◇ 陜西 徐建平

一類函數(shù)最值問題的探討

◇ 陜西 徐建平

區(qū)間上二次函數(shù)的最值問題是初等數(shù)學(xué)中解決“恒成立”問題的重要基礎(chǔ)之一.在長期的教學(xué)中,筆者深感此類問題是學(xué)生學(xué)習(xí)中的一個(gè)薄弱環(huán)節(jié).現(xiàn)將此類問題歸納如下,愿與同行們商討.

1 區(qū)間給定,對稱軸確定

1)若對稱軸在區(qū)間內(nèi),二次項(xiàng)系數(shù)為正時(shí)最小值在對稱軸取得,最大值在區(qū)間端點(diǎn)取得,反之最大值在對稱軸取得,最小值在區(qū)間端點(diǎn)取得.

例1求函數(shù)y＝cos2x＋2sinx的值域.

解析

y＝cos2x＋2sinx＝－2sin2x＋2sinx＋1.設(shè)t＝sinx,則－1≤t≤1,則原函數(shù)可化為y＝－2t2＋2t＋1＝－2(t－)2＋,所以當(dāng)t＝時(shí),ymax＝3/2,當(dāng)t＝－1,ymin＝－3,所以所求函數(shù)的值域?yàn)閇－3,3/2].

例2(2013年全國新課標(biāo)Ⅰ)若函數(shù)f(x)＝(1－x2)(x2＋ax＋b)的圖象關(guān)于x＝－2對稱,則f(x)的最大值為________.

解析

因?yàn)辄c(diǎn)(1,0)、(－1,0)在函數(shù)f(x)的圖象上且圖象關(guān)于直線x＝－2對稱,所以點(diǎn)

2)若所給區(qū)間位于對稱軸的左側(cè)或右側(cè),只須利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可求出最值.

例3求的值域.

解析

該題的解法較多,本文只介紹轉(zhuǎn)化為區(qū)間上二次函數(shù)求最值的方法.

2 區(qū)間給定,對稱軸含參數(shù)

1)若二次函數(shù)的最大值、最小值均需求解時(shí),應(yīng)以區(qū)間的兩端點(diǎn)和區(qū)間的中點(diǎn)為界點(diǎn)對參數(shù)分4種情況進(jìn)行討論.

例4求函數(shù)f(x)＝x2－2ax－1,x∈[0,2]的值域.

解析

f(x)＝x2－2ax－1＝(x－a)2－a2－1.當(dāng)a＜0時(shí),函數(shù)f(x)在[0,2]上單調(diào)遞增,fmin(x)＝f(0)＝－1,fmax(x)＝f(2)＝3－4a.

當(dāng)0≤a≤1時(shí),fmin(x)＝f(a)＝－a2－1,fmax(x)＝f(2)＝3－4a.

當(dāng)1＜a≤2時(shí),fmin(x)＝f(a)＝－a2－1,fmax(x)＝f(0)＝－1.

當(dāng)a＞2時(shí),f(x)在[0,2]上單調(diào)遞減,fmin(x)＝f(2)＝3－4a,fmax(x)＝f(0)＝－1.

綜上,當(dāng)a＜0時(shí),值域?yàn)閇－1,3－4a];當(dāng)0≤a≤1時(shí),值域?yàn)閇－a2－1,3－4a];當(dāng)1＜a≤2時(shí),值域?yàn)閇－a2－1,－1];當(dāng)a＞2時(shí),值域?yàn)閇3－4a,－1].

2)若只須求二次函數(shù)的最小值,應(yīng)以區(qū)間的兩端點(diǎn)為分界點(diǎn)對參數(shù)分3種情況進(jìn)行討論.

當(dāng)λ＞1,cosx＝1時(shí),fmin(x)＝1－4λ,由題意知1－4λ＝－,解得λ＝,這與λ＞1矛盾.

綜上,λ＝.

3)若只須求二次函數(shù)的最大值,應(yīng)以區(qū)間的中點(diǎn)為分界點(diǎn)對參數(shù)分2種情況進(jìn)行討論.

(1)求a、b的值.

(2)若對t∈[0,2],不等式f(t2－2kt)＋f(2t2－k)＞0恒成立,求k的取值范圍.

解析

(1)因?yàn)閒(x)是奇函數(shù),所以f(0)＝0,f(－1)＝－f(1),所以

又因?yàn)閒(x)單調(diào)遞減,所以t2－2kt＜k－2t2,即對t∈[0,2],3t2－2kt－k＜0恒成立.

解析

依題意可設(shè)P(0,1),Q(x,y),則

點(diǎn)Q在橢圓上,所以

因?yàn)閍＞1,所以1－a2＜0,本題轉(zhuǎn)化為求開口向下的二次函數(shù)區(qū)間上最大值的問題.按常規(guī)思路應(yīng)對以區(qū)間的兩端點(diǎn)－1、1為界點(diǎn)分3種情況討論.

由于a＞1,所以,故只需對以－1為界點(diǎn)分2種情況討論.

3 區(qū)間的端點(diǎn)含參數(shù),對稱軸確定

求區(qū)間端點(diǎn)含參數(shù)且對稱軸確定情況下二次函數(shù)的最值,首先需明確題意要求,弄清楚是最大、最小值都需要求,還是只求最小值或最大值,然后根據(jù)情況,結(jié)合二次函數(shù)的圖象,以區(qū)間的端點(diǎn)、中點(diǎn)位于對稱軸的左、右進(jìn)行討論.

例8已知函數(shù)f(x)＝x2－4x－4在閉區(qū)間[t,t＋1](t∈R)上的最小值為g(t),試寫出函數(shù)g(t)的表達(dá)式.

解析

f(x)＝x2－4x－4＝(x－2)2－8.

當(dāng)t＋1＜2,即t＜1時(shí),f(x)在[t,t＋1]上遞減,g(t)＝f(t＋1)＝t2－2t－7.

本文運(yùn)用分類討論思想對二次函數(shù)的最值問題進(jìn)行了求解.解題中還應(yīng)用了數(shù)形結(jié)合思想,即借助二次函數(shù)的圖象,將所要解答的題目劃歸為本文所述某一類型問題進(jìn)行求解.總之,熟練掌握二次函數(shù)的圖形特征(對稱軸、最值、單調(diào)性等)是求解其最值問題的一把利器.

(作者單位:陜西省西安市第八中學(xué))