☉山東省青島第九中學(xué) 段旭東

從一道試題的挖掘談試題結(jié)構(gòu)分析

☉山東省青島第九中學(xué) 段旭東

眾所周知，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)的提高離不開試題的訓(xùn)練.回頭望望，傳統(tǒng)的成績(jī)提高訓(xùn)練離不開大量試題的訓(xùn)練，即所謂的題海訓(xùn)練戰(zhàn)術(shù).這在新知教學(xué)以及高一、高二教學(xué)中的確起到了一定的作用，也是很多教師屢試不爽的教學(xué)法寶之一.隨著數(shù)學(xué)知識(shí)難度的增加，這種題海訓(xùn)練模式的弊端迅速在高三教學(xué)中顯現(xiàn)出來，其一是各種各樣的試題太多，學(xué)生的學(xué)習(xí)時(shí)間有限，不可能把所有的試題面面俱到地解答一遍，而且很多試題沒有價(jià)值，浪費(fèi)了時(shí)間和精力；其二是沒有思考的訓(xùn)練，沒有挖掘的練習(xí)，往往導(dǎo)致了學(xué)習(xí)的低效性，這些現(xiàn)象的改變需要在學(xué)習(xí)中精選問題，在有限的時(shí)間內(nèi)做好高效復(fù)習(xí).

近期筆者在一次課后提問中，嘗試了對(duì)一個(gè)問題的深入思考和探索，與同學(xué)們一起研究試題處理的角度和多樣性，深刻體會(huì)了羅增儒教授所描述的“題不在多，有深究則靈”這一話語，讓筆者對(duì)于如何思考問題、解決問題以及對(duì)問題培養(yǎng)專研精神有了更多的收獲.

問題：已知（fu）=u2+au+（b-2），其中x≠0），若a，b可使方程f（u）=0至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根，求a2+b2的最小值.

當(dāng)4-|a|≥0和a2-4（b-2）≥0時(shí)，則2|a|≥b+2，若b+2≥ 0，則即當(dāng)若b+2＜0，則a2+b2＞4（舍去）.

當(dāng)4-|a|＜0和a2-4（b-2）≥0時(shí)，a2+b2＞16（舍去）.

評(píng)析：本題是筆者在復(fù)習(xí)中，引入的一個(gè)函數(shù)零點(diǎn)問題.這是標(biāo)準(zhǔn)答案提供的解法，仔細(xì)一看該解法也比較工整，推理也比較嚴(yán)密，分類切入也比較合理，是一個(gè)不錯(cuò)的解決方案.但有的同學(xué)會(huì)問筆者：這個(gè)方法要求根，很啰嗦，有沒有更好的解法呢？筆者陷入了思考.我們解決問題有時(shí)因?yàn)榉N種原因，總是陷入標(biāo)準(zhǔn)答案之中，用他人的思考替代了自己的思維，這種“照搬答案”的解法自然是無法吸引同學(xué)們積極學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，因?yàn)楣P者認(rèn)為應(yīng)該從一個(gè)值得研究的問題入手，合理探究、共同探討，培養(yǎng)問題思考角度的多樣性和探究的理性精神.

重新思考：本題的變量較多，但是按照次序和整體性而言，首先應(yīng)該考慮u，從這一字母出發(fā)，進(jìn)而思考a，b，最后解決a2+b2.即（1）求出u的值域；（2）從f（u）=0的根u的范圍來得到a、b所滿足的條件；（3）求出a2+b2的最小值.筆者將知識(shí)處理的流程用框架結(jié)構(gòu)展示出來（如圖1所示），大家可以清楚地看到問題處理所需要的流程，以及所運(yùn)用到的基本知識(shí)和基本技能（如圖2所示）.

結(jié)構(gòu)分析：（1）上述解法采用了最直接的思路，利用f（u）=u2+au+（b-2）=0的根得到絕對(duì)值不等式，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為無理根式不等式解決問題，但是無理根式處理的難度較大，一般學(xué)生只能放棄，因此從理論上可行但是學(xué)生實(shí)際操作困難重重；（2）上述解答中第二問起到了承上啟下的作用，是關(guān)鍵步驟；（3）上述解法是從正面入手，環(huán)環(huán)相扣.

解題反思：從正面角度入手，思維量比較簡(jiǎn)單，但是運(yùn)算比較復(fù)雜，很明顯同學(xué)們很難從這樣的運(yùn)算中得到最終的答案.那么我們應(yīng)該思考另一個(gè)問題：是不是有更佳的入手角度呢？從哲學(xué)角度來說，解決途徑正難則反易，是不是換一個(gè)角度來得更為容易呢？

從上面的結(jié)構(gòu)分析中可以看到，原解法中有三個(gè)未知數(shù)，a、b、u，在原解法中突出了u的地位，強(qiáng)調(diào)了u的優(yōu)先使用權(quán)，a，b退居二線，所以我就以它們的地位不同得到下面的結(jié)構(gòu)特征.

第一問的情況較簡(jiǎn)單，我們分析的重點(diǎn)放在第二問和第三問，在第二問的解決中始終圍繞f（u）=u2+au+（b-2）=0至少有一實(shí)根，它的結(jié)構(gòu)特征的探討如下：

特征1：u2+au+（b-2）=0看成關(guān)于u的一元二次方程，在這里突出u的地位.

特征2：f（u）=u2+au+（b-2）看出二次函數(shù)y=f（u）與u軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)至少有一個(gè)，在這里還是突出u的地位.

特征3：u2+au+（b-2）=0處理成一個(gè)恒等式問題，a，b，u地位是相同的.

特征4：u2+au+（b-2）=0關(guān)于a，b的直線方程，把u看成常數(shù)，a，b地位突出.

與此同時(shí)，第三問a2+b2的最小值的解決辦法將決定整個(gè)解題的方向，下面a2+b2的最小值就本題而言體現(xiàn)選取的策略如下：

特征5：a2+b2的最小值轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題來解決.

特征6：利用基本不等式來求解a2+b2的最小值.

特征7：利用a2+b2的幾何意義來解決a2+b2的最小值.

在這里多種特征方式的出現(xiàn)，體現(xiàn)了知識(shí)間結(jié)構(gòu)的清晰度和連通性，同時(shí)也開辟了解題途徑的多樣性，為我們下面的新解法做好基礎(chǔ)性的鋪墊.從我們的上述分析的主要本質(zhì)步驟和第二問中的特征1、2、3、4以及第三問的特征5、6、7重新組合為更接近問題的深層結(jié)構(gòu)的新解法.

評(píng)析：本題的解法是特征3和特征5、6的資源重組，利用恒等式的恒等變化為關(guān)于a的一元二次函數(shù)來求解，最后利用基本不等式來求解，最大的優(yōu)點(diǎn)避開了煩瑣的分類討論，但在式子上過于復(fù)雜，沒有扎實(shí)的基本功是解不出來的.

所以得到f（u）=0至少有一根在平面直角坐標(biāo)系中表示的區(qū)域?yàn)椋?），其中（*）為表示區(qū)域的補(bǔ)集.

利用線性規(guī)劃知（*）表示的線性區(qū)域如圖所示：圖中陰影部分表示a、b的滿足的范圍，由幾何意義知a表示點(diǎn)（a，b）到原點(diǎn)距離的平方.從圖像觀察，原點(diǎn)到線形區(qū)域上的點(diǎn)（a，b），是點(diǎn)到直線2a+b+2=0或者2a-b-2=0的距離的平方最短.易由解析幾何知識(shí)知d2=時(shí)取等號(hào).

評(píng)析：此題的解法是常規(guī)解法，大部分師生做到第二問的a，b所滿足的（*）式，接下去求a2+b2的最小值感覺無能為力，如果沒有對(duì)a2+b2的最小值的探索是得不到這個(gè)解法的.所以我們感到有必要實(shí)施解題分析.從而我們另辟新徑利用a2+b2的幾何意義，結(jié)合線形規(guī)劃知識(shí)（本質(zhì)是數(shù)形結(jié)合），使問題得以順利解決.

評(píng)析：此題的解決是在新解1和新解2的前提下，尋求的新的解法.題目的解決關(guān)鍵是把u2+au+（b-2）=0看成關(guān)于a，b的直線方程.這正是由于我們對(duì)題目反思的結(jié)果.既簡(jiǎn)化計(jì)算，又是思維清晰.不失為一種最佳答案.

小結(jié)：根據(jù)上面的分析，我們可以感到解題分析的重要性和功效.也初步了解了如何進(jìn)行解題分析.下面簡(jiǎn)單概括以下幾點(diǎn).

（1）確定一個(gè)分析的視角：分析的角度可以是多方面的，本例的分析角度選取了這樣一個(gè)模式：提出問題—問題特征—策略選擇—資源配置—反思回饋.

（2）解題分析的收獲：我們從上面的分析可以得到以下幾個(gè)方面的成果.

從微觀層面上，將有助于理解問題的深層結(jié)構(gòu)，不僅能簡(jiǎn)化過程、完善解題，而且會(huì)產(chǎn)生陳題新解、難題簡(jiǎn)解、佳題巧解等效果；

從宏觀層面上，將有助于數(shù)學(xué)解決問題能力的提高，具體表現(xiàn)為問題的識(shí)別和結(jié)構(gòu)特征，將有助于解題思路的主動(dòng)設(shè)計(jì)，方法的靈活運(yùn)用；

總之，解題后一定要進(jìn)行解題分析和解后思.一思，解決對(duì)的問題，二思，解決優(yōu)化，三思，解決通法.在分析和反思的過程中不斷總結(jié)方法、技能以及經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，真正領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)思想和本質(zhì)問題，優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提高思維能力，從而更大的發(fā)揮和提高同學(xué)們的智力和潛能.