李　燕

運算能力是小學生數(shù)學學科素養(yǎng)的重要部分，《數(shù)學課程標準》指出：運算能力主要指能夠根據(jù)法則和運算律正確地進行運算的能力。培養(yǎng)運算能力有助于學生理解算理，能夠?qū)で蠛侠砗啙嵉倪\算途徑解決問題。從蔡婷婷和錢俊兩位教師《分數(shù)與整數(shù)相乘》一課的同課異構(gòu)教學中，我們能夠感受到他們都聚焦了運算能力培養(yǎng)，有效地發(fā)展了學生的運算能力，但在優(yōu)化算理和法則的建構(gòu)過程中各有精妙構(gòu)思。

一、找準建構(gòu)起點，激活運算基礎(chǔ)

有效的數(shù)學教學活動必須建立在學生認知發(fā)展水平和已有的知識經(jīng)驗基礎(chǔ)之上。這就要求數(shù)學教師要善于準確把握學生的學習起點，讓學生在原有的認知水平上展開學習活動，使所有學生都能站在各自的“起跳點”上，運用自己的跳躍方式“跳一跳”，實現(xiàn)知識的有效建構(gòu)。

在《分數(shù)與整數(shù)相乘》一課的教學過程中，兩位教師都能找準學生新知建構(gòu)的起點。“分數(shù)與整數(shù)相乘”這一教學內(nèi)容是建立在學生對整數(shù)乘法意義的認識、同分母分數(shù)加法計算法則等基礎(chǔ)之上的。縱觀兩位教師的教學，他們采用不同的導(dǎo)入形式，但究其根本都是讓學生激活之前所學的運算基礎(chǔ)，并遷移到對本課新知的探究中去。

蔡老師在復(fù)習鋪墊環(huán)節(jié)設(shè)計了相同整數(shù)相加的快速搶答練習，以此來激活學生對整數(shù)乘法意義的認知基礎(chǔ)，明確求幾個相同加數(shù)的和可用乘法來計算比較簡便。另外，還引導(dǎo)學生復(fù)習鞏固同分母分數(shù)加法的計算法則。在復(fù)習鋪墊環(huán)節(jié)找準了分數(shù)與整數(shù)相乘的已有認知起點，為后續(xù)分數(shù)與整數(shù)相乘意義的認識和算理算法的探究奠定了基礎(chǔ)。

錢老師則采用情境引入的方式來激活學生對整數(shù)乘法的意義和同分母分數(shù)加法運算法則的舊知，通過對數(shù)據(jù)的精心設(shè)計，從題目中讓學生體會到分數(shù)乘整數(shù)的必要性和優(yōu)越性，從而遷移到本節(jié)課所要學習的分數(shù)乘法的意義上來。同時，錢老師在情境中所設(shè)計到的數(shù)據(jù)與之后出現(xiàn)的例題存在一定的聯(lián)系性，也體現(xiàn)了錢老師在設(shè)置環(huán)節(jié)中充分考慮到了整體性。

兩位教師采用不同的方式激活學生已有認知基礎(chǔ)。學生主動遷移整數(shù)乘法的意義，面對求幾個相同分數(shù)連加的新問題，能列出分數(shù)與整數(shù)相乘的算式，闡述列式理由。這表明學生已經(jīng)完成了運算意義的建構(gòu)。

二、落實建構(gòu)基點，探尋運算理法

從數(shù)學學習心理學的角度來分析，運算能力主要是由問題最初定向、抽象概括能力、壓縮簡化運算環(huán)節(jié)能力、算法轉(zhuǎn)換能力、優(yōu)化算法能力及記憶能力等六個要素構(gòu)成。曹培英教授從小學數(shù)學教學實際出發(fā)，整合上述各種運算能力要素，建構(gòu)起算法、算理、口算、策略四位一體的運算能力模型結(jié)構(gòu)。在這個模型中，基本口算是其他任何計算不可或缺的運算反應(yīng)，是整個運算能力的有力托底；算法、算理構(gòu)成了運算能力的左右兩翼，在小學數(shù)學中兩者是相輔相成的，計算法則教學中要實現(xiàn)兩者的有機融合，做到循理入法、以理馭法、以法促理；運算策略是指運算信息挖掘、運算問題定向、運算方法選擇及運算過程簡化，它與其他三要素互相關(guān)聯(lián)，是鑒別運算能力的敏感因素。在蔡老師和錢老師的兩堂課中，重點關(guān)注了算理和算法探究過程的展開，落實建構(gòu)基點，引導(dǎo)學生逐步展開探究。

蔡老師細致地引導(dǎo)學生經(jīng)歷探索過程。先是采用幾何直觀的方式，讓學生“用圖說話”，直觀操作、表述題意，借助已有知識技能直觀解決“3朵這樣的綢花，一共用綢帶幾分之幾米”這一問題。在此基礎(chǔ)上，蔡老師引導(dǎo)學生脫離直觀圖，對計算過程加以展開，形成同分母分數(shù)加法、分母不變分子連加、分母不變分子相乘等多種形式，這實質(zhì)上是一個推理過程的詳細展開。然后教師幫助學生壓縮和簡化這個思維過程，直接寫成分母不變、分子相乘的形式，讓學生歸納概括分數(shù)與整數(shù)相乘的計算法則。

錢老師則采用了比較開放的教學手段，為學生提供了充足的自主嘗試、合作研討的時空，在學生遷移整數(shù)乘法意義列出分數(shù)乘法算式后，大膽放手讓學生自己探究分數(shù)與整數(shù)相乘的算理和算法。學生借助已有基礎(chǔ)大膽嘗試，呈現(xiàn)出多種不同計算思路和方法：有的把乘法轉(zhuǎn)化為同分數(shù)連加來計算結(jié)果；有的借助圖形來直觀推理計算；有的通過分數(shù)的意義來直接思考計算結(jié)果；也有的采用分子相乘分母不變的法則進行計算。錢老師適時地引導(dǎo)學生對這些不同的解決方法進行了點評，討論、理解“分母不變，分子和整數(shù)相乘”的算理，通過比較多種方法，讓學生選擇出適合自己的計算方法。

三、把握建構(gòu)節(jié)點，優(yōu)化運算方法

如上文所說，運算策略是指運算信息挖掘、運算問題定向、運算方法選擇及運算過程簡化，它與其他三要素互相關(guān)聯(lián)，是鑒別運算能力的敏感因素。因此，高水平的運算能力還體現(xiàn)在學生根據(jù)算式特點靈活運用巧妙策略，使計算方法進一步優(yōu)化和完善上。分數(shù)與整數(shù)相乘的初步計算方法是需要得到進一步優(yōu)化和完善的。這是本課教學的一個難點所在。因為學生受到分數(shù)加減法計算習慣的影響，習慣于在算出結(jié)果后再進行約分，而分數(shù)乘法需要在計算前先行約分后再計算，這樣比較簡便。

蔡老師在處理這一難點時，先是讓學生解決變式問題，讓學生在鞏固初步算法的同時過渡到先約分后計算的優(yōu)化算法。針對學生囿于先計算后約分的課堂現(xiàn)實，教師采用講授、示范的方法，直接板演“先約分，再計算”的計算過程，讓學生了解此方法更為簡便，體會分數(shù)乘整數(shù)計算結(jié)果要為最簡分數(shù)。

錢老師大膽充實了教材內(nèi)容，在教學例題1時，當學生呈現(xiàn)了先計算后約分的方法后，教師并沒有直接告訴學生優(yōu)化的方法，而是緊跟著讓學生練習一組題目，其中包括計算結(jié)果約分時數(shù)據(jù)較大、比較麻煩的，如引導(dǎo)學生先主動思考“怎樣算可以更簡便一些”，由于學生已經(jīng)得出最簡分數(shù)結(jié)果，受此結(jié)果啟發(fā)，學生自發(fā)地想到了可以先約分后計算。這樣的教學給學生獨立探索嘗試的機會，能夠更好地培養(yǎng)學生靈活選擇運算策略的能力。

四、夯實建構(gòu)力點，提升運算技能

設(shè)計富有層次性的多樣化鞏固練習是形成運算技能的重要途徑。兩位教師在對學生運算能力和思維培養(yǎng)的深度、廣度、寬度上都有著自己一定的思索，他們在鞏固練習的設(shè)計上也充分考慮到基礎(chǔ)性和發(fā)展性相呼應(yīng)，層次性和邏輯性相聯(lián)系，夯實了建構(gòu)力點，較好地鞏固和發(fā)展了學生的運算技能。

蔡老師首先安排畫圖填空練習，旨在鞏固分數(shù)乘法的意義和算理；接著安排了一組計算練習，進一步強化和熟練運用運算法則，尤其是針對先約分后計算這一學習難點，再次引導(dǎo)學生辨析練習中出現(xiàn)的問題，重點體會這一算法的優(yōu)越性；最后讓學生運用所學新知解決生活中的實際問題。這些練習具有一定的基礎(chǔ)性和層次性。

錢老師在教材原有練習題的基礎(chǔ)上進行了調(diào)整和補充。他把畫圖計算練習放在了例1新授后作為即時鞏固練習，幫助學生及時鞏固運算意義和算理，在交流時選擇橫著涂和豎著涂兩種不同的涂法，讓學生進行比較，更有利于培養(yǎng)學生考慮問題思維的多角度、多方位。錢老師還設(shè)計了一組辨析題，讓學生進一步明確算理，再一次強化基本算法，在分析中培養(yǎng)學生邏輯能力。

兩位教師最后還都設(shè)計了一道拓展性練習題，啟發(fā)學生靈活運用計算法則，把分子和整數(shù)交換位置，實現(xiàn)法則的交互變通性，有效培養(yǎng)了學生運算思維的靈活性，深刻地內(nèi)化了運算法則。