張淵淵

【摘要】高等數(shù)學(xué)是工科院校最重要的基礎(chǔ)課程之一.課堂教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)一些基本概念容易混淆，進(jìn)而影響了后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí).本文通過反例對(duì)高等數(shù)學(xué)教材中函數(shù)可積與存在原函數(shù)這兩個(gè)概念進(jìn)行了探討，揭示了二者之間的關(guān)系.

【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué)；可積；原函數(shù)

【中圖分類號(hào)】O13

引 言

高等數(shù)學(xué)是所有數(shù)學(xué)分支的基礎(chǔ)，可以當(dāng)作整個(gè)數(shù)學(xué)的樹干.但是，大部分學(xué)生覺得此課程枯燥，難以理解，尤其是一些基本概念容易引起混淆.本文就高等數(shù)學(xué)中函數(shù)可積與存在原函數(shù)這兩個(gè)概念進(jìn)行探討，希望給學(xué)生有益的啟示.

一、函數(shù)可積與原函數(shù)存在沒有必然的聯(lián)系

本節(jié)首先給出與函數(shù)可積及原函數(shù)存在這兩個(gè)概念相關(guān)的三個(gè)定理.

定理1 （Ⅰ）若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則y=f（x）在區(qū)間[a，b]上可積；

（Ⅱ）若有界函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上僅有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則y=f（x）在[a，b]

上可積；

（Ⅲ）若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上單調(diào)，則y=f（x）在區(qū)間[a，b]上可積.

定理2 若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則y=f（x）在區(qū)間[a，b]上原函數(shù)存在.

定理3 （Ⅰ）若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上含有第一類間斷點(diǎn)，則y=f（x）在區(qū)間[a，b]上

不存在原函數(shù)；

（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上有無(wú)窮間斷點(diǎn)，則y=f（x）在[a，b]

上不存在原函數(shù).

二、通過反例揭示函數(shù)可積與存在原函數(shù)兩者互不蘊(yùn)含

本節(jié)將通過反例揭示函數(shù)可積與存在原函數(shù)這兩個(gè)概念互不蘊(yùn)含.

1.可積不一定存在原函數(shù)

2.存在原函數(shù)不一定可積

三、小 結(jié)

本文通過比較函數(shù)可積與存在原函數(shù)這兩個(gè)概念，給出兩個(gè)經(jīng)典反例，揭示了二者互不蘊(yùn)含的關(guān)系.希望通過本文的探討，給學(xué)生有益的啟示，提升學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的興趣.

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