江蘇省常熟外國語學(xué)校 劉 虹

在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生類比推理能力的策略

江蘇省常熟外國語學(xué)校 劉 虹

數(shù)學(xué)，作為人類思維的表達(dá)形式，反映了人們積極進(jìn)取的意志、縝密周詳?shù)倪壿嬐评砑皩ν昝谰辰绲淖非?，而邏輯推理又是?shù)學(xué)核心素養(yǎng)六個(gè)方面之一。類比推理對于高中數(shù)學(xué)教學(xué)存在著深刻的意義，教師要培養(yǎng)學(xué)生的思維拓展能力，就應(yīng)當(dāng)指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用類比推理方法去思考問題。

一、類比推理的應(yīng)用價(jià)值

在自然科學(xué)發(fā)展史上，無論古代、近代，還是現(xiàn)代，類比在科學(xué)發(fā)現(xiàn)中是一種被普遍應(yīng)用的方法，類比是發(fā)明創(chuàng)造的主要源泉之一。物理學(xué)家開普勒說過：“類比勝于一切，他是我可信賴的主人，它了解自然的所有秘密……”這樣的例子不勝枚舉，我國古代科學(xué)家宋應(yīng)星，為了認(rèn)識聲音的傳播，他把聲音與投石擊水的紋浪進(jìn)行類比，推想到聲音在空氣中的傳播方式也是以波的形式進(jìn)行的。法國物理學(xué)家德布羅意將光學(xué)現(xiàn)象與理學(xué)現(xiàn)象進(jìn)行類比，提出了大膽的預(yù)言：物質(zhì)粒子也具有二象性；他又將物質(zhì)粒子和光作了進(jìn)一步類比，預(yù)言了物質(zhì)波的波長。

類比推理在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的應(yīng)用也比比皆是。波利亞指出：“不論是在初等數(shù)學(xué)、高等數(shù)學(xué)中的發(fā)現(xiàn)，或者是在別的學(xué)科中的發(fā)現(xiàn)，恐怕都不能沒有這些思考過程，特別是不能沒有類比?！蔽覈麛?shù)學(xué)家徐利治曾說：“歷史上有貢獻(xiàn)的數(shù)學(xué)家可以說是善于應(yīng)用歸納與類比發(fā)現(xiàn)真理的能手?！笨梢婎惐仍跀?shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的巨大作用。笛卡兒在觀察蜘蛛織網(wǎng)時(shí)產(chǎn)生了靈感，應(yīng)用類比法建立了直角坐標(biāo)系，成了解析幾何學(xué)的創(chuàng)始人之一。在數(shù)學(xué)分析中，關(guān)于級數(shù)求和問題一直是很重要的內(nèi)容，早在17世紀(jì)下半期，著名數(shù)學(xué)家貝努里不會(huì)求自然數(shù)倒數(shù)平方的級數(shù)和的值，征求大家來解決，一直到18世紀(jì)上半期才由歐拉解決，歐拉正是通過三角函數(shù)方程與代數(shù)方程巧妙的類比而求得的，歐拉的解法堪稱是數(shù)學(xué)史上應(yīng)用類比法的光輝典范。

類比推理在不同領(lǐng)域間的應(yīng)用也極為廣泛。平面等周定理類比到空間中就有：在所有給出體積的立體圖形中，球有最小表面積。而物理學(xué)家彭加勒加以物理類比，得到了“在所有給定體積的物體中，球有最小電容量?！闭拿骟w與DNA似乎是風(fēng)馬牛不相及的兩樣?xùn)|西，但是我國科學(xué)工作者張春霆、張任根據(jù)正四面體具有高度的對稱性，而DNA序列具有一定的對稱性，就從他們具有的這個(gè)共同性質(zhì)——對稱性進(jìn)行類比，得到了一些令人驚奇的發(fā)現(xiàn)。

類比推理作為一種邏輯方法，是一切理解和思維的基礎(chǔ)，它有助于幫助學(xué)生啟發(fā)思維，開拓境界，找到解決問題的新方法和新途徑。在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，我們應(yīng)當(dāng)學(xué)會(huì)運(yùn)用類比推理，通過我們已經(jīng)掌握的知識和規(guī)律，對遇到的新問題進(jìn)行分析，歸納出它們之間的相似性和內(nèi)在規(guī)律，進(jìn)而找到解決問題的辦法。教師在教學(xué)過程中，必須讓學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用類比推理，進(jìn)而培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)發(fā)散思維。

二、類比推理的教學(xué)策略

1.教師要有重視和運(yùn)用類比推理的意識

例如，在學(xué)習(xí)等差數(shù)列和等比數(shù)列時(shí)，由于它們無論在定義還是公式等各方面都比較雷同，因此可以利用類比推理，由等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行類比分析和推理，從而可以得到等比數(shù)列的性質(zhì)。通過以往學(xué)過的等差數(shù)列知識的帶入，對于即將學(xué)習(xí)的等比數(shù)列，通過使用類比推理的方法來學(xué)習(xí)，可以讓學(xué)生產(chǎn)生一定的熟悉度，拉近和新知識之間的距離，在輕松掌握新知識的同時(shí)還溫習(xí)了舊知識，做到了新舊知識的學(xué)習(xí)兩不誤，更重要的是，不僅加深了學(xué)生對知識的記憶力和掌握力，還加強(qiáng)了對知識脈絡(luò)的統(tǒng)一性和連貫性。引導(dǎo)學(xué)生通過類比學(xué)會(huì)欣賞，通過欣賞合理類比。

2.幫助學(xué)生建構(gòu)系統(tǒng)的類比模型

學(xué)生的學(xué)習(xí)是一個(gè)知識獲得、記憶、運(yùn)用的過程，對獲得的知識進(jìn)行加工是能夠長期記憶與靈活運(yùn)用的重要條件，系統(tǒng)建構(gòu)就是一種有效的加工方式。事實(shí)上，根據(jù)類比范疇的不同，類比可分為系統(tǒng)間的類比和系統(tǒng)內(nèi)的類比，系統(tǒng)間的類比是指兩個(gè)不同知識系統(tǒng)之間概念、構(gòu)成、性質(zhì)等方面較為完整的類比，如等式與不等式、數(shù)量與向量、平面幾何與立體幾何之間的類比等；系統(tǒng)內(nèi)的類比是指某個(gè)知識系統(tǒng)之內(nèi)兩個(gè)不同對象某些方面局部的類比，如實(shí)數(shù)運(yùn)算中的加法與乘法、數(shù)列中的等差與等比、圓錐曲線中的橢圓與雙曲線之間的類比等。如果學(xué)生在頭腦中形成了清晰的模型系統(tǒng)，那么類比時(shí)便能針對不同的模型迅速找到鏈接，定位類比。

3.引導(dǎo)學(xué)生明確類比對象的相似性

在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生明確類比對象的相似性，弄清在推理中究竟是從哪些已知的“相似性”推出什么樣的未知的“相似性”，并且要堅(jiān)持把它們的相似性用語言確切地表述出來。比如平面幾何與立體幾何之間的類比：

平面幾何中的概念 立體幾何中的類似概念圓球圓的切線 球的切面圓的弦 球的截面圓圓的周長 球的表面積圓的面積 球的體積

例：在平面幾何中有概念：平行四邊形、矩形、正方形。根據(jù)下列條件，指出它們在立體幾何中類似的概念各是什么。

（1）以四面體作為三角形的類比；（2）以空間棱錐作為三角形的類比。

解析：（1）當(dāng)以四面體作為三角形的類比時(shí)，由于四面體的每一個(gè)面都是三角形，因而平行四邊形在立體幾何中的類比圖形的每一個(gè)面都應(yīng)是平行四邊形，即為平行六面體。同理，矩形、正方形在立體幾何中的類比圖形應(yīng)分別是長方體、正方體。（2）由于空間棱錐的每一個(gè)側(cè)面都是三角形，但底面不一定是三角形，因而當(dāng)以空間棱錐作為三角形的類比時(shí)，僅需考慮側(cè)面。故平行四邊形在立體幾何中的類比圖形是棱柱（因?yàn)槔庵膫?cè)面都是平行四邊形），同理，矩形、正方形在立體幾何中的類比圖形分別是直棱柱、所有棱長都相等的正棱柱。

4.鼓勵(lì)學(xué)生主動(dòng)、大膽地進(jìn)行類比

在三角形中有余弦定理，在教學(xué)中可以將余弦定理拓展到“空間圖形”中，可以類比余弦定理，寫出斜三棱柱的三個(gè)側(cè)面面積與其中兩個(gè)側(cè)面所形成的二面角之間的關(guān)系式。上面是將平面三角形中的余弦定理運(yùn)用到空間斜三棱柱中，我們通過上述類比可以發(fā)現(xiàn)，類比推理可以培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性的思維方式，讓學(xué)生大膽地思考問題，也可以輔助教師教學(xué)。另外，因?yàn)轭惐韧评淼慕Y(jié)論具有或然性、創(chuàng)造性的特點(diǎn)，所以，教師在教學(xué)中要鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行大膽類比，保護(hù)學(xué)生的積極性與創(chuàng)造力，從而促進(jìn)學(xué)生類比推理能力的發(fā)展。

5.強(qiáng)調(diào)類比的合理性和科學(xué)性

盡管運(yùn)用類比可進(jìn)行一些偉大的發(fā)現(xiàn)，但是類比所得的結(jié)論不一定正確，需要進(jìn)行驗(yàn)證，因?yàn)槿魏蝺蓚€(gè)事物之間總有一定的差異性，如果推出的屬性正好是他們的差異性，那么類比的結(jié)論就會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤。誠如波利亞所言：“如果把這種猜測的似真性當(dāng)作肯定性，那將是愚蠢的（但是忽視這種似真的猜測將同樣愚蠢，甚至更為愚蠢）?！痹诮虒W(xué)中一方面要鼓勵(lì)學(xué)生根據(jù)類比對象的相似性及類比規(guī)律大膽猜想，給出最合理的結(jié)論；另一方面要要求學(xué)生對類比的思維過程進(jìn)行分析，檢驗(yàn)結(jié)論的正確性。有時(shí)這個(gè)過程是比較曲折的，當(dāng)猜想的結(jié)論經(jīng)檢驗(yàn)不成立時(shí)，則需要根據(jù)思維過程的類比分析做出調(diào)整。反之，如果學(xué)生只關(guān)注類比結(jié)論，忽視了類比過程，則容易過于追求結(jié)論的形式化。