李羿如

【摘 要】線性方程組求解時(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科的核心內(nèi)容，是整個(gè)數(shù)學(xué)解題的基礎(chǔ)工具，我們?cè)趯W(xué)習(xí)過程中，要掌握方程組解答的相關(guān)理論和經(jīng)驗(yàn)，提高線性方程組的解題速度和準(zhǔn)確率。我們?cè)趯W(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，矩陣可以應(yīng)用于線性方程組解答，將線性方程組系數(shù)和常數(shù)為行列式矩陣為基礎(chǔ)，把復(fù)雜的方程組進(jìn)行簡化，可以幫助我們更好地解答線性方程組。

【關(guān)鍵詞】矩陣；線性方程組；高中數(shù)學(xué)

在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，求解線性方程組是重要的知識(shí)點(diǎn)，對(duì)于方程組的求解，我們通常有兩個(gè)求解方向，一種是尋找線性方程組的規(guī)律，根據(jù)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)對(duì)方程組進(jìn)行變換，將方程組變形為基本的微積分問題進(jìn)行求解；第二種是進(jìn)行簡化求解，以線性方程組的系數(shù)和常數(shù)列成矩陣，通過矩陣變化計(jì)算來求解線性方程組的解。

1.基本數(shù)學(xué)概念分析

線性方程組是指在一個(gè)方程組中包含了多個(gè)未知數(shù)，同時(shí)未知數(shù)均為一次，在一般的線性方程組中，會(huì)有m個(gè)公式組成，包含了n個(gè)未知數(shù)，我們要對(duì)每一個(gè)方程進(jìn)行加減換算，最終得到只包含一個(gè)未知項(xiàng)的方程進(jìn)行求解，得出第一個(gè)未知項(xiàng)的數(shù)值，然后將求得的未知數(shù)代入到其他的方程組中，依次求解不同的未知項(xiàng)數(shù)值。矩陣是高中數(shù)學(xué)中常用的解題工具，關(guān)于矩陣的知識(shí)可以延伸出零矩陣、單位矩陣、矩陣的和、矩陣乘積、逆矩陣、轉(zhuǎn)置矩陣、對(duì)稱矩陣、行列式、矩陣特征方程及特征向量等。矩陣在線性方程組求解中應(yīng)用簡化了求解過程，通過將方程式列成矩陣可以找到未知項(xiàng)之間的關(guān)系，確定求解的方向，在矩陣中往往會(huì)出現(xiàn)相關(guān)聯(lián)的元素，將這些元素列成行和列的方式能夠快速找出未知項(xiàng)的解答關(guān)系。對(duì)于一個(gè)線性方程組可以得到系數(shù)矩陣A和未知項(xiàng)矩陣X，并且方程的常數(shù)項(xiàng)也可以列成矩陣b，這樣就可以得出一個(gè)簡約化的Ax=b的線性方程組。

2.矩陣在解線性方程組中的應(yīng)用

2.1克萊姆法則應(yīng)用

對(duì)于線性方程組的解答，我們應(yīng)用矩陣進(jìn)行方程組求解，將方程組變換為特殊的矩陣形式，其中最為常用的就是矩陣的克萊姆法則，如果線性方程組的未知項(xiàng)個(gè)數(shù)和方程數(shù)量相同，我們就可以應(yīng)用這一法則進(jìn)行求解。首先要將方程組的未知項(xiàng)系數(shù)列成系數(shù)矩陣，記為矩陣A，同時(shí)矩陣A不能為零，在滿足一個(gè)要求的基礎(chǔ)上，可以將線性方程組引申到克萊姆法則進(jìn)行求解。對(duì)于一般的線性方程組，假設(shè)其包含了n個(gè)方程式，同時(shí)方程組中包含了n個(gè)未知項(xiàng)，對(duì)于所得的系數(shù)矩陣和常數(shù)矩陣進(jìn)行等量變化，就能夠得出未知項(xiàng)的數(shù)值。

2.2矩陣消元法求解

矩陣消元法是線性方程組求解中最為常用的求解方法，把系數(shù)矩陣和常數(shù)矩陣擴(kuò)展為方程組的增廣矩陣，并根據(jù)行列式的初等法則進(jìn)行基本的變換，從而將復(fù)雜的矩陣簡化為較為階段的階梯型矩陣，這種矩陣和常數(shù)矩陣的對(duì)應(yīng)關(guān)系一目了然，化簡為階梯型的矩陣和原來的線性方程組具有直接相同的未知項(xiàng)求解，我們可以將未知項(xiàng)帶入到求解所得的階梯型矩陣，經(jīng)過整理求解可以得到相應(yīng)的方程組的解。

3.矩陣在線性方程組中的實(shí)際應(yīng)用

我們?cè)诟咧芯€性方程組求解中，可以通過基本矩陣來獲得線性方程組的基本特性，并進(jìn)一步應(yīng)用到方程組中，我們根據(jù)線性方程組可以生成矩陣形式Ax=b，并根據(jù)系數(shù)矩陣和增廣矩陣來判斷方程組是否有解。我們?cè)谂袛嗑€性方程組解的時(shí)候，要借助矩陣的知識(shí)對(duì)系數(shù)矩陣進(jìn)行相應(yīng)的簡化，盡量將矩陣進(jìn)行簡化處理成階梯型矩陣，為方程組求解提供進(jìn)一步的依據(jù)。我們?cè)贏x=b的矩陣方程求解時(shí)，可以判斷系數(shù)矩陣和常數(shù)矩陣是否有相同的秩，如果兩者秩不相同則可以判斷線性方程組沒有方程解；如果系數(shù)矩陣和常數(shù)矩陣兩者有相同秩，則可以進(jìn)一步去判斷方程組解的個(gè)數(shù)，這樣就分為兩種情況，一種情況是系數(shù)矩陣的秩為n，線性方程組會(huì)有唯一的解，而如果秩小于n時(shí)，則方程組就會(huì)有無窮多的解。

例如在以下線性方程組的求解中，方程組的形式為：

X1-X2-3X3+X4=1

X1-X2+2X3-X4=3

4X1-4X2+3X3-2X4=6

2X1-2X2-11X3+4X4=0

我們根據(jù)方程組可以獲取相應(yīng)的系數(shù)矩陣和增廣矩陣，并且根據(jù)矩陣等量變換進(jìn)行簡化處理，從而得出方程組相應(yīng)的解，我們將矩陣進(jìn)行處理后發(fā)現(xiàn)，系數(shù)矩陣和增廣矩陣兩者的秩不相等。因此，我們可以判斷此方程組無解。我們?cè)诰仃囍R(shí)的應(yīng)用時(shí)，要弄清楚矩陣行列式的概念，并將矩陣和線性方程組直接對(duì)應(yīng)起來，只有對(duì)矩陣進(jìn)行正確的推算，才能得出正確的對(duì)應(yīng)關(guān)系，同時(shí)要明確特征向量和特征值的本質(zhì)，將復(fù)雜的線性方程組簡化為矩陣向量，降低方程組求解的難度。

4.結(jié)語

綜上所述，線性方程組求解是高中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)點(diǎn)，也是我們重要的考點(diǎn)，我們?cè)趯?shí)際的學(xué)習(xí)中，要正確線性方程組和矩陣之間的轉(zhuǎn)變，把復(fù)雜的線性方程組直接轉(zhuǎn)變?yōu)榫仃囆问剑鉀Q方程組求解的難題。通過對(duì)矩陣的學(xué)習(xí)，我們找到了一條現(xiàn)行方程組求解的新思路，吧方程組和矩陣兩者直接關(guān)聯(lián)在一起，我們要理清解題思路，靈活掌握矩陣的簡化方法，并做好相關(guān)的歸納，總結(jié)出屬于自己的一套解題思路，明細(xì)解題過程中可能出現(xiàn)的知識(shí)要點(diǎn)，靈活掌握矩陣在線性方程組解答中的應(yīng)用。

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