廣東省廣州市第二中學(510040) 溫良謙

圖形變換法在初中幾何教學中的應用與探究

廣東省廣州市第二中學(510040) 溫良謙

幾何學習是初中教學體系中的難點之一.而如何有效地訓練學生的幾何思維,提高學生的解題能力,更是數(shù)學教學中的重中之重.事實證明,若教師不能采取合理而有效的教學方案,將會導致學生對幾何學習,甚至是對數(shù)學這一學科失去信心,喪失學習興趣.我們應該化繁為簡,擺脫漫無目的的題海戰(zhàn)術,提高學生學習的興趣,從而提高學生學習的成績,信心.這里我們就來探索幾何教學中,本人教學實踐中積累的有效方法——圖形變換法.

圖形變換法就是幾何圖形在平面上滿足某種條件的運動.將分散的點、線段、角等已知圖形轉移到恰當?shù)奈恢?從而使分散的條件都集中在某個基本圖形中,建立起某種數(shù)量關系.它是一種以變化的、運動的觀點處理孤立的、離散的問題的思想,很好地領會這種解題的思想實質,并能準確合理地使用,在解題中會收到奇效,也將有效提高思維品質.

一、現(xiàn)階段初中幾何教學法當中的一些困惑

(一)教學中不注意啟發(fā)和點撥學生的邏輯思維

幾何是邏輯思維的典型體現(xiàn),從一些原始概念和公理出發(fā),搭建起幾何知識體系的大廈.對于幾何教學來說,首先必須以啟發(fā)和點撥的方式,幫助學生搭建起邏輯思維的框架,建立起邏輯思維的能力,然后才能引導學生掌握幾何知識.然而在教學中由于趕課時,感覺學生“水平”不夠等原因沒能遵守這個順序,一開始不注重啟發(fā)和點撥學生的邏輯思維,造成學生連必要的邏輯思維都不具備,在學習中自然是“云里霧里”,最后失去學習興趣.

(二)不注意化難為簡

雖然學生在小學也學過一些關于幾何的知識,但小學的幾何知識僅僅是讓學生理解一些淺顯的幾何概念和進行一些簡單的運算,并不涉及到推理和證明.但初中幾何卻建立在大量的推理和證明的基礎上,這種學習思路對于學生來說無疑是很陌生的.而往往在教學時,沒有充分“備學生”,不太了解學生的知識儲備,在教學中沒有注意化難為簡,學生就會很難適應.尤其是對于一些接受能力不足的學生來說,還會越學越感到困難.

(三)錯誤采取題海戰(zhàn)術

很長一段時間,我為了讓學生快速地掌握知識,為了提高學生的解題能力,幾乎把題海戰(zhàn)術當成了最大的“法寶”.不斷地給學生布置大量的習題,尤其是搜羅一些偏題、怪題讓學生花大量時間思考,完成.這樣的教學模式讓學生覺得學習簡直就是“受刑”,使學生既缺乏學習動力,又收獲不到幾何知識的樂趣和美.學習效果自然難以提高.

(四)教學中沒能尊重學生的主體地位

按照現(xiàn)代化的教學模式,學生在教學中處于主體地位,教師是教學中的主導.教師不是越俎代庖地替學生去思考,而是為學生充當一個“引路人”,為學生提供一些正確的學習思路.但是,在課堂教學時間內,沒能意識到這一點,是把知識嚼碎了“喂”給學生,自以為在一步步引導學生走向正確答案.實際上學生沒有了思考的過程,幾何素質并沒有得到提高.

二、“圖形變換法”在幾何教學中的優(yōu)點

圖形與變換,能夠讓圖形變動起來,能夠更直觀清晰地發(fā)現(xiàn)關于幾何圖形的一些性質定理,在研究和學習幾何問題的過程中起到了重要的作用[1].利用“圖形變換法”進行幾何教學,其優(yōu)勢主要體現(xiàn)為：

(一)有利于建立學生的幾何思維和提高學生的學習興趣

運用“圖形變換法”來進行幾何教學,學生就可以在圖案變換的過程中,了解到幾何的一些基本邏輯的框架是怎樣搭建起來的,了解到幾何公理、原始概念在幾何圖形中的體現(xiàn),了解到幾何知識點在解題中的運用,從而有效地建立起學生的幾何思維.

此外,通過“圖形變換法”,學生還能在圖形的平移和變換中,體驗到幾何的美.使學生感到幾何并非是“冷冰冰”的學問,其實也蘊含著盎然的樂趣.這樣就能有效地激發(fā)學生的學習興趣,促進他們主動學習.

(二)能夠有效地使教學化難為簡

運用“圖形變換法”,可以有效地將一道原本較復雜的題目分解為若干個較為簡單的步驟,有效地在教學中做到了化難為簡.尤其對于那些接受能力較差的學生來說,一旦在教學中有效地做到了化難為簡,就能降低他們的接受難度,增強他們的學習信心.

(三)能夠讓學生從“題海戰(zhàn)術”中解放出來

運用“圖形變換法”,能很容易進行變式教學,學生的幾何思維能力有了提高,教學也變得相對簡便易行,因此就沒有必要做過多的題目了,無形中從“題?！敝薪夥帕顺鰜?此外,運用“圖形變換法”,還可以有效地實現(xiàn)一題多解,從多種角度訓練他們的思維能力.

(四)有利于尊重學生的主體地位

在數(shù)學課堂上,對于同一道題的“圖形變換”來說,可能有若干種不同的方案.這是一個需要開動腦筋積極思考的過程.在這個過程中,學生通過自己的積極思考,積極設計圖形變換方案來解題,儼然成了教學活動中的主體,這時,如果教師能給予充分的時間,發(fā)揮學生的自主性,提問學生,讓學生在課堂上暢所欲言,就能極大地提高了學生的課堂參與度.

三、“圖形變換法”在初中幾何教學中的運用措施

有效運用圖形變換,促進學生自主思考與探究,引導學生強化訓練與轉換思維,更好地提高學生分析、轉換與解題能力,也提高學生思維靈活度和實踐能力[2],這是我們對“圖形變換法”的教學定位.這里我們以具體的實例來探討其教學措施.

(一)向學生引入理論

首先我們要向學生引入“圖形變換法”的理論：所謂“圖形變換法”,即對同一平面的相關點、線、面進行平移或旋轉,進行解題.這類問題往往會覺得題目給出的條件不夠,很難利用常規(guī)方法或者思路解決問題,而從圖形變換的角度處理問題,往往能發(fā)現(xiàn)題目中的隱含條件,抓住問題的關鍵與實質,從而使問題得以突破.

(二)應用舉例

(2016?青海西寧改編)如圖,已知正方形ABCD的邊長為3,E、F 分別是AB、BC 邊上的點,且 ∠EDF=45°,若AE=1,則EF的長為___.

這題是九年級上旋轉一章一道常見題,很所學生在第一次見時都感覺很困難,毫無頭緒.在不做圖形變換下,很難找出已知量和未知量之間的關系,45°這個條件似乎也沒有什么用.而此題的變換可以有兩個角度：

全等角度：解法1：延長FC至M,使CM=AE,先得 △DCM△DAE,再得 △DEF△DMF,設EF=MF=x,∴BF=BM-MF=BM-EF=4-x,在Rt△EBF中,由勾股定理得E B2+BF2=EF2即

旋轉角度：解法 2：△DAE逆時針旋轉 90°得到△DCM,∠FCM= ∠FCD+ ∠DCM=180°,F、C、M 三點共線,得 △DEF△DMF,EF=MF,設EF=MF=x,BF=BM-MF=BM-EF=4-x,在Rt△EBF中,由勾股定理得EB2+BF2=EF2即

經(jīng)過實踐長期,“圖案變換法”教學中應注意以下要點

1.調動學生積極思考

對于一道幾何題目而言,進行圖案的變換是一個思考的過程.而且解法可能不止一種,如上題.所以我們應當調動學生積極開動自己的大腦,對圖形的變換方案進行充分思考.必要時可以將學生分為若干個小組進行討論.通過討論,最后由每個小組分別上報各自的圖形變換方案.教師要積極地對學生的創(chuàng)意進行肯定.

2.引導學生做到一題多解

同樣的一道幾何題,其圖形的變換方案不是千篇一律的,因而其解題法就是多樣化的.以就上面例題來說,就分別以兩種思路進行變換,形成了兩種不同的解法.所以,我們應當引導學生積極地進行一題多解.通過一題多解,從多個角度訓練他們的幾何思維,開闊他們的幾何思路.事實證明,在同一道題中運用多種解法,要比采用單一解法來做好幾道題都有效.

3.引導學生在解題過程中收獲幾何知識的美

讓學生發(fā)現(xiàn)知識體系的美,是提高學生學習興趣的一個有效手段.著名數(shù)學家丘成桐教授就很注意發(fā)現(xiàn)數(shù)學中的美.幾何中的美,并非是音樂、美術等藝術形式當中的那種“美”.它是一種基于邏輯思維模式的,以嚴謹和精確為特征的美,是一種更高層次的美.在教學過程中,我們要善于帶領學生發(fā)現(xiàn)這種“美”.

四.實踐反饋

初中數(shù)學教學中,往往到了半年級全等后會出現(xiàn)分化,尤其很多女孩子很害怕幾何,到了九年級更突出.很大部分原因是碰到圖形復雜時,很多條件又找不到內在聯(lián)系,漸漸地失去了信心和興趣.而教師在幾何章節(jié)教學時多注重用動態(tài)觀點看條件,多利用圖形變換,學生漸漸也愿意動起來,嘗試變換.明白解決題目的途徑不止一條.學生也不那么怕了,這是很實際的效果.如果結合多媒體,運用圖形變換,更能讓學生感受幾何的奇妙,如八年級勾股定理里面的勾股樹.

五．結束語

不少初中生都畏懼幾何學習.其主要原因在于我們的教學方法缺乏科學性,導致教學方法過于枯燥,學習難度過大,使一些學生喪失了對幾何的學習興趣和學習信心.所以我們應當從“圖形變換”這種新型的教學方法入手,來改善教學效果.而在實際教學過程中也有很多因素需要不斷完善.如學生需要有較多的知識儲備,也需要一定量的訓練才能想到用圖形變換解題.怎么使學生順利越過這一門檻,是需要想辦法的.而對教師,也需要積累一定的經(jīng)驗,才能對一道能用幾何變換接的幾何題進行一題多解,并恰到好處地引導學生.這些都需要經(jīng)過更長時間的實踐,總結,反思才能解決.

[1]蔡云.初中數(shù)學圖形變換教學分析[J].語數(shù)外學習,2014,8(11)：92-95.

[2]劉志林.圖形變換方法在初中數(shù)學教學中的作用研究[J].考試周刊,2016,2(26)：88-90.