陳洋，管殿柱

（青島大學(xué) 機(jī)電學(xué)院，山東 青島 266071）

基于Matlab的機(jī)械手運動學(xué)分析與仿真

陳洋，管殿柱

（青島大學(xué) 機(jī)電學(xué)院，山東 青島 266071）

在Solidworks中對上下料機(jī)械手進(jìn)行三維建模，運用Craig版本的D-H法來描述機(jī)器人的連桿參數(shù)和關(guān)節(jié)變量，運用代數(shù)法求解出其運動學(xué)方程，在Marlab Robotics Toolbox中運用Link函數(shù)對其建模，并對其進(jìn)行正向和逆向運動學(xué)仿真，從而驗證數(shù)學(xué)方程的正確性。選取一小段路徑對其進(jìn)行軌跡規(guī)劃，得出機(jī)械手末端執(zhí)行器的空間軌跡以及各關(guān)節(jié)連續(xù)平穩(wěn)的位移、速度和加速度曲線，延長了機(jī)器人的使用壽命，為機(jī)械手后期的動力學(xué)分析和控制研究提供了一定的理論基礎(chǔ)。

上下料機(jī)械手；運動學(xué)分析；Robotics Toolbox；仿真

工業(yè)機(jī)器人系統(tǒng)主要由機(jī)械系統(tǒng)、傳感系統(tǒng)、控制系統(tǒng)及信息處理系統(tǒng)組成，具有較高的耦合性和一定的復(fù)雜性［1］。因此工業(yè)機(jī)器人的機(jī)械系統(tǒng)部分應(yīng)該與其他系統(tǒng)的設(shè)計相匹配，可以說是機(jī)器人系統(tǒng)的基礎(chǔ)硬件部分，其機(jī)械系統(tǒng)的準(zhǔn)確設(shè)計顯得尤其重要。機(jī)械手作為高復(fù)雜性、高耦合性的機(jī)械系統(tǒng)，要讓執(zhí)行機(jī)構(gòu)完成預(yù)定的軌跡和任務(wù)，需要對其在空間位置和姿態(tài)進(jìn)行分析，從而進(jìn)一步分析其位移、速度和加速度。而機(jī)器人運動學(xué)是從機(jī)構(gòu)和幾何的角度來描述和研究機(jī)器人的運動特性，而不考慮引起這些力或者力矩的作用［2］。

Matlab Robotics Toolbox是由澳大利亞科學(xué)家Peter Corke開發(fā)和維護(hù)的一種基于Matlab的機(jī)器人學(xué)工具箱，當(dāng)前最新版本為第9版。該工具箱通過下載安裝后可以在Matlab環(huán)境中運行，是專門用來解決機(jī)器人建模、運動學(xué)分析和軌跡規(guī)劃問題的可視化軟件，用戶可以使用對應(yīng)的命令來建模和分析。Matlab Robotics Toolbox通過內(nèi)部定義的各種函數(shù)將機(jī)器人復(fù)雜的運動學(xué)問題變得高效、準(zhǔn)確。同時，它能對機(jī)器人進(jìn)行圖形仿真，并能分析真實機(jī)器人控制時的實驗數(shù)據(jù)結(jié)果，因而非常適合機(jī)器人學(xué)的教學(xué)和研究［3］。本部分選用該工具箱對上下料機(jī)械手進(jìn)行分析和仿真。

1 上下料機(jī)械手的建模

1.1 上下料機(jī)械手的三維建模

本文中研究的上下料機(jī)械手的機(jī)械本體結(jié)構(gòu)主要由基座、腰部、大臂、小臂和末端執(zhí)行器等組成。它具有4個自由度，均為旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)，且每個旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)處都配置一個合適的電機(jī)和減速器來增大力矩，使其滿足實際的力矩要求。其中基座為機(jī)器人最底部的支撐和各種接線部分，需要一定的強度和剛度要求。腰部也是機(jī)器人的支撐元件之一，通過電機(jī)和減速器驅(qū)動使其相對于基座繞著z軸旋轉(zhuǎn)，從而實現(xiàn)機(jī)械手水平面的各個轉(zhuǎn)角的變化。大臂作為連接腰部和小臂的部分，起著傳遞力和力矩的作用。小臂和末端執(zhí)行器夾手更加靈活了機(jī)械手的工作空間，使得該機(jī)械手能完全滿足滾絲工藝的各種前伸、抓料、放料、返回等指令動作，從而完成該滾絲機(jī)的上下料過程。各個關(guān)節(jié)間使用軸承、彈性擋圈和轉(zhuǎn)軸連接，從而在滿足一定精度的要求下，降低慣性力和力矩帶來的振動，使得機(jī)器人的運動過程更加平穩(wěn)。根據(jù)上述設(shè)計準(zhǔn)則，運用Solidworks對機(jī)器人進(jìn)行建模，如圖1所示。

圖1 機(jī)械手三維模型圖

1.2 機(jī)械手的Matlab建模

根據(jù)圖1中三維模型圖，可以繪制出其D-H坐標(biāo)系的示意圖，如圖2所示。由于該機(jī)械手為四自由度關(guān)節(jié)型機(jī)器人，其關(guān)節(jié)變量為各關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)角，其初始值θ1為0°、θ2為35°、θ3為-60°、θ4為 25°，其余3個參數(shù)為常量。對圖2的連桿參數(shù)和關(guān)節(jié)變量分別進(jìn)行測量，即a1為383.92mm、a2為280mm、a3為200mm、d2為-165mm、d3為165mm，結(jié)果如表1所示。

圖2 D-H坐標(biāo)系的示意圖

表1 機(jī)械手連桿參數(shù)和關(guān)節(jié)變量值

在Robotics Toolbox中，將機(jī)械手各關(guān)節(jié)簡化為一系列桿件，運用Link函數(shù)可以建立直觀的機(jī)械手模型。Link函數(shù)的一般形式如下［4］：

式中：L為關(guān)節(jié)名稱；α為連桿扭角；A為連桿長度；θ為關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角；D為連桿偏距；σ為關(guān)節(jié)類型：0代表旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)，非0代表移動關(guān)節(jié)。而參數(shù)CON?VENTION分為standard和modified，其中standard表示采用標(biāo)準(zhǔn)的D-H參數(shù)，而modified表示采用改進(jìn)的D-H參數(shù)。考慮到前面采用的是Craig版本的D-H法，該方法與標(biāo)準(zhǔn)的D-H法的區(qū)別是前者每一桿件的坐標(biāo)系z軸和原點固連在該桿件的前一軸線上。顯然此處選擇的是CONVENTION類型為modified，Matlab程序如下：

在Robotics Toolbox工具箱中定義機(jī)器人的DH參數(shù)，用plot函數(shù)繪制出機(jī)器人的三維空間模型，從而方便直觀地了解機(jī)器人的運動特性，如圖3～4所示。圖3為機(jī)器人控制面板，它是通過改變關(guān)節(jié)變量運用drivebot函數(shù)來驅(qū)動機(jī)器人關(guān)節(jié)的運動，即每個關(guān)節(jié)都有一個對應(yīng)的關(guān)節(jié)變量滑塊，圖中的q1，q2，q3和q4分別表示機(jī)器人的4個對應(yīng)關(guān)節(jié)角θ1，θ2，θ3和θ4，可以拖動滑塊或者在其后空白處輸入某個關(guān)節(jié)變量值即可使圖4中的機(jī)器人進(jìn)行相應(yīng)地運動，從而完成一定的作業(yè)要求。從圖4可以看出，該機(jī)器人模型具有4個自由度，在每個關(guān)節(jié)處都有一條虛線表示關(guān)節(jié)軸線，從而有利于反應(yīng)機(jī)器人的運動情況［5］。

圖3 機(jī)器人控制面板

圖4 機(jī)器人三維空間模型

2 機(jī)械手正運動學(xué)分析與仿真

運用代入數(shù)值的方法對正運動學(xué)方程進(jìn)行了初步的檢驗，考慮到其矩陣計算的復(fù)雜性，也可以運用Robotics Toolbox工具箱對其動態(tài)驗證來進(jìn)一步確定該正運動學(xué)方程的正確性。驗證正運動學(xué)方程正確性的流程圖如圖5所示。

圖5 驗證正運動學(xué)方程流程圖

矩陣中各元素各字母的值分別為

式中：s1代表 sinθ1；c1代表 cosθ1；s23代表sin(θ1+θ2)；c23代表cos(θ1+θ2)。以此類推。

在Robotics Toolbox中進(jìn)行正向運動學(xué)仿真的函數(shù)為fkine函數(shù)［7］，該函數(shù)可以輸入已知的關(guān)節(jié)變量來計算出其對應(yīng)的位姿，其調(diào)用格式為

式中：qz表示某個狀態(tài)下機(jī)器人的關(guān)節(jié)變量矩陣；Robot表示該機(jī)器人的名稱；TR表示通過qz定義的該機(jī)器人正向運動學(xué)的解，它是指對應(yīng)于qz各關(guān)節(jié)變量時末端的位姿矩陣。

取機(jī)器人最危險的工作狀態(tài)來進(jìn)行仿真，即取qz=[ ]

0,0,0 ,π/2，在Matlab中通過式（2）可求出其對應(yīng)的末端位姿矩陣，其結(jié)果為

3 機(jī)械手逆運動學(xué)分析與仿真

機(jī)器人逆向運動學(xué)問題與正向運動學(xué)問題相反，是通過給定的末端手爪位姿來確定各個關(guān)節(jié)變量，從而實現(xiàn)機(jī)器人的控制［8］?？梢哉f，逆向運動學(xué)問題在實際中運用更多，但由于其解的不確定性，逆向運動學(xué)問題變得更復(fù)雜。同正向運動學(xué)問題一樣，可以運用Robotics Toolbox工具箱對其動態(tài)驗證來進(jìn)一步確定該逆運動學(xué)方程的正確性。驗證逆運動學(xué)方程正確性的流程圖如圖6所示。

圖6 驗證逆運動學(xué)方程流程圖

1）求解θ1對式兩邊同時左乘得，根據(jù)等式兩邊矩陣元素（2，4）對應(yīng)相等，得

式（6）中，θ1運用雙變量反正切函數(shù)來求解，該函數(shù)提供2個自變量y和x，其精度適用于整個定義域。

2）求解θ2對式兩邊同時左乘得，根據(jù)等式兩邊矩陣元素（1, 4）和（2,4）分別相等，得

運用數(shù)學(xué)中三角代換：

式（11）中，正負(fù)號表示θ2有2個滿足條件的解。

3）求解θ3由式（7）中兩式相除得：

4）求解θ4考慮到坯料在軌跡的關(guān)鍵點處需處于豎直狀態(tài)，則其轉(zhuǎn)動角度之間存在以下關(guān)系：

故最終的θ4為

在Robotics Toolbox中運用ikine函數(shù)對機(jī)器人進(jìn)行逆向運動學(xué)問題仿真，該函數(shù)通過輸入末端位姿矩陣來求解對應(yīng)的關(guān)節(jié)變量，注意到機(jī)器人逆向運動學(xué)問題解的不唯一性，因此得出的解可能與之前不同。ikine函數(shù)的調(diào)用格式為

式中：Robot表示該機(jī)器人的名稱；T表示末端的位姿矩陣；Q′為初始的猜測點；Q為對應(yīng)于T的關(guān)節(jié)變量值。若機(jī)器人的自由度數(shù)目小于6時，則需要利用M來忽略某個關(guān)節(jié)自由度，考慮到本文中機(jī)械手自由度為4，故此時M=[1 1 1 1 0 0]。取機(jī)器人在危險工況來仿真求逆解，此時T取式（4）中的TR矩陣，在Matlab中通過式（5）求出逆解：

由于Robotics Toolbox求逆解過程中與初始猜測點有關(guān)，故可以多次改變猜測點的形式來求出所有的逆解。前面的正、逆運動學(xué)方程均是通過人工代數(shù)法一步步計算得到最后的位姿矩陣或者關(guān)節(jié)變量，而Robotics Toolbox則是通過調(diào)用其內(nèi)部函數(shù)對其建模和仿真求解，那么人工求解的結(jié)果與仿真結(jié)果相同就驗證了其正確性。

4 上下料機(jī)械手軌跡的仿真

在Robotics Toolbox中進(jìn)行軌跡規(guī)劃是運用的ctraj、jtraj和trinterp函數(shù)，它們分別對應(yīng)不同的規(guī)劃方法：笛卡爾規(guī)劃、關(guān)節(jié)空間規(guī)劃和變換插值規(guī)劃［9］。笛卡爾規(guī)劃較為簡單，它是以機(jī)器人的關(guān)節(jié)變量的函數(shù)來進(jìn)行描述軌跡，而笛卡爾規(guī)劃雖能直觀地看到空間中軌跡，但是計算量大，較為復(fù)雜。本文中選用jtraj函數(shù)來對機(jī)器人進(jìn)行關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃，其調(diào)用格式為

式中：q表示從狀態(tài)q0到q1的關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃；t表示給定的運動時間；qd和qdd則可以返回軌跡規(guī)劃過程中的速度和加速度值。

在上下料機(jī)械手關(guān)節(jié)空間的插值計算中，其運動路徑點一般是用工具坐標(biāo)系{}T相對于工作坐標(biāo)系{}

S的位姿來表示。首先在求得逆運動學(xué)方程的基礎(chǔ)上，將一系列關(guān)鍵點坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成關(guān)節(jié)角度的矢量值，然后對每個關(guān)節(jié)用某個函數(shù)去擬合，使該函數(shù)依次經(jīng)過所需的關(guān)鍵點，從而完成實際工作任務(wù)。此外，在對其進(jìn)行插值時需要考慮很多約束條件：抓取物體時，機(jī)器人末端的初始點、提升點、下放點和停止點等各關(guān)鍵點上的位姿、速度和加速度的要求；整個時間段內(nèi)，各個關(guān)節(jié)位移、速度和加速度甚至是脈動（二次加速度也稱沖擊）的連續(xù)性要求；關(guān)節(jié)變量的極值在實際的變化范圍內(nèi)等。

選取機(jī)器人末端初始點A（0.795,0,0.076）到機(jī)器人取料的毛坯位置點B（0.871，-0.163，-0.187）這一小段進(jìn)行軌跡規(guī)劃。首先分別用ikine函數(shù)求出A、B點的逆解，然后在Matlab中運用式（17）對機(jī)械手末端從A點到B點進(jìn)行軌跡規(guī)劃，Matlab主要程序如下：

%機(jī)器人末端在A點時的關(guān)節(jié)變量值

%機(jī)器人末端在B點時的關(guān)節(jié)變量值

在Matlab中輸入上述程序后可得機(jī)器人的末端手爪空間軌跡和各桿件的位移、速度和加速度曲線，如圖7～8所示。

圖7 機(jī)器人末端手爪軌跡圖

由圖7中A、B坐標(biāo)可知：機(jī)器人末端手爪能完成從A點運動到B點的任務(wù)，且滿足機(jī)器人運動的平滑性要求，即機(jī)械手各關(guān)節(jié)位移、速度和加速度曲線均是連續(xù)光滑的曲線。由圖8可以看出：隨著時間的變化，各個關(guān)節(jié)的角位移、角速度和角加速度曲線均是連續(xù)平穩(wěn)地變化，使得電機(jī)在運行時，各關(guān)節(jié)之間的沖擊較小，從而增強了機(jī)器人的平穩(wěn)性，這在機(jī)器人的軌跡規(guī)劃中顯得尤為重要。

圖8 機(jī)器人各關(guān)節(jié)角位移、角速度和角加速度曲線圖

5 小結(jié)

本文中運用Craig版本D-H法求解機(jī)器人正運動學(xué)方程，然后運用Matlab中Robotics Toolbox工具箱建立機(jī)器人桿件三維模型，并對其進(jìn)行正、逆運動學(xué)仿真，從而進(jìn)一步驗證了前者數(shù)學(xué)方程的正確性。選取了一段路徑對其進(jìn)行軌跡規(guī)劃，得出其各連桿連續(xù)平滑的角位移、角速度和角加速度曲線，為后期機(jī)器人動力學(xué)分析和控制奠定了基礎(chǔ)。

［1］蔡自興.機(jī)器人學(xué)［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2000.

［2］李延富.CINCINNATI機(jī)器人運動學(xué)和動力學(xué)的研究與仿真分析［D］.沈陽：東北大學(xué)，2005.

［3］吳偉國，趙洋.仿人四指靈巧手的抓持能力分析［J］.機(jī)械設(shè)計與制造，2010（4）：188-190.

［4］趙小英，梅志千.雙臂教學(xué)機(jī)器人的運動分析及仿真［J］.河南大學(xué)常州分校學(xué)報，2006，20（1）：24-27．

［5］CRAIG J J.Introduction to robotics［M］.New York:Ad?dision-Wesley Publishing Company，2006.

［6］殷際英，何立婷.HP6機(jī)器人運動學(xué)動力學(xué)分析及運動仿真研究［J］.機(jī)械設(shè)計與制造，2009（3）：189-191.

［7］趙獻(xiàn)丹，何慶中，劉明，等.基于MATLAB的微電驅(qū)串聯(lián)機(jī)械手工作空間域解算與仿真［J］.四川理工學(xué)院學(xué)報，2006，19（5）：5-8.

［8］Zhao Qingjie，Sun Zengqi．Image-based Robot Motion Simulation［J］.Optics Communications，2002，205（4-6）：257-263.

［9］孫增圻.機(jī)器人系統(tǒng)仿真及應(yīng)用［J］.系統(tǒng)仿真學(xué)報，1995，7（3）：23-29．

Kinematic Analysis and Simulation of Robot Based on Matlab

Chen Yang,Guan Dianzhu
（College of Mechatronics Engineering,Qingdao University,Qingdao 266071，China）

The three-dimensional modeling of the loading and unloading robot was carried out in Solid?works,the link parameters and joint variables of the robot was described by the D-H method of Craig version,and the kinematic equation was obtained by the algebraic method.The robot was modeled by the Link function in Matlab Robotics Toolbox,then the forward and inverse kinematics of the robot was simulated to verify the correctness of the mathematical equations.A short path was selected to do the trajectory planning,and the space trajectory of the manipulator end-effector,continuous and smooth displacement,velocity and acceleration curves of each joint was obtained.It prolongs the service life of the robot,and provides theoretical basis for the later dynamics analysis and control research.

loading and unloading robot;kinematic analysis;Robotics Toolbox;simulation

TP242

：A

：1008-5483（2016）04-0047-05

10.3969/j.issn.1008-5483.2016.04.011

2016-07-04

陳洋（1992-），男，湖北孝感人，碩士生，從事數(shù)字化設(shè)計及虛擬樣機(jī)技術(shù)研究。E-mail：1451382965@qq.com

管殿柱（1969-），男，山東青島人，副教授，主要從事數(shù)字化設(shè)計及虛擬樣機(jī)技術(shù)研究。E-mail：gdz_zero@126.com