謝立光

在全國(guó)第九屆“卡西歐杯”初中青年教師數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課展示與研討活動(dòng)中，江西省贛州市章源中學(xué)許萍老師執(zhí)教了一節(jié)數(shù)學(xué)活動(dòng)展示課——“從月歷到數(shù)陣初步”，獲得了在場(chǎng)評(píng)委及觀摩教師的一致好評(píng)，被組委會(huì)評(píng)定為全國(guó)一等獎(jiǎng)。許老師從“有框”到“無(wú)框”，從月歷到數(shù)陣初步，設(shè)計(jì)了一系列數(shù)學(xué)活動(dòng)，通過(guò)學(xué)生動(dòng)手操作、觀察、猜想、交流、反思、驗(yàn)證、運(yùn)用數(shù)學(xué)規(guī)律，啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題，運(yùn)用已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)解決問(wèn)題。整節(jié)課活潑靈動(dòng)，引領(lǐng)學(xué)生從活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)中感悟數(shù)學(xué)智慧，彰顯了數(shù)學(xué)活動(dòng)課的魅力。現(xiàn)擷取部分教學(xué)片段與大家共賞。

【片段1】創(chuàng)設(shè)情境，引入課題

師：今天，我們從大家熟悉的月歷中，開展一次數(shù)學(xué)活動(dòng)。首先，我們一起來(lái)做一個(gè)“你說(shuō)我猜”游戲。

活動(dòng)1：請(qǐng)你用一個(gè)學(xué)具“十字框”在2015年10月的月歷表中框出5個(gè)數(shù)，然后告訴老師這5個(gè)數(shù)的和，讓老師猜猜你框出的是哪5個(gè)數(shù)。

生1：我用“十字框”框出的5個(gè)數(shù)之和為100。

師： 見證奇跡的時(shí)刻到了，框出的中間的數(shù)是20，20的左、右、上、下對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是19，21，13，27。

生（齊聲）：?。±蠋煵聦?duì)了。

生2：生1可能是老師的“托”，我來(lái)試一試。 我框出的5個(gè)數(shù)之和為60。

師：框出的中間的數(shù)是12，12的左右上下對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是11，13，5，19。

生：老師真厲害！

師：同學(xué)們想知道其中的奧秘嗎？讓我們一起來(lái)揭示其中的數(shù)學(xué)奧秘。

【賞析】許老師從學(xué)生熟悉的月歷入手，游戲激趣，開展了“你說(shuō)我猜”的數(shù)學(xué)游戲活動(dòng)，設(shè)置了懸念，創(chuàng)設(shè)了一個(gè)寬松活潑的活動(dòng)氛圍，學(xué)生踴躍參與其中，有效地激發(fā)了學(xué)生參與活動(dòng)的濃厚興趣與探究數(shù)學(xué)問(wèn)題的強(qiáng)烈動(dòng)機(jī)。同時(shí)，讓學(xué)生再一次深切地感受到“數(shù)學(xué)植根于生活，生活中處處有數(shù)學(xué)”。

【片段2】互動(dòng)合作，探究規(guī)律

活動(dòng)2：如圖是2015年10月的月歷。

（1）請(qǐng)你在該月歷中用1×3（行×列）的“橫條框”框出三個(gè)數(shù)，這三個(gè)數(shù)有什么規(guī)律？它們的和與中間這個(gè)數(shù)有什么關(guān)系？移動(dòng)方框再試一試。

（2）再用3×1（行×列）的“豎條框”框出三個(gè)數(shù)，你能得出什么結(jié)論？

（3）設(shè)其中一個(gè)數(shù)為a，你能證明（1）、（2）中的結(jié)論嗎？

（學(xué)生紛紛利用學(xué)具“條形框”框數(shù)，觀察思考，尋找規(guī)律；計(jì)算所框3個(gè)數(shù)的和與中間這個(gè)數(shù)的數(shù)量關(guān)系；利用含a的式子驗(yàn)證規(guī)律。而后小組交流學(xué)習(xí)活動(dòng)成果，學(xué)生展示探究過(guò)程與結(jié)論。）

活動(dòng)小組1：我們的“橫條框”所框1×3（行×列）的數(shù)是：5，6，7。發(fā)現(xiàn)這3個(gè)數(shù)從左到右依次大1，它們是一組連續(xù)正整數(shù)，它們的和是中間這個(gè)數(shù)的3倍。移動(dòng)方框后，發(fā)現(xiàn)規(guī)律也是一樣的，也就是“同行3個(gè)數(shù)從左到右依次大1” “同行3個(gè)數(shù)的和是中間這個(gè)數(shù)的3倍”。

活動(dòng)小組2：我們的“豎條框”所框3×1（行×列）的數(shù)是：9，16，23。發(fā)現(xiàn)這3個(gè)數(shù)從上到下依次大7，我們認(rèn)為其中的原因是由于月歷中“一個(gè)星期有7天”周期性排列造成的。它們的和是中間這個(gè)數(shù)的3倍。移動(dòng)方框后，發(fā)現(xiàn)規(guī)律也是一樣的。也就是“同列3個(gè)數(shù)從上到下依次大7” “同列3個(gè)數(shù)的和是中間這個(gè)數(shù)的3倍”。

師：同學(xué)們真棒！觀察仔細(xì)，思考嚴(yán)密，對(duì)規(guī)律歸納得很好！

活動(dòng)小組3：證明“同列3個(gè)數(shù)的和是中間這個(gè)數(shù)的3倍”的思路也有3種，其中最簡(jiǎn)便的是：設(shè)中間的數(shù)為a，可得（a-7）+ a +（a+7）=3a。

師：同學(xué)們利用字母代表數(shù)，運(yùn)用整式的有關(guān)知識(shí)，對(duì)結(jié)論進(jìn)行了證明，思路清晰，方法多樣，老師為你們點(diǎn)贊！

【賞析】學(xué)生興趣盎然地利用學(xué)具“橫條框”“豎條框”，分別對(duì)月歷中的1×3（行×列）、3×1（行×列）中的3個(gè)數(shù)蘊(yùn)含的數(shù)字規(guī)律、數(shù)量關(guān)系，進(jìn)行動(dòng)手操作、觀察實(shí)驗(yàn)、分析歸納、概括總結(jié)、推理論證，積累了數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，體會(huì)了“用字母代表數(shù)更具一般性”的事實(shí)，體驗(yàn)了解決問(wèn)題方法的個(gè)性化、多樣化、簡(jiǎn)單化，同時(shí)增強(qiáng)了學(xué)生用語(yǔ)言、符號(hào)表示數(shù)學(xué)規(guī)律的意識(shí)與能力。

活動(dòng)3：如圖，在2015年9月的月歷中用3×3（行×列）的“方形框”框出9個(gè)數(shù)，請(qǐng)思考下列問(wèn)題：

（1）方框中這9個(gè)數(shù)的和與方框正中心的數(shù)有什么關(guān)系？

（2）移動(dòng)方框，（1）中的結(jié)論還成立嗎？你能證明這個(gè)結(jié)論嗎？

（3）這個(gè)結(jié)論對(duì)任何一個(gè)月的月歷都成立嗎？

（根據(jù)活動(dòng)2的經(jīng)驗(yàn)，問(wèn)題得到快速的解決，學(xué)生躍躍欲試，紛紛展示自己的探究活動(dòng)成果。）

生1：我發(fā)現(xiàn)方框中這9個(gè)數(shù)的和是方框正中心數(shù)的9倍。移動(dòng)方框，只要框中是9個(gè)數(shù)，結(jié)論仍然成立。

生2：可設(shè)方框正中心數(shù)為a，則（a-8）+（a-7）+（a-6）+（a-1）+a+（a+1）+（a+6）+（a+7）+（a+8）=9a。通過(guò)證明，說(shuō)明該結(jié)論是正確的。

生3：這個(gè)結(jié)論對(duì)任何一個(gè)月的月歷都成立，因?yàn)槊總€(gè)月的月歷的數(shù)字排列規(guī)律是一樣的。

師：說(shuō)得真好！我們通過(guò)“觀察—猜想—驗(yàn)證”發(fā)現(xiàn)了不少月歷中隱含的數(shù)學(xué)問(wèn)題及規(guī)律。接下來(lái)，我們運(yùn)用所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，來(lái)解決一些數(shù)學(xué)問(wèn)題。

【賞析】從“條形框”到“方形框”探究月歷中的數(shù)字規(guī)律，通過(guò)知識(shí)的正遷移進(jìn)行相關(guān)的數(shù)學(xué)活動(dòng)。啟迪學(xué)生的數(shù)學(xué)智慧，鼓勵(lì)學(xué)生從不同的角度發(fā)現(xiàn)規(guī)律，從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，提出問(wèn)題，解決問(wèn)題。學(xué)生運(yùn)用所學(xué)的“整式”知識(shí)對(duì)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律進(jìn)行解釋、驗(yàn)證，從特殊到一般，推廣到每個(gè)月的月歷均蘊(yùn)含其中規(guī)律，體現(xiàn)了結(jié)論的一般性。

【片段3】拓展應(yīng)用，能力提升

活動(dòng)4：如圖的10×5（行×列）的數(shù)陣，是由一些連續(xù)奇數(shù)組成的。

（1）請(qǐng)你選擇手中的學(xué)具方框框出幾個(gè)數(shù)，你發(fā)現(xiàn)有類似于月歷中的規(guī)律嗎？

（2）若用如圖所示的“平行四邊形框”框出四個(gè)數(shù)：

①若設(shè)框中的第一行第一個(gè)數(shù)為x，用含x的代數(shù)式表示另外三個(gè)數(shù)；

②若這樣框出的四個(gè)數(shù)的和是200，求出這四個(gè)數(shù)；

③能否框出這樣的四個(gè)數(shù)，它們的和為256，為什么？

（學(xué)生讀題、審題，運(yùn)用學(xué)具“橫條框”“豎條框”“十字框”“方形框”框數(shù)，自主探究，合作交流，揭示連續(xù)奇數(shù)數(shù)陣隱含的規(guī)律，展示活動(dòng)成果。）

生1：我用的是“橫條框”，發(fā)現(xiàn)所框3個(gè)數(shù)從左到右依次大2，3個(gè)數(shù)的和是中間這個(gè)數(shù)的3倍。

生2：我用的是“豎條框”，發(fā)現(xiàn)所框3個(gè)數(shù)從上到下依次大10，3個(gè)數(shù)的和是中間這個(gè)數(shù)的3倍。

生3：我用的是“十字框”， 發(fā)現(xiàn)所框5個(gè)數(shù)的和是中間這個(gè)數(shù)的5倍。

生4：我用的是“方形框”， 發(fā)現(xiàn)所框9個(gè)數(shù)的和是中間這個(gè)數(shù)的9倍。

生5（補(bǔ)充）：上述規(guī)律與月歷中的規(guī)律類似。

生6：設(shè)框中的第一行第一個(gè)數(shù)為x，“平行四邊形框”框出的另外三個(gè)數(shù)可表示為：x+2，x+8，x+10。列方程可得：x+（x+2）+（x+8）+（x+10）=200，解得x=45，這4個(gè)數(shù)分別是：45，47，53，55。

師：不錯(cuò)，根據(jù)規(guī)律，列方程求解。

生7（解法同生6）：可得和為256的4個(gè)數(shù)分別是：59，61，67，69，能框出這4個(gè)數(shù)。

（學(xué)生們各抒己見，爭(zhēng)論不休，而后恍然大悟。）

生：“平行四邊形框”不能框出這樣的4個(gè)數(shù)，因?yàn)?9與61，67，69在數(shù)陣的兩端。

師：看來(lái)，解得的結(jié)果要回歸到數(shù)陣中去檢驗(yàn)它的存在性。

【賞析】教學(xué)中，許老師從“月歷”到“連續(xù)奇數(shù)數(shù)陣”，從“橫條框”“豎條框”“十字框”“方形框”到“平行四邊形框”，從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)陣的數(shù)字排列規(guī)律。由于有前面的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累，學(xué)生能快速、敏銳地發(fā)現(xiàn)數(shù)陣隱含的數(shù)字規(guī)律，問(wèn)題迎刃而解，學(xué)生進(jìn)一步感受到運(yùn)用數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題帶來(lái)的成功愉悅。學(xué)生動(dòng)手操作，質(zhì)疑反思，合作交流，展示匯報(bào)，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型求解，展示了學(xué)生的聰明才智、獨(dú)特個(gè)性與創(chuàng)新成果，積累了活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提煉了思想方法，使學(xué)生在活動(dòng)中理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，感悟數(shù)學(xué)智慧。

（作者單位：江西省贛縣教育局教研室）