d-作用下的Bowen拓?fù)潇乩碚?/h1>
2017-01-18 04:14:46周發(fā)
大學(xué)數(shù)學(xué) 2016年6期
周 發(fā)
(合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院, 合肥230009)
?
周 發(fā)
(合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院, 合肥230009)
在d-作用下定義了Bowen維數(shù)熵,研究了d-作用下Bowen維數(shù)熵的一些性質(zhì),證明了X中的任意子集的Bowen維數(shù)熵可以通過該子集中的點(diǎn)的測(cè)度下局部熵估計(jì).
Bowen維數(shù)熵； 測(cè)度下局部熵； 覆蓋
1 引 言
熵是動(dòng)力系統(tǒng)研究中的一個(gè)重要概念,測(cè)度空間上的熵的概念是由Kolmogorow在1958為解決遍歷論中“是否存在兩個(gè)具有連續(xù)譜的譜等價(jià)保測(cè)系統(tǒng)不是測(cè)度同構(gòu)的”這一著名問題給出的.之后Adler等人于1965年在拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)中用開覆蓋對(duì)緊拓?fù)淇臻g上的連續(xù)自映射定義了拓?fù)潇?1971年Bowen引入張成集和分離集來定義拓?fù)潇?并且驗(yàn)證了當(dāng)空間為緊度量空間時(shí)此拓?fù)潇嘏cAdler等人定義的拓?fù)潇匾恢?我們知道雖然用張成集和分離集定義的拓?fù)潇乇扔瞄_覆蓋定義的拓?fù)潇馗哂袑?shí)用性,但兩者都存在一定的局限性.用開覆蓋定義的拓?fù)潇刂荒芏x映射在整個(gè)緊拓?fù)淇臻g上的拓?fù)潇?張成集和分離集定義的拓?fù)潇仉m然應(yīng)用廣泛,但是只能定義緊子集和整個(gè)空間上的拓?fù)潇?后來Bowen又在1973年借鑒幾何測(cè)度論中關(guān)于Hausdorff維數(shù)的定義(見文獻(xiàn)[2]),給出了非緊空間上拓?fù)潇氐亩x(這種熵又被稱為Bowen維數(shù)熵),Bowen進(jìn)一步研究其性質(zhì),證明了全空間上的Bowen維數(shù)熵與通常定義的拓?fù)潇厥窍嗟鹊?
在分形幾何中,分形維數(shù)是描述分形集合的一個(gè)重要工具,一般我們可以借助全空間上支撐的測(cè)度下局部維數(shù)來估計(jì)集合的Hausdorff維數(shù).在拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)中我們也可以做類似的研究,文獻(xiàn)[1]的作者借助非緊空間上的點(diǎn)的測(cè)度下局部熵來估計(jì)系統(tǒng)子集的Bowen維數(shù)熵.但需要說明的是,上述研究大多針對(duì)的是整數(shù)加群或自然數(shù)半群作用.
一個(gè)自然的問題就是,對(duì)與其他的群是否有類似的結(jié)果.本文將在文獻(xiàn)[1]的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步研究在一類特殊的群作用(d-作用)下Bowen維數(shù)熵的性質(zhì)及X的任意子集的Bowen維數(shù)熵能否由X子集中的點(diǎn)的測(cè)度下局部熵來估計(jì).
2 定 義
定義2.1設(shè)(X,d)是一個(gè)緊度量空間,一族連續(xù)的變換T∶={Th∶X→X}h∈L被稱作為連續(xù)的L-作用,其中L=d或如果T滿足
(i) Th+k=Th°Tk(h,k∈L)； (ii)T0是恒同映射.
對(duì)k∈L且Λ?L,令集合Λ+k={h+k:h∈Λ}.對(duì)n∈+令
且λ=#Λn,其中#Λn代表集合Λn中元素的個(gè)數(shù)(見文獻(xiàn)[3]).
設(shè)(X,d)是一個(gè)緊度量空間,T為連續(xù)的L-作用,其中L=d或?qū)θ我鈔∈,x,y∈X,r>0,定義
定義2.3設(shè)μ是X上的Borel概率測(cè)度,稱
為關(guān)于μ在x∈X處的測(cè)度下局部熵.
3 主要結(jié)果及證明
定理3.1設(shè)μ是X上的Borel概率測(cè)度,E是X上的Borel子集,且0
(ii) 若hμ(x)≥s對(duì)所有的x∈E成立,且μ(E)>0則h(E)≥s.
在證明定理3.1之前,首先證明三個(gè)引理.引理1的證明類似于傳統(tǒng)的5r覆蓋定理(見文獻(xiàn)[1],定理2.1).
且G中的元素兩兩不相交.
證令ω?F為滿足以下條件的集族：
(i) B1≠B2∈ω得B1∩B2=?；
引理2設(shè)(X,d)是緊致度量空間,T為連續(xù)的L-作用,L為d或且E1?E2?X,則).
引理3設(shè)(X,d)是緊致度量空間,T為連續(xù)的L-作用,L為d或且En?X,n≥1,則
對(duì)所有的j≥1成立.所以對(duì)任意的N≥1,有Ek?F,其中
當(dāng)N→∞時(shí),
結(jié)合引理3可得
由ε的任意性知,h(E)≤s.
(ii) 對(duì)任意的ε>0,對(duì)任意的k≥1,令
可以得到
因此,當(dāng)N>N*時(shí)有
結(jié)合定義2.2知
令r→0得
h(E*)≥s-ε.
由引理2知h(E)≥h(E*)≥s-ε,由ε的任意性知h(E)≥ε.
[1] Ma J and Wen Z.A Billingsley type theorem for Bowen entropy[J].C R Acad Sci Paris, 2008, 346:503-507.
[2] Bowen R.Topological entropy for non compact sets[J] .Tans Amer Math Soc, 1973,184:125-136.
[3] Yamamoto K.Topological Pressure of the set of generic points fordactions[J].Kyushu J Math, 2009 , 63: 191-208.
[4] Federer H.Geometric Measure Theory[M].New York :Springer-Verlag, 1969.
[5] Mattilla P.Geometry of Sets and Measures in Euclidean Spaces[M].Cambridge：Cambridge University Press, 1995.
On Bowen Dimension Entropy of Dynamical Systems ofdAction
ZHOUFa
(Department of Mathematics, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China)
We introduce the notion of Bowen dimension entropy fordynamical systems ofdactions for non compact sets, and we study its properties, moreover, we proved that the Bowen dimension entropy of a subset can be estimated by the lower measure local entropy of the points in this set.
Bowen entropy; lower local entropy; cover
2016-05-17； [修改日期] 2016-06-22
國家自然科學(xué)基金(11001071，11171320)；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)(2015HGZX0017)
周發(fā)(1992-),男,碩士研究生,從事動(dòng)力系統(tǒng)研究.Email：1287218528@qq.com
O192
A
1672-1454(2016)06-0013-05
猜你喜歡
由一道有關(guān)集合的子集個(gè)數(shù)題引發(fā)的思考語數(shù)外學(xué)習(xí)·高中版下旬(2023年7期)2023-09-25 00:45:13 β-變換中一致丟番圖逼近問題的維數(shù)理論數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)(2022年4期)2022-08-22 04:06:44 Clinical observation of pediatric Tuina plus oral Chinese medication for pediatric anorexia due to spleen failing in transportationJournal of Acupuncture and Tuina Science(2022年2期)2022-04-18 06:51:12 拓?fù)淇臻g中緊致子集的性質(zhì)研究安慶師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)(2021年1期)2021-11-28 11:06:20 馳名商標(biāo)“張成造”藝術(shù)品鑒(2020年9期)2020-10-28 09:00:02 一類齊次Moran集的上盒維數(shù)數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)(2020年3期)2020-07-27 01:19:56 關(guān)于奇數(shù)階二元子集的分離序列南京大學(xué)學(xué)報(bào)(數(shù)學(xué)半年刊)(2020年1期)2020-03-19 02:24:44 關(guān)于齊次Moran集的packing維數(shù)結(jié)果數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)(2016年5期)2016-08-24 07:38:40 涉及相變問題Julia集的Hausdorff維數(shù)數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)(2016年6期)2016-04-16 04:40:58 每一次愛情都只是愛情的子集都市麗人(2015年4期)2015-03-20 13:33:22
- 大學(xué)數(shù)學(xué)的其它文章
- 基于計(jì)算思維培養(yǎng)的離散數(shù)學(xué)課程教學(xué)研究
- 適應(yīng)學(xué)分制背景的《離散數(shù)學(xué)》教學(xué)設(shè)計(jì)改革探索
- 激發(fā)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的大學(xué)《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)》教學(xué)探索與思考
- 地方應(yīng)用型本科院校離散數(shù)學(xué)研究性教學(xué)改革與實(shí)踐
- 擴(kuò)展大學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)內(nèi)容的嘗試
- 《數(shù)理邏輯和集合論》講課用例的設(shè)計(jì)和構(gòu)造
周 發(fā)
(合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院, 合肥230009)
?
周 發(fā)
(合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院, 合肥230009)
在d-作用下定義了Bowen維數(shù)熵,研究了d-作用下Bowen維數(shù)熵的一些性質(zhì),證明了X中的任意子集的Bowen維數(shù)熵可以通過該子集中的點(diǎn)的測(cè)度下局部熵估計(jì).
Bowen維數(shù)熵； 測(cè)度下局部熵； 覆蓋
1 引 言
熵是動(dòng)力系統(tǒng)研究中的一個(gè)重要概念,測(cè)度空間上的熵的概念是由Kolmogorow在1958為解決遍歷論中“是否存在兩個(gè)具有連續(xù)譜的譜等價(jià)保測(cè)系統(tǒng)不是測(cè)度同構(gòu)的”這一著名問題給出的.之后Adler等人于1965年在拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)中用開覆蓋對(duì)緊拓?fù)淇臻g上的連續(xù)自映射定義了拓?fù)潇?1971年Bowen引入張成集和分離集來定義拓?fù)潇?并且驗(yàn)證了當(dāng)空間為緊度量空間時(shí)此拓?fù)潇嘏cAdler等人定義的拓?fù)潇匾恢?我們知道雖然用張成集和分離集定義的拓?fù)潇乇扔瞄_覆蓋定義的拓?fù)潇馗哂袑?shí)用性,但兩者都存在一定的局限性.用開覆蓋定義的拓?fù)潇刂荒芏x映射在整個(gè)緊拓?fù)淇臻g上的拓?fù)潇?張成集和分離集定義的拓?fù)潇仉m然應(yīng)用廣泛,但是只能定義緊子集和整個(gè)空間上的拓?fù)潇?后來Bowen又在1973年借鑒幾何測(cè)度論中關(guān)于Hausdorff維數(shù)的定義(見文獻(xiàn)[2]),給出了非緊空間上拓?fù)潇氐亩x(這種熵又被稱為Bowen維數(shù)熵),Bowen進(jìn)一步研究其性質(zhì),證明了全空間上的Bowen維數(shù)熵與通常定義的拓?fù)潇厥窍嗟鹊?
在分形幾何中,分形維數(shù)是描述分形集合的一個(gè)重要工具,一般我們可以借助全空間上支撐的測(cè)度下局部維數(shù)來估計(jì)集合的Hausdorff維數(shù).在拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)中我們也可以做類似的研究,文獻(xiàn)[1]的作者借助非緊空間上的點(diǎn)的測(cè)度下局部熵來估計(jì)系統(tǒng)子集的Bowen維數(shù)熵.但需要說明的是,上述研究大多針對(duì)的是整數(shù)加群或自然數(shù)半群作用.
一個(gè)自然的問題就是,對(duì)與其他的群是否有類似的結(jié)果.本文將在文獻(xiàn)[1]的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步研究在一類特殊的群作用(d-作用)下Bowen維數(shù)熵的性質(zhì)及X的任意子集的Bowen維數(shù)熵能否由X子集中的點(diǎn)的測(cè)度下局部熵來估計(jì).
2 定 義
定義2.1設(shè)(X,d)是一個(gè)緊度量空間,一族連續(xù)的變換T∶={Th∶X→X}h∈L被稱作為連續(xù)的L-作用,其中L=d或如果T滿足
(i) Th+k=Th°Tk(h,k∈L)； (ii)T0是恒同映射.
對(duì)k∈L且Λ?L,令集合Λ+k={h+k:h∈Λ}.對(duì)n∈+令
且λ=#Λn,其中#Λn代表集合Λn中元素的個(gè)數(shù)(見文獻(xiàn)[3]).
設(shè)(X,d)是一個(gè)緊度量空間,T為連續(xù)的L-作用,其中L=d或?qū)θ我鈔∈,x,y∈X,r>0,定義
定義2.3設(shè)μ是X上的Borel概率測(cè)度,稱
為關(guān)于μ在x∈X處的測(cè)度下局部熵.
3 主要結(jié)果及證明
定理3.1設(shè)μ是X上的Borel概率測(cè)度,E是X上的Borel子集,且0 (ii) 若hμ(x)≥s對(duì)所有的x∈E成立,且μ(E)>0則h(E)≥s. 在證明定理3.1之前,首先證明三個(gè)引理.引理1的證明類似于傳統(tǒng)的5r覆蓋定理(見文獻(xiàn)[1],定理2.1). 且G中的元素兩兩不相交. 證令ω?F為滿足以下條件的集族： (i) B1≠B2∈ω得B1∩B2=?； 引理2設(shè)(X,d)是緊致度量空間,T為連續(xù)的L-作用,L為d或且E1?E2?X,則). 引理3設(shè)(X,d)是緊致度量空間,T為連續(xù)的L-作用,L為d或且En?X,n≥1,則 對(duì)所有的j≥1成立.所以對(duì)任意的N≥1,有Ek?F,其中 當(dāng)N→∞時(shí), 結(jié)合引理3可得 由ε的任意性知,h(E)≤s. (ii) 對(duì)任意的ε>0,對(duì)任意的k≥1,令 可以得到 因此,當(dāng)N>N*時(shí)有 結(jié)合定義2.2知 令r→0得 h(E*)≥s-ε. 由引理2知h(E)≥h(E*)≥s-ε,由ε的任意性知h(E)≥ε. [1] Ma J and Wen Z.A Billingsley type theorem for Bowen entropy[J].C R Acad Sci Paris, 2008, 346:503-507. [2] Bowen R.Topological entropy for non compact sets[J] .Tans Amer Math Soc, 1973,184:125-136. [3] Yamamoto K.Topological Pressure of the set of generic points fordactions[J].Kyushu J Math, 2009 , 63: 191-208. [4] Federer H.Geometric Measure Theory[M].New York :Springer-Verlag, 1969. [5] Mattilla P.Geometry of Sets and Measures in Euclidean Spaces[M].Cambridge：Cambridge University Press, 1995. On Bowen Dimension Entropy of Dynamical Systems ofdAction ZHOUFa (Department of Mathematics, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China) We introduce the notion of Bowen dimension entropy fordynamical systems ofdactions for non compact sets, and we study its properties, moreover, we proved that the Bowen dimension entropy of a subset can be estimated by the lower measure local entropy of the points in this set. Bowen entropy; lower local entropy; cover 2016-05-17； [修改日期] 2016-06-22 國家自然科學(xué)基金(11001071，11171320)；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)(2015HGZX0017) 周發(fā)(1992-),男,碩士研究生,從事動(dòng)力系統(tǒng)研究.Email：1287218528@qq.com O192 A 1672-1454(2016)06-0013-05
猜你喜歡
語數(shù)外學(xué)習(xí)·高中版下旬(2023年7期)2023-09-25 00:45:13
數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)(2022年4期)2022-08-22 04:06:44
Journal of Acupuncture and Tuina Science(2022年2期)2022-04-18 06:51:12
安慶師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)(2021年1期)2021-11-28 11:06:20
藝術(shù)品鑒(2020年9期)2020-10-28 09:00:02
數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)(2020年3期)2020-07-27 01:19:56
南京大學(xué)學(xué)報(bào)(數(shù)學(xué)半年刊)(2020年1期)2020-03-19 02:24:44
數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)(2016年5期)2016-08-24 07:38:40
數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)(2016年6期)2016-04-16 04:40:58
都市麗人(2015年4期)2015-03-20 13:33:22
- 大學(xué)數(shù)學(xué)的其它文章
- 基于計(jì)算思維培養(yǎng)的離散數(shù)學(xué)課程教學(xué)研究
- 適應(yīng)學(xué)分制背景的《離散數(shù)學(xué)》教學(xué)設(shè)計(jì)改革探索
- 激發(fā)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的大學(xué)《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)》教學(xué)探索與思考
- 地方應(yīng)用型本科院校離散數(shù)學(xué)研究性教學(xué)改革與實(shí)踐
- 擴(kuò)展大學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)內(nèi)容的嘗試
- 《數(shù)理邏輯和集合論》講課用例的設(shè)計(jì)和構(gòu)造