☉浙江省寧波市惠貞書院 姚榮峰

問題驅(qū)動 有效教學
——《二元一次不等式（組）與平面區(qū)域》教學設(shè)計及啟示

☉浙江省寧波市惠貞書院 姚榮峰

在數(shù)學教學中，數(shù)學問題是引發(fā)學生思考與探究的驅(qū)動力.有了問題，學生的好奇心才能被激發(fā)；有了問題，學生的思維才能啟動；有了問題，學生的探究才真正有效.通過問題，才能把知識的邏輯結(jié)構(gòu)與學生的思維過程有機結(jié)合起來，實現(xiàn)知識的邏輯結(jié)構(gòu)向?qū)W生的認知結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)化.一個“好”的問題設(shè)計有利于更好地為學生的探究學習創(chuàng)設(shè)和諧的氣氛和情境，有利于學生的主動學習與思維發(fā)展.課堂目標的實現(xiàn)與教學效率很大程度上取決于問題設(shè)計.下面以筆者參加浙江省寧波市“一師一優(yōu)課，一課一名師”活動時對《二元一次不等式（組）與平面區(qū)域》的教學為例談?wù)勛约旱母形?，以求教于同?

一、教材分析

1.教材的地位和作用

線性規(guī)劃是高中數(shù)學的重要內(nèi)容，是課標重視知識應(yīng)用的體現(xiàn).二元一次不等式表示平面區(qū)域是線性規(guī)劃三個課時的第一個課時.它是學生對不等式、直線方程知識的深化和綜合應(yīng)用，也是后續(xù)學習“圖解法”解決簡單線性規(guī)劃問題的基礎(chǔ)，并有助于下一章“點與圓錐曲線的位置關(guān)系”的學習和理解，起著承上啟下的作用.

本節(jié)內(nèi)容體現(xiàn)了數(shù)學的工具性、應(yīng)用性，同時也滲透了數(shù)形結(jié)合、分類討論、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想.

2.教學的重點、難點和關(guān)鍵

教學重點：用二元一次不等式表示平面區(qū)域的方法.

教學難點：探究二元一次不等式（組）所表示的平面區(qū)域的過程；正確畫出二元一次不等式表示的平面區(qū)域.

關(guān)鍵：運用數(shù)形結(jié)合的思想方法，幫助學生用集合的觀點和語言來分析和描述幾何圖形，用代點法并結(jié)合多媒體課件動態(tài)演示突破難點.

3.教學目標

（1）知識與技能：經(jīng)歷從實際問題中抽象出出二元一次不等式（組）的過程；了解二元一次不等式的幾何意義，能準確畫出二元一次不等式表示的平面區(qū)域；學生在學會知識的過程中，培養(yǎng)學生運用數(shù)學方法解決問題的能力.

（2）過程與方法：通過學生合作探究、獨立思考、自由討論、情景設(shè)置等方法幫助學生在原有經(jīng)驗基礎(chǔ)上對新知識進行主動建構(gòu)；引導(dǎo)學生進行嘗試、猜想、證明、歸納，突破本節(jié)難點.

（3）情感、態(tài)度和價值觀：通過對新知識的構(gòu)建，優(yōu)化學生的思維品質(zhì)；通過自主探索、合作交流，增強學生對數(shù)學的情感體驗，提高創(chuàng)新識；充分體會數(shù)學來源于生活，又服務(wù)于生活，培養(yǎng)學生的應(yīng)用意識.

4.教學方法和教學手段

（1）教學方法：本節(jié)課以“問題串—引導(dǎo)—點撥—建構(gòu)—鞏固”的模式，采用探索討論法進行教學，學生主動參與提出問題、探索問題和解決問題的過程，突出以學生為主體的探究性學習活動.

（2）教學手段：借助計算機在圖形動態(tài)演示方面的優(yōu)勢，實現(xiàn)計算機輔助教學.同時，采用實物投影，加強課堂練習的反饋與校正.

二、教學過程

1.提出問題，創(chuàng)設(shè)情境

問題1 我們班計劃用少于100元的錢購買單價分別為2元和1元的大、小彩球裝點聯(lián)歡晚會的會場，根據(jù)需要，大球數(shù)不少于10個，小球數(shù)不少于20個，請你給出幾種不同的購買方案？

學生通過思考，相繼得到許多不同的解：上述各個解都滿足2x+y-100<0.

得到一個新的不等式模型，它比前面講的不等式多了一個未知數(shù).含有兩個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1，這樣的不等式稱為二元一次不等式.幾個二元一次不等式組成的不等式組稱為二元一次不等式組.滿足二元一次不等式或不等式組的x，y組成有序?qū)崝?shù)對（x，y）叫作二元一次不等式的一個解，所有這樣的有序?qū)崝?shù)對（x，y）構(gòu)成的集合稱為二元一次不等式（組）的解集.

問題2 如何解二元一次不等式（組）？

我們把不等式的解集看成是一些點的集合，這樣把“解”的問題轉(zhuǎn)化成“點”的問題，體現(xiàn)了一種數(shù)形結(jié)合思想.那么探究解集的問題就轉(zhuǎn)化為探尋這些點所構(gòu)成的幾何圖形的問題，體現(xiàn)一種轉(zhuǎn)化思想.為了解決今天的問題，首先要學習二元一次不等式（組）與平面區(qū)域.（板書課題）

問題3 二元一次不等式的解集表示什么區(qū)域？先選擇一個特殊的二元一次不等式2x+y-100<0.平面直角坐標系內(nèi)的點被直線2x+y-100=0分為哪三類？以上述解為坐標的點分布在哪個區(qū)域？

問題4 直線2x+y-100=0右上方的平面區(qū)域如何表示？左下方的平面區(qū)域呢？

設(shè)計意圖：問題是數(shù)學的“心臟”，是數(shù)學知識、能力發(fā)展的生長點和思維的動力，把問題作為教學出發(fā)點，創(chuàng)設(shè)學生熟悉的問題情境，構(gòu)造問題懸念，激發(fā)學生學數(shù)學、用數(shù)學的興趣.問題3與問題4意在構(gòu)建新知與舊知之間的知識鏈，找出學習新知的思維的生長點.自然引入課題，為學習新知創(chuàng)造一個最佳心理和認知環(huán)境.

2.嘗試探求，歸納猜想

針對問題3，學生展開積極的探索活動，分組交流討論，教師適時用幾何畫板演示，引導(dǎo)學生觀察隨著動點P（xP，yP）的變化，2xP+yP-100的數(shù)值變化情況，最后師生共同歸納并猜想：

在平面直角坐標系中，以二元一次不等式2x+y-100<0的解為坐標的點的集合｛（x，y）|2x+y-100<0｝是在直線2x+y-100=0的左下方的平面區(qū)域.

以二元一次不等式2x+y-100>0的解為坐標的點的集合｛（x，y）|2x+y-100>0｝是在直線2x+y-100=0的右上方的平面區(qū)域.

設(shè)計意圖：（1）讓學生交流合作、積極探索猜想.既調(diào)動了學生的積極性，又培養(yǎng)了學生的邏輯思維能力和創(chuàng)造力.（2）多媒體動態(tài)模擬演示，有助于學生在感性認識的基礎(chǔ)上形成理性認識.

3.交流合作，解決問題

學生分組探索證明猜想，教師巡視參與討論，并適時進行點撥指導(dǎo).挑選一個小組，通過實物投影展示他們對猜想的證明方案.（師生共同進行完善修正，證明過程由課件展示）

證明：在直線l：2x+y-100=0右上方任取一點P（x，y），過P點作垂直于y軸的直線y=y0交直線l于點P（0x0，y0）.此時有

x>x0，y=y0，

所以，2x+y>2x0+y0，

2x+y-100>2x0+y0-100=0，

即2x+y-100>0.

所以，對于直線2x+y-100=0右上方的任意點P（x，y），2x+y-100>0都成立.

同理，對于直線2x+y-100=0左下方的任意點P（x，y），2x+y-100<0都成立.

猜想得證！

（證明時過P點作垂直于x軸的直線是否可行？此問題交由學生課后思考）

設(shè)計意圖：（1）“給學生提供活動的時（思維時間）空（思維空間），讓主體主動構(gòu)建自己的認知結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)學生的創(chuàng)造力”這是建構(gòu)主義的核心觀點，它充分體現(xiàn)了學生的主體地位和教師的主導(dǎo)作用.（2）學生在自主探索和相互交流的過程中，感受成功和失敗的體驗.深刻領(lǐng)悟到數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化的思想在解決數(shù)學問題中所起的作用.同時又培養(yǎng)了學生的邏輯思維能力和樂于探索，大膽創(chuàng)新的品質(zhì)以及交流、合作的精神.

4.歸納總結(jié)，揭示新知

問題5 由這個特殊的不等式，類比一般的不等式，Ax+By+C>0表示什么圖形？

對于一般的二元一次不等式，由學生自行歸納總結(jié)，不要求證明.

結(jié)論：一般地，二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐標系中表示直線Ax+By+C=0某一側(cè)所有點組成的平面區(qū)域.

問題6 直線Ax+By+C=0同一側(cè)所有的點（x，y）代入Ax+By+C所得實數(shù)符號如何？

問題7 如何判斷Ax+By+C>0表示直線Ax+By+C=0哪一側(cè)平面區(qū)域？

引導(dǎo)學生探索分析對于直線Ax+By+C=0同一側(cè)的所有點（x，y），把坐標（x，y）代入Ax+By+C，所得到實數(shù)的符號都相同，所以只需要在直線的某一側(cè)取一個特殊點（x0，y0），從Ax0+By0+C的正負即可判斷不等式Ax+By+C>0表示直線哪一側(cè)的平面區(qū)域.（一般把特殊點取為坐標原點，這種方法稱為代點法）

概括為：畫二元一次不等式表示的平面區(qū)域的方法為“直線定界，特殊點定域”.

特別地，當C≠0時，常把原點作為特殊點，即“直線定界、原點定域”.

問題8 Ax+By+C≥0表示的平面區(qū)域與Ax+By+C> 0表示的平面區(qū)域有何不同？如何體現(xiàn)這種區(qū)別？

總結(jié)：我們把直線畫成虛線以表示區(qū)域不包含邊界直線.畫不等式Ax+By+C≥0所表示的平面區(qū)域時，此區(qū)域包括邊界直線，應(yīng)把邊界直線畫成實線.

設(shè)計意圖：（1）啟發(fā)誘導(dǎo)，揭示知識形成過程，讓學生參與教學過程，倡導(dǎo)布魯納的發(fā)現(xiàn)教學：讓學生做學習的主人.（2）通過前面對一個具體實例的求解，歸納總結(jié)得出一般結(jié)論，遵循了從“具體到抽象”的認知規(guī)律，蘊含了從“特殊到一般”的推理方法.（3）及時梳理歸納，符合建構(gòu)主義的學習原理，能較好地形成新的認知結(jié)構(gòu).代點法的引入，“直線定界，特殊點定域”，難點的突破也就水到渠成了.

5.應(yīng)用新知，練習鞏固

例題（即問題1） 畫出不等式組表示的平面區(qū)域

設(shè)計以下幾個問題：

（1）不等式表示的區(qū)域是在哪條直線的一側(cè)？這條直線是實線還是虛線？為什么？

（2）運用代點法判斷平面區(qū)域的位置時取哪個特殊點代入較好？

（3）不等式組表示的平面區(qū)域如何確定？（各個不等式表示的平面點集的交集即各個不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分）

問題9 如果增加條件x∈N+，y∈N+呢？（回到問題1）

（是上述公共平面區(qū)域內(nèi)的整點）

問題10 若直線x-my+2=0與線段AB（其中A（0，100），B（10，20））有公共點，求m的取值范圍.

設(shè)計意圖：（1）精心設(shè)計了階梯型的問題，使學生主動參與教學活動，思維層層深入，體現(xiàn)了教師為主導(dǎo)，學生為主體的教學原則.（2）多媒體動態(tài)地顯示了區(qū)域的形成過程，加強了直觀性和生動性.（3）問題9是為后續(xù)學習線性規(guī)劃問題的整點最優(yōu)解做鋪墊，同時也是對問題1的呼應(yīng)；問題10是對“二元一次不等式（組）表示平面區(qū)域”的應(yīng)用延伸.

課堂練習：

（1）畫出下列不等式表示的平面區(qū)域（課本練習）：

（1）x-y+1<0，（2）2x+5y-10≥0.

（2）畫出下列不等式組表示的平面區(qū)域（課本練習）：

設(shè)計意圖：

學生自行練習，教師巡視，收集練習中出現(xiàn)的典型錯誤，利用實物投影進行集體訂正，達到鞏固新知的目的.

6.小結(jié)評價，問題創(chuàng)新

由學生歸納本節(jié)學習內(nèi)容及本課體現(xiàn)出的數(shù)學思想.

（1）二元一次不等式（組）表示平面區(qū)域.

（2）畫出二元一次不等式（組）表示平面區(qū)域的方法：“直線定界，特殊點定域”.

（3）數(shù)學思想：數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化、特殊到一般.

提出新問題，學生課后思考題：

高二（1）班計劃用少于100元的錢購買單價分別為2元和1元的大、小彩球裝點聯(lián)歡晚會的會場，根據(jù)需要，大球數(shù)不少于10個，小球數(shù)不少于20個，請問最多可以買到幾只彩球？

設(shè)計意圖：

（1）通過小結(jié)使學生明確本節(jié)課的知識.

（2）適當?shù)淖鳂I(yè)有助于進一步鞏固新知.

（3）思考題創(chuàng)設(shè)了在線性約束條件下求x+y最大值的新問題，為下節(jié)課最優(yōu)解的解決鋪墊，整點最優(yōu)解的尋求滿足了學有余力的學生的需要.

三、教學啟示

1.設(shè)計問題，使學生的思維從問題開始

問題是數(shù)學的心臟，美國心理學家布魯納指出：“教學過程是一種提出問題和解決問題的持續(xù)不斷的活動，思維永遠是從問題開始.”在課堂教學中，我們應(yīng)該根據(jù)學生的“最近發(fā)展區(qū)”設(shè)計問題串，通過問題驅(qū)動，立足于問題解決，發(fā)展學生的思維.在本節(jié)課的教學中，筆者從問題1到問題10，層層遞進，問題驅(qū)動，拾級而上.較好地完成了教學目標，收到了很好的教學效果.

2.問題的設(shè)計要注意處理好新舊知識的矛盾

新舊知識之間既有相互貫通的地方，也有不同之處.而這種不同點往往正是知識的發(fā)展與提高，所以教師要抓住新舊知識的連接點，適時地提出有效問題，引起學生的認知沖突，引發(fā)學生的探究興趣與欲望.本節(jié)課中問題的提出讓學生產(chǎn)生了新舊知識的矛盾，在這樣的認知沖突下，學生個個都有參與思考的欲望.

3.問題的設(shè)計要注重學生能力的培養(yǎng)

圍繞教學目標，教師提出一系列問題，這些問題的設(shè)計，能啟發(fā)學生思維，完成學習目標，同時還要在重點和難點出設(shè)置問題，幫助學生突破難點.教師在設(shè)置問題的時候，不能只限于“呈現(xiàn)型”問題，要注重“發(fā)現(xiàn)型”和“探究型”問題，倡導(dǎo)學生在學習中的“智力探險”，有利于學生思維的飛躍，加深對數(shù)學本質(zhì)的認識.

4.問題設(shè)計上要關(guān)注大多數(shù)學生的接受能力

問題的難易要適度，符合學生的“最近發(fā)展區(qū)”，既不能過于“暴露”，也不能過于“隱蔽”，教學實踐表明，并不是所有的問題都能引起學生思考，僵化的，形式的問題往往使學生應(yīng)付性的回答.根據(jù)具體的教學內(nèi)容，設(shè)計層次分明的問題，能大大降低學生學習的難度，從而使教學活動深入，促進課堂的有效教學.

“問題驅(qū)動”的教學，能夠培養(yǎng)學生自主學習，善于思考，勤于動手，敢于質(zhì)疑的良好習慣，教師要精心設(shè)計問題，保證有效教學！Z