應(yīng)用

●陳科鈞 (鎮(zhèn)海中學(xué) 浙江寧波 315200)

文章給出了2類切比雪夫多項(xiàng)式的2個(gè)不等式性質(zhì)的初等解法.以數(shù)學(xué)高考、競賽、學(xué)考試題為載體，分析這2個(gè)性質(zhì)在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，嘗試用高等數(shù)學(xué)的思想、觀點(diǎn)、方法去解釋中學(xué)數(shù)學(xué)問題.

切比雪夫多項(xiàng)式；最值問題；積化和差；賦值法

切比雪夫多項(xiàng)式是高等數(shù)學(xué)中的內(nèi)容，但是在全國各省市高考試題及各類數(shù)學(xué)競賽中多有涉及.張奠宙先生曾指出：“在日常的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，能夠用高等數(shù)學(xué)的思想、觀點(diǎn)、方法去解釋和理解中學(xué)數(shù)學(xué)問題的例子很多，重要的是作為一名數(shù)學(xué)教師應(yīng)該具備這樣的思維意識.”[1]筆者給出了2類切比雪夫多項(xiàng)式中的2個(gè)性質(zhì)的初等解法及其應(yīng)用.

1 性質(zhì)證明

性質(zhì)1[2]設(shè)函數(shù)f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0，若對任意的x∈[-1,1]，|f(x)|≤1，則|an|max=2n-1.

先證明以下3個(gè)引理：

因此對n+1也成立.

證明 由積化和差公式可知

證明 由積化和差公式可知

性質(zhì)1的證明 令x=cosθ，其中θ∈[0,2π],由引理1可知

從而

即|an|≤2n-1.當(dāng)且僅當(dāng)|f(x)|=|cosnθ|(其中x=cosθ)時(shí)，等號成立.

性質(zhì)2的證明 令x=cosθ,其中θ∈[0,2π]，由引理1可知

即

從而|an|≤2n.當(dāng)且僅當(dāng)|g(x)|=|sin(n+1)θ|(其中x=cosθ)時(shí)，等號成立.

這樣就用初等的方法證明了以上2個(gè)性質(zhì)，同時(shí)還可以得到2個(gè)推論:

例1 已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，|f′(x)|≤1，試求a的最大值.

(2010年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題第9題)

分析 將自變量的范圍變換到[-1,1]，采用換元法.令t=2x-1，其中t∈[-1,1]，則

1)|a|≤2;

2)|ax+b|≤2.

(2015年奧林匹克希望聯(lián)盟夏令營試題第11題)

從而

故|ax+b|≤2.

1)，2)略.

3)若對任意實(shí)數(shù)a,b，總存在實(shí)數(shù)x0∈[0,4]使得f(x0)≥m成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

(2015年1月浙江省學(xué)業(yè)水平考試第34題)

1)，2)略.

3)記g(x)=|f′(x)|(其中-1≤x≤1)的最大值為M，若M≥k對任意的b,c恒成立，求k的最大值.

(2009年湖北省數(shù)學(xué)高考理科試題第21題)

切比雪夫多項(xiàng)式在數(shù)學(xué)競賽、高考、學(xué)業(yè)水平考試中的出現(xiàn)，極大地豐富了考查學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的內(nèi)容，具有良好的導(dǎo)向作用，因此教師有必要在教學(xué)中加大初等知識和高等知識交叉點(diǎn)的研究與學(xué)習(xí)，優(yōu)化知識結(jié)構(gòu)，并善于利用高等數(shù)學(xué)的知識、觀點(diǎn)和方法來審視初等數(shù)學(xué)知識，提高數(shù)學(xué)教學(xué)的能力.

[1] 沈虎躍.一道競賽試題的解法分析與命題背景[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué))，2009(10)：34-36.

[2] 佩捷,林常.切比雪夫逼近問題[M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)出版社，2013.

即

綜上所述，AE平分∠UAV，又AE⊥UV，故△AUV是等腰三角形.

評注 此法最為簡潔，只需添加一條關(guān)鍵輔助線——公共弦即可完成全部證明,“兩線合一”判定等腰三角形是此法的核心要領(lǐng).通過分析問題所提供的信息，恰當(dāng)補(bǔ)出輔助圓,并合理挖掘圖形隱含的性質(zhì),可以使題設(shè)和結(jié)論的邏輯關(guān)系明朗化[1].好的解法應(yīng)當(dāng)盡量簡單，賞析多種證法可以幫助我們拓展思路，開闊眼界，明白什么是好的解法.

除了證法1這種最簡潔的證法之外，該題還有其他證明方法：

圖3

證法2 如圖3，作出△ACX與△ABY的外接圓⊙O1，⊙O2,2個(gè)圓相交于點(diǎn)A,D，聯(lián)結(jié)AD,延長AB,AC分別與⊙O1,⊙O2相交于點(diǎn)E,F,聯(lián)結(jié)BD,DE,DF,DC.因?yàn)樵凇袿1中：BX·BC=AB·BE,在⊙O2中：CY·BC=CF·AC,又BX·AC=CY·AB,所以CF=BE.

由∠DEB=π-∠DCA=∠DCF,∠DBE=π-∠DBA=∠DFC,知△DEB≌△DCF，從而DE=CD,于是∠BAD=∠DAC,即DA為∠BAC的角平分線.由根軸的性質(zhì)得：DA⊥O1O2,即DA⊥UV，從而DA既是角平分線又是底邊上的高，故△AUV是等腰三角形.

評注 證法2采用了證全等三角形的方法,關(guān)鍵步驟是通過證明△DEB和△DCF全等，得到對應(yīng)邊DE和CD相等，從而得到⊙O1中一對圓周角∠BAD和∠DAC相等，即DA平分∠BAC.其實(shí)，本題還可以通過證另一對三角形(△BEX和△FCY)全等來完成證明，囿于篇幅，此法請讀者自行證明.

圖4

證法3 如圖4，作出△ABC的外心O，聯(lián)結(jié)OA,OB,同時(shí)聯(lián)結(jié)O1A,O1X,聯(lián)結(jié)O1O,且與AB相交于點(diǎn)M，聯(lián)結(jié)OO2，且與AC的延長線相交于點(diǎn)N.因?yàn)镺,O1分別為△ABC和△AXC的外心，所以AO=BO,AO1=XO1且∠AOB=2∠ACB=∠AO1X,從而

△AOB∽△AO1X,

于是

又∠BAO=∠XAO1,從而

∠XAB= ∠XAO1+∠O1AU=

∠BAO+∠O1AU=∠O1AO,

于是

△AOO1∽△ABX，

(1)

同理可得

△AOO2∽△ACY，

(2)

將式(1)除以式(2)，并由已知條件BX·AC=CY·AB，得

即

OO1=OO2，

故

∠OO1O2=∠OO2O1.

又因?yàn)镺1O所在直線垂直于AC,O2O所在直線垂直于AB,所以

∠AUV= ∠OO1O2+∠O1MU=

∠OO1O2+90°-∠BAC,

∠AVU= ∠VO2N+∠ANO2=

∠OO2O1+90°-∠BAC,

從而

∠AUV=∠AVU,

于是△AUV是等腰三角形.

評注 證法3比較特別，不同于大眾思路——證兩線合一，它采用直接證明2個(gè)底角相等達(dá)到證等腰三角形的目的,主要通過作△ABC的外心O，利用外心性質(zhì)構(gòu)造相似三角形，然后充分利用相似三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行證明.題目給出了△ACX，△ABY的外心O1,O2,從圖形完整性的角度看，補(bǔ)充△ABC的外心實(shí)為一條比較自然而合理的思路.

圖5

證法4 如圖5，作△ACX與△ABY的外接圓⊙O1,⊙O2，2個(gè)圓相交于點(diǎn)A,D，聯(lián)結(jié)AD,BD和DC.聯(lián)結(jié)YD并延長至點(diǎn)E,并聯(lián)結(jié)AE,XE，使得∠AEY=∠AXB.再聯(lián)結(jié)XD并延長至點(diǎn)F,并聯(lián)結(jié)YF,AF和EF，使得∠AFD=∠AYC.因?yàn)椤螦ED=∠AXB,∠ADE=π-∠ADY=π-∠ABY=∠ABX,所以

△ABX∽△ADE,

同理可得

△ADF∽△ACY,

于是

又由已知條件BX·AC=CY·AB，可得

從而

DE=DF,

于是

∠DEF=∠DFE.

由△ABX∽△ADE可得

從而

∠XAE=∠BAD,

于是

△AEX∽△ADB.

同理可得

△ACD∽△AYF，

因此

∠AEX=∠ADB=∠AYB=∠AFD,

即點(diǎn)A,X,E,F共圓，從而

∠BAD=∠XAE=∠DFE.

同理可得點(diǎn)A,Y,E,F也共圓，從而

∠DEF=∠YAF=∠CAD,

又因?yàn)橐炎C得∠DEF=∠DFE，所以

∠BAD=∠CAD,

即DA為∠BAC的角平分線.由根軸的性質(zhì)得

DA⊥O1O2,

從而

DA⊥UV,

于是DA既是角平分線又是底邊上的高，故△AUV是等腰三角形.

圖6

評注 證法4所作輔助線比較多，由證明四點(diǎn)共圓得到相等的圓周角，然后結(jié)合根軸的性質(zhì)完成證明.

證法5 如圖6，作出△ACX與△ABY的外接圓⊙O1,⊙O2，2個(gè)圓相交于點(diǎn)A,D，聯(lián)結(jié)DX,DB,DA,DC和DY,則

∠ADB=∠AYB，

∠ADX=∠ACX,

從而∠XDB= ∠ADX-∠ADB=

∠ACX-∠AYB=∠CAY.

(3)

結(jié)合式(3)化簡得

.

記⊙O2的半徑為R2,由正弦定理知

綜合式(4)和式(5)可知

sin∠DXC=sin∠BAD.

而∠DXC=∠DAC,且∠DXC與∠BAD均為銳角，于是

∠DXC=∠DAC=∠BAD,

即

∠UAD=∠VAD,

因此DA為∠UAV的角平分線.由根軸的性質(zhì)得

DA⊥O1O2,

即

DA⊥UV,

從而DA既是角平分線又是底邊上的高，故△AUV是等腰三角形.

評注 證法5的特點(diǎn)是將題目已知邊的比例關(guān)系成功整合正弦定理，得到關(guān)鍵的角相等，從而證明了角平分線，之后的證明過程與上面諸法相同.

參 考 文 獻(xiàn)

[1] 倪建榮.平面幾何中線段“和差倍分”問題的證明[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué)),2013(6):8-10.

2016-09-26；

2016-10-28作者簡介：陳科鈞(1988-),男，浙江寧波人，中學(xué)二級教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O122.7

A

1003-6407(2017)02-45-04