周越

摘 要：事件的獨立性是概率論中的重點和難點。通過詳細分析獨立性的三大認識誤區(qū)，探索獨立性與事件發(fā)生、兩兩獨立和互斥之間的區(qū)別和聯(lián)系，進一步加深對獨立性的理解。

關鍵詞：獨立性；兩兩獨立；互斥

中圖分類號：G4

文獻標識碼：A

doi：10.19311/j.cnki.1672-3198.2016.29.104

事件的獨立性是概率論中的重點內容，它的引入在很大程度上簡化了乘法公式的形式，使得求解多事件同時發(fā)生的概率更加簡便。同時，事件的獨立性是概率論中的難點內容，多數(shù)學生，尤其是初學者，由于沒有比較全面、深入地理解事件獨立的定義，常常對獨立性產生認識上的誤區(qū)。本文通過深入分析三大認識誤區(qū)，以期對學生學好這部分內容有所幫助。

誤區(qū)一：如果事件A與B相互獨立，則事件B發(fā)生與否不受事件A發(fā)生與否的影響。

為了更好的分析誤區(qū)一，我們從兩事件獨立的定義出發(fā)?，F(xiàn)有的教材中，對于兩事件的獨立性，大多采用以下兩種方式：

定義1：兩個事件A與B，如果其中任何一個事件發(fā)生的概率不受另外一個事件發(fā)生與否的影響，則稱事件A與B是相互獨立的。

定義2：如果事件A與B滿足P（AB）=P（A）P（B），則稱事件A與B相互獨立。

定義1是隨機事件獨立性的直觀定義，但是具有局限性，如果兩個事件中至少有一個事件發(fā)生的概率為0時，很難通過定義1判定這兩個事件是否獨立。定義2彌補定義1的不足，因為如果P（A）=0或P（B）=0，P（AB）=P（A）P（B）這個等式必然成立，進一步地，我們還可以證明更為一般的結論概率為零的事件與其它任何事件都相互獨立。

通過定義我們可以發(fā)現(xiàn)，如果事件A與B相互獨立，則事件B發(fā)生的概率不受事件A發(fā)生與否的影響，并非B發(fā)生與否不受事件A發(fā)生與否的影響。這也告訴我們，獨立性是建立在概率層面的。我們通過一個具體的例子加以說明。

例1：擲一次骰子，記錄投擲的點數(shù)。記

A=1，6，B=1，2，3，A∩B=1，

P（AB）=1/6，P（A）=1/3，P（B）=1/2，P（AB）=P（A）P（B）

根據(jù)定義可得事件A與B相互獨立。我們看一下事件B發(fā)生是否受到事件A發(fā)生與否的影響。就例1而言，事件A發(fā)生是指1、6這兩個樣本點中有一個出現(xiàn)，如果是1這個樣本點出現(xiàn)引起的A發(fā)生，此時事件B也發(fā)生；如果是6這個樣本點出現(xiàn)引起的A發(fā)生，此時事件B不發(fā)生。由此看來，事件B的發(fā)生確實受到事件A發(fā)生與否的影響，但事件B發(fā)生的概率卻沒有受到事件A發(fā)生與否的影響。

誤區(qū)二：兩兩相互獨立則三個事件獨立。

為了更好的分析誤區(qū)二，我們從三事件獨立的定義出發(fā)。

定義3：對于任意三個事件A，B，C，如果

（1）P（AB）=P（A）P（B），P（AC）=P（A）P（C），P（BC）=P（B）P（C）

（2）P（ABC）=P（A）P（B）P（C）

則稱事件A，B，C相互獨立。

定義3中的（1）式成立，表明事件A，B，C中任意兩個事件都獨立，稱為A，B、C兩兩獨立。不少同學認為該定義中的（2）式是無用的，認為由定義3中的（1）式可以推出（2）式。其實，這種看法是不正確的。我們通過兩個具體的例子加以說明。

例2：一個正四面體，第一面涂紅色，第二面涂白色，第三面涂黑色，第四面涂紅、白、黑三色，拋擲此物體，記事件A=朝下的面有紅色，B=朝下的面有白色，C=朝下的面有黑色。

P（A）=P（B）=P（C）=1/2，P（AB）=P（BC）=P（AC）=1/4，

P（AB）=P（A）P（B），P（BC）=P（B）P（C），P（AC）=P（A）P（C）

定義3中（1）式成立，A、B、C兩兩獨立，但是

P（ABC）=14≠P（A）P（B）P（C）

定義3中（2）式不成立。通過此例，我們可以發(fā)現(xiàn)，兩兩獨立不能保證三個事件一定獨立。

例3：一個正八面體，第1，2，3，4面有紅色，1，2，3，5面有白色，1，6，7，8面有黑色，拋擲此物體，記事件A=朝下的面有紅色，B=朝下的面有白色，C=朝下的面有黑色。

P（A）=P（B）=P（C）=1/2，P（ABC）=1/8=P（A）P（B）P（C），

P（AB）=38≠P（A）P（B）

通過此例，我們可以發(fā)現(xiàn)，定義3中（2）式成立不能保證（1）式成立，即僅僅通過定義3中的（2）式，甚至還不能保證三個事件中任意兩個是相互獨立的。

誤區(qū)三：若A與B獨立，則A與B互斥；若A與B互斥，則A與B獨立。

通過例1可發(fā)現(xiàn)，A與B獨立（此時P（AB）=P（A）P（B））），但A與B并不互斥（A∩B=1≠φ），所以獨立不一定能推出互斥；反之，在例1中定義事件C=4，5，A與C互斥（A∩C=φ），但A與C不獨立（P（AC）≠P（A）P（C）），所以互斥也不一定能推出獨立。

其實，獨立與互斥之間還是存在內在的聯(lián)系，下面給出的定理1揭示了兩者之間的關聯(lián)。

定理1：如果事件A和B滿足P（A）>0，P（B）>0，則A、B獨立與A、B互斥不能同時成立。證明：（1）首先證明若A與B互斥，則A與B一定不獨立。若A與B互斥，即（AB=φ），則P（AB）=O，又P（A）P（B）>0，故（P（AB）≠P（A）P（B）），即A與B不獨立。

（2）下面證明若A與B獨立，則A與B一定不互斥。若A與B獨立，則P（AB）=P（A）P（B）>0，故（AB≠φ），即A與B不互斥。值得一提的是，此定理的前提P（A）>O且P（B）>0是必不可少的。例如，不可能事件與其它任一事件A是既獨立又互斥。

上述三個誤區(qū)，都是在多年的教學中，通過和學生的深入溝通總結的。深度分析這三個誤區(qū)，有助于學生更加深入地理解獨立的定義，掌握獨立與互斥之間的聯(lián)系與區(qū)別，以及運用獨立性解決實際問題。下面我們以獨立性在比賽機制方面的應用為例說明獨立性在解決實際問題中的重要作用。

例4：甲乙兩名選手進行乒乓球單打比賽，已知在每局中甲勝的概率為0.6，試分析對于甲而言比賽采用三局兩勝制還是五局三勝制更有利？

解：記A=甲勝，通過題目我們可以發(fā)現(xiàn)比賽中甲勝或者乙勝相互獨立。

（1）三局兩勝時，P（A）=C23（0.6）20.4+C33（0.6）3=0.648；

（2）五局三勝時，P（A）=C35（0.6）3（0.4）2+C45（0.6）4（0.4）1+C55（0.6）5=0.674。

由此，我們可以判別五局三勝對甲更有利。

如今，概率在經濟、計算機、交通和機械工業(yè)等諸多方面都有著重要的應用。概率論研究對象的隨機性，決定了概率問題解決的方法與其它數(shù)學問題有很大不同，易混淆和難以理解的概念也更多，這就要求教師在授課的過程，要選用接近生活的實例為引導，激發(fā)學生的學習興趣，提升學生學習的主動性，這對于學生學好概率論具有非常重要的作用。

參考文獻

[1]茆詩松，程依明，濮曉龍.概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程[M].北京：高等教育出版社，2012.

[2]張福利.隨機事件獨立性的教學探討[J].產業(yè)與科技論壇，2010，（8）：212-213.

[3]甘媛.隨機事件獨立性的一些研究探討[J].安徽電子信息職業(yè)技術學院學報，2015，（5）：63-65.