劉 劍，戴 怡

（天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)數(shù)控技術(shù)與可靠性研究所，天津 300222）

基于邊界積分法的V型切口尖端應(yīng)力場(chǎng)分析

劉 劍，戴 怡

（天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)數(shù)控技術(shù)與可靠性研究所，天津 300222）

針對(duì)大靜載荷作用下V型切口尖端附近應(yīng)力的相關(guān)問(wèn)題，在斷裂力學(xué)已有成果的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)了格林函數(shù)邊界單元法的基本理論及計(jì)算公式，通過(guò)采用邊界積分單元的方法，編寫(xiě)和調(diào)試MATLAB程序，計(jì)算所有積分方程的解，得出V型切口邊界的應(yīng)力值和較大應(yīng)力值的位置。

應(yīng)力；邊界積分；斷裂；V型切口

由于現(xiàn)實(shí)中的裂紋一般是三維的，傳統(tǒng)斷裂力學(xué)中“裂紋是平直”的假設(shè)不再成立，因此在三維結(jié)構(gòu)中裂紋沿曲線(xiàn)或曲折路徑擴(kuò)展成為一個(gè)棘手的力學(xué)難題。目前針對(duì)這一問(wèn)題的研究多從實(shí)驗(yàn)方面展開(kāi)，唯象的經(jīng)驗(yàn)性結(jié)果占據(jù)多數(shù)，且以平面裂紋為主[1]。近幾十年來(lái)，計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展為數(shù)值模擬奠定了基礎(chǔ)，有限元等計(jì)算力學(xué)方法的提出和發(fā)展也為采用數(shù)值方法解決這一難題提供了條件。

雖然有限元對(duì)彈塑性問(wèn)題的分析為應(yīng)力應(yīng)變場(chǎng)的分析提供了依據(jù)，但對(duì)于三維復(fù)雜結(jié)構(gòu)的應(yīng)力分析，在采用有限元法求解時(shí)，應(yīng)力集中區(qū)需要?jiǎng)澐直容^密集的網(wǎng)格，使未知量數(shù)目增加、總體剛度矩陣帶寬變大，給求解帶來(lái)困難。此外，有限元往往是通過(guò)位移近似值來(lái)計(jì)算應(yīng)力，得到的邊界應(yīng)力結(jié)果一般較差，而應(yīng)力集中又正好發(fā)生在邊界上，用有限元求解這類(lèi)切口問(wèn)題顯然不合適。邊界元法采取邊界上積分的形式，降低了問(wèn)題的空間維數(shù)，將三維問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)槎S，從而大量減少了未知量的數(shù)目。此外，邊界元法以邊界上的量為控制對(duì)象，因而可直接得到邊界上的應(yīng)力值。因此，邊界元法比有限元法更適合于求解這類(lèi)應(yīng)力集中問(wèn)題[2-3]。本文采用邊界積分的方法求解平面V型切口的應(yīng)力場(chǎng)，得到V型切口邊界的應(yīng)力值和較大應(yīng)力值的位置。

1 格林函數(shù)法邊界積分方程

1.1 邊界積分方程

平面V型切口如圖1所示。一般而言，在求解平面問(wèn)題時(shí)要結(jié)合邊界條件求解平衡微分方程。對(duì)于常體力平面問(wèn)題的計(jì)算，在直角坐標(biāo)下的平衡微分方程為[4-5]：

為使計(jì)算方便，將應(yīng)力Airyφ（x，y）表示為：

式中：φ（x，y）為應(yīng)力函數(shù)；σx、σy、σxy為某一點(diǎn)處的應(yīng)力分量。

在平面應(yīng)力的計(jì)算過(guò)程中，必須滿(mǎn)足邊界條件，這是計(jì)算成立的基礎(chǔ)。邊界平面如圖1所示，所有平面邊界條件可表示為（其中q為載荷）：

圖1 平面V型切口

采用格林函數(shù)第二方程時(shí)，方程要滿(mǎn)足邊界條件式（3）。單連通區(qū)域R，其邊界分為光滑曲線(xiàn)C、線(xiàn)積分方向與外法線(xiàn)正向，如圖2所示。

圖2 單連通區(qū)域R上的符號(hào)規(guī)定

由文獻(xiàn)可知，格林第二方程可表示為[6]（其中U、V為2個(gè)函數(shù)，n為外法線(xiàn)）：

令

將式（5）代入式（4）得：

由圖2可知，令r（x，y；ε，η）為區(qū)域R上任意2點(diǎn)p（x，y）和q（ε，η）之間的距離，p為節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)值，q為起始點(diǎn)的坐標(biāo)。將式（5）、式（8）和式（9）代入格林方程。令V=ln r，并考慮r=0的奇異性，得到[7]：

將式（5）和式（7）與（8）聯(lián)立，取V≡P=ln r，考慮在r=0點(diǎn)的奇異性，得到：

1.2 V型切口的應(yīng)力方程

為方便計(jì)算，以下用撇號(hào)“′”代表法相導(dǎo)數(shù)。將邊界C分成n段（即n個(gè)單元）如圖3所示。在每一單元上取φ和φ′為恒定值，每一單元的中點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)，φi和φi′即為該點(diǎn)上的值。

圖3 邊界C上的單元化分

由于應(yīng)力函數(shù)φ在邊界BC和B’C’上并不是常數(shù)，所以φ逐段為常數(shù)的假設(shè)必然導(dǎo)致較大誤差。為克服這種困難，在加載邊BC和B’C’上使用直接積分取代φ[8-10]。

當(dāng)i=1，2，3，…，n時(shí)，通過(guò)式（14）得到：

式中：rij為第i個(gè)節(jié)點(diǎn)到任意節(jié)點(diǎn)j的距離；ρij=（r2lnr）ij。當(dāng)i≠j時(shí)，式（15）的系數(shù)可以采用Simpson法求出；當(dāng)i=j時(shí)，式（15）的系數(shù)可以采用解析法求出。當(dāng)邊界全部由直線(xiàn)組成時(shí)，采用解析法求出系數(shù)矩陣。式（14）可以用矩陣方程表示為[11-12]：

即歸結(jié)為：

式中：A為2n×2n階矩陣；X和R為2n×1階列矩陣。

矩陣A由平面板的幾何尺寸和邊界單元數(shù)目的分布共同確定。矩陣R依賴(lài)于應(yīng)力場(chǎng)，即依賴(lài)于矩陣X。為通過(guò)式（12）求得應(yīng)力，可不對(duì)應(yīng)力函數(shù)進(jìn)行微分，而直接在積分符號(hào)下進(jìn)行微分；且當(dāng)邊界上φ和φ′均為已知時(shí)，采用式（16）通過(guò)同樣形式的積分就可以求得所需應(yīng)力。

將式（2）、式（12）和式（14）聯(lián)立求得應(yīng)力方程為：

2 平面應(yīng)力計(jì)算

為使計(jì)算簡(jiǎn)便，在計(jì)算應(yīng)力的過(guò)程中將應(yīng)力函數(shù)、載荷及坐標(biāo)均進(jìn)行了無(wú)量綱化處理。使用MATLAB對(duì)平面V型切口進(jìn)行劃分，如圖4所示。

圖4 V型切口下邊界單元的劃分

由于是計(jì)算邊界節(jié)點(diǎn)的應(yīng)力值，每個(gè)節(jié)點(diǎn)的應(yīng)力值依次分為σx、σy、σxy進(jìn)行計(jì)算。節(jié)點(diǎn)劃分使用平均劃分的辦法，在平面上沿邊界CD取邊界單元數(shù)序號(hào)為1～5，AB邊取單元數(shù)序號(hào)為6～10，OA邊取邊界單元數(shù)序號(hào)為11～15，BC邊取邊界單元數(shù)序號(hào)為16～20，分別對(duì)應(yīng)圖4中節(jié)點(diǎn)的位置。通過(guò)邊界積分算法對(duì)所取的20個(gè)邊界單元進(jìn)行應(yīng)力計(jì)算，求得式（18）的解，計(jì)算結(jié)果如圖5至圖7所示[13-16]。

從圖5至圖7能夠得到20個(gè)邊界單元的應(yīng)力值，且在3幅圖中都有一點(diǎn)的應(yīng)力值正好為V型切口處的應(yīng)力值，說(shuō)明V型切口處的應(yīng)力集中較大；而一般斷裂也往往發(fā)生在V型切口處，所以裂紋的危害較大。因此，研究V型切口的應(yīng)力值具有實(shí)際意義，也為求取邊界應(yīng)力提供了一種有效的方法。

圖5 σx的應(yīng)力值

圖6 σy的應(yīng)力值

圖7 σxy的應(yīng)力值

3 結(jié)束語(yǔ)

本文利用邊界積分的方法對(duì)平面V型切口進(jìn)行應(yīng)力計(jì)算，這種方法將二維積分問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一維積分問(wèn)題，是一種與有限元法并列的求取應(yīng)力的方法。該方法直接計(jì)算邊界上的應(yīng)力值，原理直觀簡(jiǎn)明；缺點(diǎn)是計(jì)算難度增大，會(huì)遇到病態(tài)矩陣，依賴(lài)計(jì)算方法的突破。當(dāng)計(jì)算方法及計(jì)算手段改進(jìn)時(shí)，計(jì)算結(jié)果將得到改進(jìn)。隨著智能計(jì)算及大數(shù)據(jù)理論的不斷發(fā)展，邊界積分方法也將獲得進(jìn)一步的完善。

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Based on boundary integral method of V-shaped notch tip stress field analysis

LIU Jian，DAI Yi
（Laboratory of Reliability Engineering and Numerical Control Technology，Tianjin University of Technology and Education，Tianjin 300222，China）

As to the problem of the stress near the tip of the V-shaped notch under the action of large static load，on the basis of the results of fracture mechanics，the basic theory and calculation formula of the Green function of the boundary element method are deduced.By using the method of boundary integral unit，compiling and debugging MATLAB procedures，all solutions of the integral equation are calculated and the V cut boundary stress value and the stress of the position are obtained.

stress；boundary integral；fracture；V-shaped incision

TH114

A

2095－0926（2016）04－0036－04

2016-06-23

天津市學(xué)科領(lǐng)軍人才培養(yǎng)計(jì)劃（RC14-02）；天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)科研發(fā)展基金項(xiàng)目（KJY12-13）.

劉 劍（1990—），男，碩士研究生；戴 怡（1962—），男，教授，博士，碩士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)闄C(jī)電設(shè)備可靠性工程.