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（1.天津市中環(huán)系統(tǒng)工程有限責(zé)任公司，天津 300060；2.天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)電子工程學(xué)院，天津 300222）

線性時不變系統(tǒng)模型的建立及方框圖法研究

張賾?zhàn)?，姬五勝2

（1.天津市中環(huán)系統(tǒng)工程有限責(zé)任公司，天津 300060；2.天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)電子工程學(xué)院，天津 300222）

利用算子將微分方程轉(zhuǎn)換成系統(tǒng)函數(shù)，借助梅森公式對系統(tǒng)函數(shù)進(jìn)行分解，提出一種畫出分解后系統(tǒng)方框圖的簡單方法。該方法可應(yīng)用于通信工程系統(tǒng)分析，在整體分析中起到輔助分析作用。利用系統(tǒng)方框圖的分解將前向通道與反饋環(huán)路分別進(jìn)行討論，可以簡化對復(fù)雜系統(tǒng)的直接分析，在一定程度上降低了系統(tǒng)分析的難度。通過數(shù)學(xué)分析證明了該方法的正確性。

線性時不變系統(tǒng)；微分方程；系統(tǒng)方框圖

人類對微分方程的研究至今已有數(shù)百年的歷史。自17世紀(jì)以來，伴隨著微積分的發(fā)展，微分方程逐漸成為一門具有重要應(yīng)用價值的學(xué)科。從早期對方向場的理解到今天關(guān)于微分方程定性理論的成熟知識體系，數(shù)百年的歷史使這門數(shù)學(xué)分支不僅成為數(shù)學(xué)學(xué)科中綜合性最強(qiáng)的領(lǐng)域之一，而且成為數(shù)學(xué)以外學(xué)科最為重要的分析工具。微積分發(fā)展極大地推動了通信技術(shù)、電子技術(shù)、生物技術(shù)等諸多領(lǐng)域的發(fā)展。在通信工程及相關(guān)系統(tǒng)工程中，將一個實(shí)際的物理系統(tǒng)模型化，抽象為數(shù)學(xué)表達(dá)式，便于研究系統(tǒng)的性能，如連續(xù)的線性時不變系統(tǒng)可以用常系數(shù)線性微分方程來描述和分析[1-2]。從工程應(yīng)用方面考慮，有時需要對實(shí)際系統(tǒng)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)室模擬，畫出系統(tǒng)的方框圖是實(shí)現(xiàn)模擬實(shí)驗(yàn)的前提。因此，建立線性系統(tǒng)模型，對常系數(shù)線性微分方程進(jìn)行分析，開展對系統(tǒng)時域與頻域方框圖法的研究非常必要。本文通過列寫典型電路常系數(shù)線性微分方程，說明微分方程在通信工程等系統(tǒng)工程中進(jìn)行實(shí)際電路分析的重要性；利用算子將微分方程轉(zhuǎn)換成系統(tǒng)函數(shù)，進(jìn)而借助梅森公式對系統(tǒng)函數(shù)進(jìn)行分解，分別給出分解后的系統(tǒng)方框圖及全系統(tǒng)方框圖。本研究闡述了系統(tǒng)微分方程與系統(tǒng)方框圖互換的方法，通過數(shù)學(xué)分析的方法證明了該方法的正確性。在必要情況下，利用系統(tǒng)方框圖將前向通道與反饋環(huán)路分別進(jìn)行討論，在一定程度上可降低系統(tǒng)分析的難度。

1 模擬信號電路系統(tǒng)的時域分析和系統(tǒng)函數(shù)

模擬信號的時域分析方法不涉及任何變換，直接求解系統(tǒng)的微分、積分方程式，這種方法比較直觀，物理概念清楚，是學(xué)習(xí)各種變換域方法的基礎(chǔ)。變換域方法，如拉普拉斯變換具有分析簡單的特點(diǎn)，已成為工程研究領(lǐng)域中重要的工具。

1.1 模擬信號電路系統(tǒng)微分方程的建立

模擬信號的系統(tǒng)參數(shù)若不隨時間而改變，則該系統(tǒng)可以用線性常系數(shù)微分方程來描述。根據(jù)實(shí)際系統(tǒng)的物理特性可以列寫出系統(tǒng)的微分方程，從而展開對實(shí)際系統(tǒng)的分析。下面給出一個例子[3]。

給定電路如圖1所示。t＜0時開關(guān)S處于1的位置且已達(dá)到穩(wěn)態(tài)；建立t=0時開關(guān)S由1轉(zhuǎn)向2處i（t）電流的微分方程。

圖1 實(shí)例電路原理圖

根據(jù)電路形式所確定的回路電壓方程和節(jié)點(diǎn)電流方程為：

先消去變量vc（t），再消去變量iL（t），將電路參數(shù)代入整理得微分方程為：

以此類推，一個k階的線性系統(tǒng)激勵信號與響應(yīng)信號之間的關(guān)系，可以用以下形式的k階微分方程式來描述：

若系統(tǒng)為時不變，則式（2）中的ai、bi均為常數(shù)。方程的階次由系統(tǒng)中獨(dú)立的動態(tài)元件個數(shù)決定。

1.2 模擬信號電路系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)分析

模擬信號系統(tǒng)可以用系統(tǒng)函數(shù)進(jìn)行分析，系統(tǒng)輸出與輸入的比例關(guān)系描述了系統(tǒng)自身的系統(tǒng)函數(shù)。式（2）所描述的系統(tǒng)可以用一個矩形方框圖簡單表示，如圖2所示。

圖2 系統(tǒng)方框圖

方框圖左邊的有向線段表示系統(tǒng)的輸入e（t），右邊表示系統(tǒng)的輸出r（t），方框表示聯(lián)系輸入和輸出的其他部分，是系統(tǒng)的主體。此外，幾個系統(tǒng)的組合連接又可構(gòu)成一個復(fù)雜系統(tǒng)，稱為復(fù)合系統(tǒng)。系統(tǒng)的組合連接方式有串聯(lián)、并聯(lián)及這2種方式的混合連接。連續(xù)系統(tǒng)串聯(lián)時域形式和復(fù)頻域形式如圖3所示。

圖3 連續(xù)系統(tǒng)的串聯(lián)

設(shè)復(fù)合系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h（t），時域線性連續(xù)系統(tǒng)h（t）與hi（t）的關(guān)系為：

若h（t）和hi（t）為因果函數(shù)，h（t）的單邊拉普拉斯變換即系統(tǒng)函數(shù)為H（s），根據(jù)單邊拉普拉斯變換的時域卷積性質(zhì)，H（s）與Hi（s）的關(guān)系為：

k階系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為：

2 系統(tǒng)方框圖的建立與分解

在通信工程系統(tǒng)的設(shè)計中，對高階系統(tǒng)進(jìn)行仿真時，需要求解高階微分方程，此時變量耦合問題較難處理。利用方框圖仿真方法可以解決這個問題，且計算簡單、界面直觀，對工程系統(tǒng)的設(shè)計起到較好的輔助作用。仿真的重要一步是仿真模型的建立。建立仿真模型是通過對所研究事物的相關(guān)信息進(jìn)行提取、抽象和綜合之后，在與其對應(yīng)的信息空間中建立與原事物相似的一種表示或描述[4-5]。方框圖仿真模型是由一些能完成最基本運(yùn)算的功能框圖組成。本文主要介紹在已知系統(tǒng)微分方程的情況下，如何獲取系統(tǒng)函數(shù)并利用系統(tǒng)函數(shù)分解的方法實(shí)現(xiàn)方框圖。

2.1 微分方程到系統(tǒng)函數(shù)的轉(zhuǎn)換

假定某一物理系統(tǒng)可用式（2）的微分方程表示，令a0=1，其系統(tǒng)函數(shù)如式（5）。為便于系統(tǒng)分析，將式（5）中分子、分母分別提取Sk得到：

當(dāng)用積分器1/s來實(shí)現(xiàn)該系統(tǒng)時，式（6）的信號流圖如圖4所示[6-7]。

圖4 式（6）的信號流圖

2.2 系統(tǒng)方框圖的分解實(shí)現(xiàn)

在計算系統(tǒng)輸入輸出間的轉(zhuǎn)移函數(shù)時，利用梅森公式既簡潔又方便。梅森公式為：

式中：Δ為流圖的特征行列式，Δ=1-（所有不同環(huán)路增益之和）+（每2個互不接觸環(huán)路增益乘積之和）-（每3個互不接觸環(huán)路增益乘積之和）+……；k為由源點(diǎn)到阱點(diǎn)之間第k條前向通路的標(biāo)號；gk為由源點(diǎn)到阱點(diǎn)之間第k條前向通路的增益；Δk為對于第k條前向通路特征行列式的余因子。

根據(jù)梅森公式對式（6）的分析，可以看到式（6）的分母正如圖4的信號流圖所示，構(gòu)成了梅森公式的k個反饋環(huán)，而分子構(gòu)成了梅森公式的k個前向通道。根據(jù)這一特點(diǎn)，這里引入變量H1（s）和H2（s），將式（6）寫為：

為實(shí)現(xiàn)方框圖的分解，在式（8）中引入新的變量M（s），由此得到：

根據(jù)式（9），k=2時畫出的全系統(tǒng)方框圖如圖5所示。為實(shí)現(xiàn)全系統(tǒng)函數(shù)的分解，得到分解后的系統(tǒng)方框圖，這里設(shè)法將系統(tǒng)函數(shù)分解成梅森公式反饋環(huán)路和前項通道的形式。由式（9）可得到：

同理：

由式（10）可以得到：

圖5 k=2時的系統(tǒng)方框圖

在此求出M（s）為：

由式（11）可以得到：

至此完成了對式（8）全系統(tǒng)函數(shù)的分解。顯然，式（12）為系統(tǒng)反饋環(huán)路方框圖的形式，式中k=2時的系統(tǒng)方框圖如圖6所示。式（13）為系統(tǒng)前項通路方框圖的形式，式中k=2時的系統(tǒng)方框圖如圖7所示。

圖6 k=2時反饋環(huán)路方框圖

圖7 k=2時前向通路方框圖

圖6和圖7的2個方框圖是圖5方框圖的線性分解，分解后的方框圖保留原系統(tǒng)的全部屬性，既可以方便用于系統(tǒng)反饋環(huán)路的分析，也可以簡捷地測試前向通道，必要時可以起到對整個系統(tǒng)進(jìn)行輔助分析的作用。

3 方框圖分解的正確性驗(yàn)證

為證明上述分解的正確性，保持式（2）等號左邊的形式不變，將變量r（t）用M（t）代替，并令其等于e（t）的k階導(dǎo)數(shù)，從式（2）中建立方程式為：

之后保持式（2）等號右邊的形式不變，將變量e（t）用M（t）代替，并令其等于r（t）的k階導(dǎo)數(shù)，得到方程式為：

對式（14）取拉普拉斯變換得到：

等式兩邊除以Sk得：

同理，對式（15）取拉普拉斯變換并化簡可得：

由式（17）和式（18）相除可得到：

上述式（17）、式（18）和式（19）與前述式（12）、式（13）和式（8）完全相同，至此證明了前述分解的正確性。在該證明過程中，考慮到頻域分析時具有零極點(diǎn)對消現(xiàn)象，所以分別在式（14）中設(shè)定等式右端為e（t）的k階導(dǎo)數(shù)，式（15）中設(shè)定等式左端為r（t）的k階導(dǎo)數(shù)。若不考慮零極點(diǎn)對消現(xiàn)象，直接設(shè)定為e（t）和r（t）即可根據(jù)時域微分方程畫出時域方框圖。由于許多文獻(xiàn)對此都有討論，這里不再贅述。

4 結(jié)束語

方框圖仿真模型由一些能完成最基本運(yùn)算的功能框組成，是描述被仿真系統(tǒng)的功能、組成、連接、參數(shù)及輸入和輸出關(guān)系的信息傳遞圖。方框圖仿真是以系統(tǒng)的方框圖作為仿真模型，進(jìn)行程序設(shè)計、求解和分析。利用方框圖方法建立基于MATLAB/Simulink的模型，可方便得出正確的分析結(jié)果[8-9]。本文正是基于方框圖法在系統(tǒng)功能分析中具有的重要作用而展開探討，將復(fù)頻域方框圖進(jìn)行分解是對方框圖分析方法進(jìn)行研究的嘗試，為通信工程系統(tǒng)應(yīng)用分析提供輔助的參考方法，為感興趣的研究者提供幫助。

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Study of building models and charts for linear time invariant system

ZHANG Ze-hao1，JI Wu-sheng2
（1.Tianjin Zhonghuan System Engineering Co.，Ltd，Tianjin 300060，China；2.School of Electronic and Engineering，Tianjin University of Technology and Education，Tianjin 300222，China）

A kind of method of drawing a system chart is introduced in this paper，by using the operator to transforming differential equation into a system function and by using Mason formula to decompose the system function.The method can be applied to the analysis of communication engineering system，and it plays an auxiliary role in the whole analysis.By using the decomposition of the block diagram of the system，the forward channel and the feedback loop are discussed respectively，which can simplify the direct analysis of complex systems，and reduce the difficulty of system analysis to a certain extent. The method is proved by mathematical analysis.

linear time invariant system；differential equation；system chart

O224

A

2095－0926（2016）04－0032－04

2016-10-13

張賾?zhàn)?987—），男，助理工程師，研究方向?yàn)橥ㄐ畔到y(tǒng)工程；姬五勝（1968—），男，教授，博士，碩士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)樾畔⑴c通信工程、電磁場與微波技術(shù).