宋澤熙， 周鐵軍

(湖南農(nóng)業(yè)大學(xué)東方科技學(xué)院，長(zhǎng)沙410128)

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一類函數(shù)方程周期解周期的確定

宋澤熙， 周鐵軍

(湖南農(nóng)業(yè)大學(xué)東方科技學(xué)院，長(zhǎng)沙410128)

研究了函數(shù)方程af(x+T1+T2)+bf(x)=af(x+T1)+bf(x+T2)在兩種情形下解的周期，獲得的結(jié)果推廣了已有結(jié)論.

函數(shù)方程； 周期解； 周期

1 引 言

函數(shù)方程及其周期解的性質(zhì)一直是學(xué)者關(guān)注的研究?jī)?nèi)容[1-4]，文獻(xiàn)[1]中討論了如下特殊形式的函數(shù)方程

f(x+T1+T2)+f(x)=f(x+T1)+f(x+T2) ，

(1)

其中T1，T2是常數(shù)，且存在整數(shù)m，n使得nT1=mT2=T，作者證明了滿足方程(1)的函數(shù)是周期為T的周期函數(shù).本文將上述方程推廣為如下一般形式的函數(shù)方程

af(x+T1+T2)+bf(x)=af(x+T1)+bf(x+T2),

(2)

2 主要結(jié)論

證由(2)式可得

af(x+T1+T2)-bf(x+T2)=af(x+T1)-bf(x).

(3)

記F(x)=af(x+T1)-bf(x),則由(3)式得F(x+T2)=F(x),即F(x)是周期為T2的函數(shù)，則它也是周期為mT2=T的周期函數(shù)，從而有F(x+T)=F(x)，即有

af(x+T1+T)-bf(x+T)=af(x+T1)-bf(x)，

于是有

(4)

類似地有

由于nT1=T，得

于是又有

根據(jù)G(x)的定義，從上式得

所以

從而可得

所以

定理2設(shè)f(x)是實(shí)數(shù)域上的有界函數(shù)，且存在整數(shù)m,n使得nT1=mT2=T，其中T1,T2是滿足(2)的常數(shù).如果a=-b≠0，則當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，滿足方程(2)的函數(shù)f(x)是周期為T的周期函數(shù)；當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，滿足方程(2)的函數(shù)f(x)是周期為2T的周期函數(shù).

證當(dāng)a=-b≠0時(shí)，(2)式可化為得

f(x+T1+T2)-f(x)=f(x+T1)-f(x+T2).

(5)

于是得

f(x+T1+T2)+f(x+T2)=f(x+T1)+f(x).

記F(x)=f(x+T1)+f(x)，則有F(x+T2)=F(x)，因此F(x)是周期為T2的函數(shù)，則它也是周期為mT2=T的周期函數(shù)，從而有F(x+T)=F(x)，即有

f(x+T1+T)+f(x+T)=f(x+T1)+f(x).

于是有

(6)

由于也有F(x+2T)=F(x)，同理可得

(7)

(i)如果n是偶數(shù)，則定義函數(shù)G(x)=f(x+T)-f(x)，則由(6)式得G(x+T1)=-G(x)，于是得

G(x+2T1)=G(x).

考慮到n是偶數(shù)，則有G(x+nT1)=G(x)， 由于nT1=T，得

G(x+T)=G(x).

于是根據(jù)G(x)的定義，對(duì)任意正整數(shù)k，從上式得

G(x+kT)=f(x+kT+T)-f(x+kT)=G(x)，

所以

f(x+(k+1)T)=G(x)+f(x+kT).

從而可得

f(x+(k+1)T)=(k+1)G(x)+f(x).

(ii)如果n是奇數(shù)，則定義函數(shù)H(x)=f(x+2T)-f(x)，則由(7)式得H(x+T1)=-H(x)，于是得

H(x+2T1)=H(x).

從而有H(x+2nT1)=H(x)， 由于nT1=T，得

H(x+2T)=H(x).

于是根據(jù)H(x)的定義，對(duì)任意正整數(shù)k，從上式得

H(x+2kT)=f(x+2kT+2T)-f(x+2kT)=H(x)，

所以

f(x+2(k+1)T)=H(x)+f(x+2kT).

從而可得

f(x+2(k+1)T)=(k+1)H(x)+f(x).

3 舉 例

下面舉例說明上述定理的應(yīng)用.

例1若函數(shù) f(x)(x∈R)滿足f(x)=f(x+T)+f(x-T),則f(x)是周期為6T的函數(shù).

證由條件f(x)=f(x+T)+f(x-T),則有f(x+T)=f(x+2T)+f(x),兩式相加得

f(x+2T)=-f(x-T)，

從而有f(x+3T)=-f(x)，f(x+4T)=-f(x+T).從而得到

f(x+4T)-f(x)=f(x+3T)-f(x+T).

即有

f(x+T1+T2)-f(x)=f(x+T1)-f(x+T2)，

其中T1=3T,T2=T.所以存在n=1,m=3，使得nT1=mT2=3T.注意到n=1是奇數(shù)，從而知f(x)是周期為2×3T=6T的函數(shù).

注1 在例1中進(jìn)一步可得到：f(x+5T)=-f(x+2T).從而得到

f(x+5T)-f(x)=f(x+3T)-f(x+2T).

即有

f(x+T1+T2)-f(x)=f(x+T1)-f(x+T2)，

其中T1=3T,T2=2T.所以存在n=2,m=3，使得nT1=mT2=6T.注意到n=2是偶數(shù)，根據(jù)定理2也可以得f(x)是周期為6T的函數(shù).進(jìn)一步還可以得：f(x+6T)=-f(x+3T).從而得到

f(x+6T)=-f(x+3T)=f(x)，

這樣直接驗(yàn)證了f(x)是周期為6T的函數(shù).

[1] 吳玫華.周期函數(shù)Fourier級(jí)數(shù)展開式唯一性的簡(jiǎn)單證明與推廣[J].大學(xué)數(shù)學(xué),2006,22(4):151-153.

[2] 譚福錦,農(nóng)吉夫.復(fù)周期函數(shù)的若干性質(zhì)[J].大學(xué)數(shù)學(xué),2008,24(3):148-151.

[3] Ronald E.Mickens.Periodic solutions of the functional equation f2(t)+g2(t)=1 [J].Journal of Difference Equations and Applications, 2016, 22(1):67-74.

[4] 王立洪.一類由函數(shù)方程確定的周期函數(shù)[J].大學(xué)數(shù)學(xué),2010,26(4):178-180.

Determination of Periodic Solutions of a Class of Function Equations

SONGZe-xi,ZHOUTie-jun

(Orient Science & Technology College of Hunan Agricultural University, Changsha 410128, China)

The period of solution for the functional equationaf(x+T1+T2)+bf(x)=af(x+T1)+bf(x+T2) is obtained.The results generalize the existing conclusions.

functional equation; periodic solution; period

2016-07-12； [修改日期]2016-09-07

湖南省科技計(jì)劃項(xiàng)目(2015JC3101)

宋澤熙(1996-),男，本科在讀，工程管理專業(yè).Email: 2112105395@qq.com

周鐵軍(1965-)，男，博士，教授，從事生物數(shù)學(xué)研究.Email：hntjzhou@126.com

O13

C

1672-1454(2016)06-0087-04