李湘平， 魯軍勇， 李玉， 武曉康

(海軍工程大學(xué) 艦船綜合電力技術(shù)國(guó)防科技重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 湖北 武漢 430033)

基于解析法的電磁發(fā)射彈丸內(nèi)膛磁場(chǎng)分布特性分析

李湘平， 魯軍勇， 李玉， 武曉康

(海軍工程大學(xué) 艦船綜合電力技術(shù)國(guó)防科技重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 湖北 武漢 430033)

電磁軌道發(fā)射裝置膛內(nèi)的磁場(chǎng)分布特性對(duì)制導(dǎo)彈丸的器件布局設(shè)計(jì)非常重要。對(duì)電磁軌道發(fā)射裝置膛內(nèi)的強(qiáng)磁場(chǎng)環(huán)境進(jìn)行了分析，基于畢奧- 薩伐爾定律推導(dǎo)了考慮彈丸運(yùn)動(dòng)位移和電流趨膚深度下膛內(nèi)磁場(chǎng)的計(jì)算公式。通過(guò)時(shí)諧分析方法并采用數(shù)據(jù)擬合的方式得到了電感梯度與電流頻率和彈丸運(yùn)動(dòng)位移的函數(shù)關(guān)系，用以分析彈丸的內(nèi)彈道運(yùn)動(dòng)特性。采用時(shí)頻分析方法得到了電流趨膚深度隨時(shí)間的變化關(guān)系，從而建立了彈丸中軸線磁場(chǎng)分布特性求解的三維解析計(jì)算模型。以實(shí)驗(yàn)室的電磁發(fā)射裝置為例，采用試驗(yàn)電流數(shù)據(jù)作為輸入，對(duì)內(nèi)膛彈丸處磁場(chǎng)分布特性進(jìn)行解析計(jì)算。結(jié)果表明：彈丸中軸線的磁感應(yīng)頻率在450 Hz以下，磁感應(yīng)強(qiáng)度峰值達(dá)到0.4 T，并沿彈丸長(zhǎng)度方向迅速衰減，100 mm處的磁場(chǎng)基本降為0. 利用磁探針的測(cè)試數(shù)據(jù)驗(yàn)證了理論計(jì)算模型的正確性。

兵器科學(xué)與技術(shù)； 電磁發(fā)射； 內(nèi)膛磁場(chǎng)分析； 畢奧- 薩伐爾定律； 電流趨膚效應(yīng)； 時(shí)諧分析； 時(shí)頻分析

0 引言

相比常規(guī)彈藥，電磁軌道發(fā)射彈丸以電能為發(fā)射能源，利用電磁力推動(dòng)彈丸加速，突破了常規(guī)火炮的初速限制，具有初速高、射程遠(yuǎn)、發(fā)射成本低等優(yōu)越性[1]。同時(shí)，一體化彈丸由于具有體積小、超高聲速的特點(diǎn)，是一種易攻難防、攻防兼?zhèn)涞男赂拍钗淦?，有很廣泛的作戰(zhàn)應(yīng)用需求，主要用于打擊水面艦艇、遠(yuǎn)程火力支援以及防空反導(dǎo)等[2-3]。電磁軌道發(fā)射裝置的工作原理圖如圖1所示。

圖1 電磁發(fā)射工作原理圖Fig.1 Schematic diagram of electromagnetic launcher

圖1中電樞用于連通兩根導(dǎo)軌的電流，并與導(dǎo)軌和脈沖電源一起構(gòu)成一個(gè)閉合回路。受洛侖磁力的作用，電樞沿導(dǎo)軌方向滑動(dòng)，并推動(dòng)彈丸往前運(yùn)動(dòng)。由于激勵(lì)電流一般到兆安級(jí)，發(fā)射裝置膛內(nèi)的磁場(chǎng)達(dá)到幾十特斯拉，頻率在幾千赫茲以下，低頻強(qiáng)磁場(chǎng)會(huì)帶來(lái)制導(dǎo)彈丸內(nèi)部引信安全性問(wèn)題、制導(dǎo)控制系統(tǒng)中的磁敏感器件失靈、舵機(jī)失效等問(wèn)題[4]。

在電磁發(fā)射過(guò)程中，彈丸內(nèi)部的磁場(chǎng)分布特性受激勵(lì)電流、導(dǎo)軌電感梯度、彈丸運(yùn)動(dòng)速度等因素的影響，磁場(chǎng)分布較為復(fù)雜。目前研究人員對(duì)電磁軌道發(fā)射裝置的各項(xiàng)性能指標(biāo)，如導(dǎo)軌和電樞電流分布特性[5]、導(dǎo)軌電感梯度[6-7]、發(fā)射裝置膛內(nèi)磁場(chǎng)分布特性[8]、彈丸內(nèi)彈道運(yùn)動(dòng)[9-10]等進(jìn)行了大量的仿真分析和試驗(yàn)研究。文獻(xiàn)[5]采用有限差分的方法，得到了二維情況下的導(dǎo)軌和電樞上的電流分布，但不能適用于三維情況。文獻(xiàn)[6-7]分別采用理論推導(dǎo)和有限元仿真的方法對(duì)電感梯度進(jìn)行了仿真，但文獻(xiàn)[6]假定電流為無(wú)厚度的平面電流，忽略了電流的趨膚深度，文獻(xiàn)[7]沒(méi)有考慮電樞所在位置對(duì)電感梯度的影響。文獻(xiàn)[8]基于畢奧- 薩伐爾定律推導(dǎo)了發(fā)射裝置膛內(nèi)磁感應(yīng)強(qiáng)度的解析模型，但未考慮導(dǎo)軌電流的在4個(gè)表面的趨膚效應(yīng)。文獻(xiàn)[9-10]分析了彈丸內(nèi)彈道的運(yùn)行情況，但沒(méi)有考慮彈丸與導(dǎo)軌接觸的摩擦阻力。上述文獻(xiàn)都沒(méi)有立足于一體化彈丸的設(shè)計(jì)，對(duì)電樞前端彈丸位置處的內(nèi)膛環(huán)境進(jìn)行分析，尤其是對(duì)磁場(chǎng)時(shí)空分布特性的分析。本文通過(guò)建立三維理論計(jì)算模型，對(duì)彈丸中軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度進(jìn)行了解析計(jì)算，并利用磁探針的試驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證了該模型的正確性，對(duì)一體化彈丸內(nèi)部電子器件的布局提供了一定的設(shè)計(jì)依據(jù)。

1 計(jì)算模型

本文針對(duì)發(fā)射裝置為方形口徑、電樞為長(zhǎng)方體的模型進(jìn)行仿真，導(dǎo)軌間距h=30 mm，寬度wr=50 mm，厚度hr=20 mm；電樞長(zhǎng)度l=30 mm，寬度wa=30 mm，其磁場(chǎng)坐標(biāo)如圖2所示。

圖2 發(fā)射裝置磁場(chǎng)坐標(biāo)Fig.2 Magnetic field coordinate of launcher

為了簡(jiǎn)化計(jì)算，在已知導(dǎo)軌輸入電流曲線的情況下，對(duì)彈丸中軸線上的電磁場(chǎng)進(jìn)行解析計(jì)算和仿真。由于導(dǎo)軌加載的電流一般為低頻電流，變化較慢，因此可以假定在計(jì)算步長(zhǎng)Δt內(nèi)電流保持不變，從而直接利用畢奧- 薩伐爾定律計(jì)算Δt時(shí)間段內(nèi)輸入電流感應(yīng)出的磁場(chǎng)。

同時(shí)，由于輸入導(dǎo)軌的電流為交變電流，在電磁發(fā)射過(guò)程中普遍存在電流趨膚效應(yīng)，考慮導(dǎo)軌在4個(gè)表面上都有電流分布[11]。假設(shè)流過(guò)導(dǎo)軌和電樞上的電流在導(dǎo)體趨膚深度范圍內(nèi)均勻分布，電流方向如圖2所示。采用體電流分布的電流元形式為：

電樞電流元-JVdxdydzax，上導(dǎo)軌電流元JVdxdydzaz，下導(dǎo)軌電流元-JVdxdydzaz，ax、az表示單位向量。

電樞體電流密度JV=I/Sa，導(dǎo)軌體電流密度JV=I/Sr，Sa、Sr分別表示流過(guò)電樞和導(dǎo)軌電流的面積。

利用體電流分布的電流元形式計(jì)算導(dǎo)軌電流和電樞電流在彈丸中軸線(見(jiàn)圖2)上的磁感應(yīng)強(qiáng)度，并考慮電流在導(dǎo)軌的4個(gè)表面的趨膚效應(yīng)，以及電流在電樞內(nèi)表面的趨膚效應(yīng)。設(shè)P點(diǎn)為彈丸中軸線上的點(diǎn)，其坐標(biāo)為(0,0,zP).

1.1 彈丸內(nèi)膛磁場(chǎng)計(jì)算

1.1.1 電樞電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)

設(shè)電樞電流元的源點(diǎn)位于(x,y,z)處，其中z=z(t)，則由畢奧- 薩伐爾定律可得

(1)

(2)

式中：

(3)

1.1.2 導(dǎo)軌電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)

設(shè)上導(dǎo)軌電流元的源點(diǎn)位于(x,y,z)處，其中z=z(t)，則上導(dǎo)軌電流元段在P點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

(4)

同理，可得下導(dǎo)軌電流元段在P點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

(5)

(4)式、(5)式表明，導(dǎo)軌在z軸方向的磁感應(yīng)強(qiáng)度為0，同時(shí)由于上下導(dǎo)軌均關(guān)于x軸對(duì)稱，則上下導(dǎo)軌電流在y方向的磁感應(yīng)強(qiáng)度積分和均為0. 又上導(dǎo)軌和下導(dǎo)軌關(guān)于Oxz平面對(duì)稱，因此，在P點(diǎn)處產(chǎn)生的x方向上的磁感應(yīng)強(qiáng)度相同，則導(dǎo)軌在P點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

(6)

式中：

(7)

P點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度為電樞電流和導(dǎo)軌電流磁感應(yīng)強(qiáng)度的疊加，即

(8)

由(2)式和(6)式可知：By=0，Bz=0，即P點(diǎn)處只有x軸方向的磁感應(yīng)強(qiáng)度。在計(jì)算電樞和導(dǎo)軌產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度時(shí)，隨著彈丸的運(yùn)動(dòng)，電樞電流元的源點(diǎn)坐標(biāo)zP發(fā)生變化，同時(shí)電流流過(guò)導(dǎo)軌的長(zhǎng)度z(t)也發(fā)生變化，且與電樞和導(dǎo)軌上的電流趨膚深度有關(guān)。因此，需要分析彈丸在輸入電流作用下的運(yùn)動(dòng)特性以及電流趨膚深度的變化規(guī)律。

1.2 彈丸內(nèi)彈道運(yùn)動(dòng)計(jì)算

由于對(duì)稱關(guān)系，電樞只受到導(dǎo)軌方向的電磁力，即z軸方向的受力。彈丸在輸入電流I的作用下，所受安培力為

(9)

式中：L′表示導(dǎo)軌的電感梯度(μH /m)。

實(shí)際電磁炮發(fā)射過(guò)程中，一體化彈丸除受到電磁力外，還會(huì)受到空氣阻力、電樞與炮膛間的摩擦阻力等外力的作用。這些因素的客觀存在，對(duì)彈丸的速度和位移會(huì)產(chǎn)生較大的影響。下面對(duì)這些阻力進(jìn)行分析。

1)空氣阻力?？諝庾枇εc速度有關(guān)，還與彈丸的橫截面積有關(guān)，其近似表達(dá)式[12]為

Fa=1.1ρa(bǔ)Sv2,

(10)

式中：ρa(bǔ)表示空氣密度，在標(biāo)準(zhǔn)狀況下，空氣密度為1.29 kg/m3；S為炮膛截面積；v為彈丸運(yùn)動(dòng)速度。

2)摩擦阻力。一體化彈丸與導(dǎo)軌接觸部分包括樞軌接觸面以及彈托與導(dǎo)軌的接觸面。為簡(jiǎn)化計(jì)算，忽略彈托與導(dǎo)軌的摩擦阻力，則彈丸運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的摩擦阻力計(jì)算公式為

Ff=fFN,

(11)

式中：f表示摩擦系數(shù)，與導(dǎo)軌和電樞的材料有關(guān)；FN為彈丸對(duì)上下兩根導(dǎo)軌的壓力，包括推彈過(guò)程中的預(yù)緊壓力以及彈丸運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的電磁擴(kuò)張力。

因此，彈丸受到的合力為

Fz=F-Fa-Ff，

(12)

則t時(shí)刻的彈丸運(yùn)動(dòng)速度為

(13)

t時(shí)刻的彈丸位移為

(14)

式中：m為彈丸質(zhì)量；z0為彈丸初始位移。

2 發(fā)射試驗(yàn)和仿真

針對(duì)上述彈丸內(nèi)膛的磁場(chǎng)分布特性和內(nèi)彈道的動(dòng)力學(xué)特性分析，采用實(shí)驗(yàn)室設(shè)計(jì)的脈沖功率電源放電電流作為導(dǎo)軌的激勵(lì)電流。導(dǎo)軌材料為黃銅合金，電導(dǎo)率為5×107S/m，電樞材料為鋁，電導(dǎo)率為2.46×107S/m. 電磁發(fā)射裝置的等效電路如圖3所示，其中電路各參數(shù)為電容C=0.26 F，電感L=2.5 μH，電阻R=0.01 Ω. 得到的電流波形如圖4所示，峰值電流約為300 kA.

圖3 電磁發(fā)射裝置等效電路圖Fig.3 Equivalent circuit of electromagnetic launcher

圖4 脈沖功率電源放電電流波形Fig.4 Current waveform of pulsed power supply

2.1 電流趨膚深度仿真

假定流經(jīng)導(dǎo)軌和電樞上的電流在趨膚深度內(nèi)均勻分布，導(dǎo)軌電流趨膚深度可根據(jù)(15)式得到近似結(jié)果[11]。

(15)

式中：ω表示電流頻率；μ、γ分別表示導(dǎo)體的磁導(dǎo)率和電導(dǎo)率。由于加載在導(dǎo)軌上的電流是瞬態(tài)信號(hào)(見(jiàn)圖4)，因此電流趨膚深度隨時(shí)間發(fā)生變化。采用時(shí)頻分析方法[12]得到電流信號(hào)瞬時(shí)頻率估計(jì)曲線(圖5中藍(lán)色曲線)。以計(jì)算導(dǎo)軌上電流趨膚深度為例，將電流瞬時(shí)頻率代入 (15)式，同時(shí)考慮到電流趨膚深度不大于1/2導(dǎo)軌厚度，因此，電流趨膚深度隨時(shí)間的變化曲線如圖5綠色曲線所示。

圖5 電流瞬時(shí)頻率及趨膚深度變化曲線Fig.5 Current instantaneous frequency vs. current skin depth

從圖5可看出，隨著時(shí)間的推移，電流頻率逐漸下降，在初始階段，電流工作頻率約450 Hz，在出炮口時(shí)只有幾赫茲。電流頻率下降，導(dǎo)致電流趨膚深度逐漸變大。

2.2 導(dǎo)軌電感梯度仿真

在導(dǎo)軌尺寸一定的情況下，導(dǎo)軌電感梯度與輸入電流的頻率有關(guān)，采用時(shí)諧分析方法，在導(dǎo)軌端面施加不同頻率的激勵(lì)電流，可得到電感梯度隨輸入電流頻率的變化曲線[12]，如圖6所示。

圖6 電感梯度隨電流頻率變化曲線Fig.6 Inductance gradient vs. current frequency

從圖6可看出，電流頻率越大，電流趨膚深度越小，電樞受到的電磁力越小，由(9)式可知導(dǎo)軌的電感梯度越大。

上述電感梯度隨頻率的變化關(guān)系是基于電樞靜止情況下的仿真結(jié)果。實(shí)際上，電樞在不同的位置，輸入同樣大小的激勵(lì)電流，所得到的電流分布及電樞受力都不一樣，造成所求得的導(dǎo)軌電感梯度有所差異。采用時(shí)諧分析方法[12]，并利用Ansoft參數(shù)化掃描方法，分析電樞在不同位置時(shí)電感梯度的變化規(guī)律，如表1所示。

表1 電感梯度隨電樞位置和電流頻率變化情況Tab.1 Variation of inductance gradient with armature location and current frequency μH/m

由表1可知，電樞越遠(yuǎn)離炮尾，電感梯度越小，其變化規(guī)律越來(lái)越平緩。分析原因，在激勵(lì)電流不變時(shí)，電樞離炮尾越遠(yuǎn)，導(dǎo)軌耗能和儲(chǔ)能均增加，根據(jù)能量守恒定理，電樞的動(dòng)能越小。因此，電樞所受電磁力越小，由(9)式可知導(dǎo)軌的電感梯度變小。

從上述的分析可知，導(dǎo)軌的電感梯度與電流頻率和電樞運(yùn)動(dòng)位置都有關(guān)系，采用數(shù)值擬合的方法得到電感梯度與二者之間的函數(shù)關(guān)系式為

(16)

2.3 彈丸內(nèi)彈道動(dòng)力學(xué)仿真

將由(16)式得到的電感梯度的擬合公式代入(9)式、(13)式和(14)式，對(duì)彈丸在膛內(nèi)的運(yùn)動(dòng)情況進(jìn)行仿真。仿真參數(shù)為：m=67 g，f=0.3，z0=150 mm，可得彈丸的速度曲線和位移，如圖7所示。

圖7 彈丸運(yùn)動(dòng)曲線Fig.7 Motion curves of projectile

圖7表明彈丸加速度在電流上升階段越來(lái)越大，到電流峰值時(shí)達(dá)到最大，之后逐漸減小。彈丸出炮口速度達(dá)到250 m/s，此時(shí)彈丸運(yùn)動(dòng)距離為1.3 m.

2.4 彈丸內(nèi)膛磁場(chǎng)仿真

將(14)式、(15)式和(16)式代入(8)式，可得到在圖4所示的輸入電流作用下彈丸中軸線最大磁場(chǎng)分布，如圖8(a)所示。電樞前端面中心點(diǎn)處的磁場(chǎng)信號(hào)振幅譜特性如圖8(b)所示。

圖8 磁場(chǎng)仿真結(jié)果Fig.8 Simulated results of electromagnetic field

圖8(a)表明，隨著離彈丸距離的增加，中軸線磁感應(yīng)強(qiáng)度逐漸減小，最大磁感應(yīng)強(qiáng)度為0.4 T，在距離彈丸電樞端面100 mm處，磁感應(yīng)強(qiáng)度接近0. 圖8(b)表明彈丸內(nèi)部的磁場(chǎng)信號(hào)頻率主要集中在450 Hz以下的低頻段，屬于低頻強(qiáng)磁場(chǎng)信號(hào)，這主要由輸入電流信號(hào)頻率決定。

2.5 試驗(yàn)驗(yàn)證

對(duì)時(shí)變磁場(chǎng)的測(cè)量，一般采用感應(yīng)線圈[13]。在M點(diǎn)處放置一個(gè)磁探針(感應(yīng)線圈的一種)，線圈面與導(dǎo)軌方向即z軸垂直，M點(diǎn)在圖2所示坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為(d,0,zM)，d為x方向距離，通過(guò)理論計(jì)算模型計(jì)算通過(guò)該點(diǎn)線圈上的感應(yīng)電壓。由于導(dǎo)軌電流不會(huì)產(chǎn)生沿z方向的磁感應(yīng)強(qiáng)度，因此只有電樞上的電流會(huì)在M點(diǎn)產(chǎn)生z方向的磁感應(yīng)強(qiáng)度，則有

(17)

式中：

fB(z)=g(z,d+wa/2,h/2)-g(z,d-wa/2,h/2).

(18)

若線圈半徑足夠小，則忽略線圈上每一點(diǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度的差異性，由法拉第磁感應(yīng)定律可得線圈上感應(yīng)電壓計(jì)算公式為

(19)

式中：Φ為磁通；N表示線圈匝數(shù)；A表示線圈面積。用(19)式計(jì)算的線圈感應(yīng)電壓同采用磁探針測(cè)量的試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，線圈半徑為2 mm，匝數(shù)為5，中心坐標(biāo)為(35 mm,0 mm,1 240 mm)，驗(yàn)證理論計(jì)算模型的正確性，對(duì)比結(jié)果如圖9所示。

圖9 磁探針測(cè)量數(shù)據(jù)與計(jì)算仿真數(shù)據(jù)對(duì)比Fig.9 Comparison of measured data of magnetic probe and simulated data

圖9表明，采用理論計(jì)算模型計(jì)算的磁探針的感應(yīng)電壓與試驗(yàn)測(cè)量的數(shù)據(jù)比較接近。存在偏差的原因是:一方面, 本文的模型沒(méi)有考慮速度趨膚對(duì)電流分布的影響;另一方面, 由于試驗(yàn)過(guò)程中磁探針受導(dǎo)軌震動(dòng)的影響，導(dǎo)致位置會(huì)有所偏差。因此，造成一定的試驗(yàn)誤差。所采用的理論計(jì)算模型對(duì)電磁發(fā)射裝置膛內(nèi)的磁場(chǎng)分布特性分析精度較高。

3 結(jié)論

一體化制導(dǎo)彈丸在電磁發(fā)射裝置膛內(nèi)的發(fā)射過(guò)程中，強(qiáng)磁場(chǎng)對(duì)彈丸內(nèi)部的電子元器件布局有較大的影響。本文基于畢奧- 薩伐爾定律，采用體電流分布的電流元形式，同時(shí)考慮彈丸運(yùn)動(dòng)位移和電流趨膚深度對(duì)磁感應(yīng)強(qiáng)度的影響，并結(jié)合時(shí)諧分析方法和時(shí)頻分析方法建立了彈丸中軸線上磁感應(yīng)強(qiáng)度的理論計(jì)算模型，對(duì)彈丸中軸線的磁感應(yīng)強(qiáng)度進(jìn)行了解析計(jì)算。采用時(shí)頻分析方法對(duì)激勵(lì)電流信號(hào)進(jìn)行瞬時(shí)頻率估計(jì)，得到電流瞬時(shí)頻率隨時(shí)間的變化曲線，繼而得到電流趨膚深度的變化曲線。動(dòng)態(tài)仿真了彈丸中軸線上的瞬態(tài)電磁場(chǎng)分布情況，最后利用磁探針的試驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證了模型的準(zhǔn)確性。仿真結(jié)果表明：彈丸中軸線的磁感應(yīng)強(qiáng)度沿彈丸長(zhǎng)度方向迅速衰減，到離電樞端面100 mm處基本為0. 本文計(jì)算仿真了一體化彈丸中軸線的磁場(chǎng)分布特性，對(duì)制導(dǎo)彈丸內(nèi)部電子器件的布局具有一定的指導(dǎo)作用。

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Analysis of Distribution Characteristics of In-bore Magnetic Field of Electromagnetically Launched Projectile Based on Analytical Method

LI Xiang-ping, LU Jun-yong, LI Yu, WU Xiao-kang

(National Key Laboratory for Vessel Integrated Power System Technology, Naval University of Engineering,Wuhan 430033, Hubei, China)

The in-bore magnetic field distribution characteristics of electromagnetic launcher should be considered in the layout design of components in guided projectile. The high in-bore magnetic field generated by electromagnetic launcher is analyzed, and a formula for magnetic field distribution is deduced based on Biot-Savart law, in which projectile displacement and current skin depth are considered. The relationship between inductance gradient, current frequency and projectile’s location is obtained by time-harmonic analysis and data fitting to analyze the in-bore kinetic characteristics of projectile interior trajectory. And the time-frequency analysis method is used to achieve the relationship between current skin depth and time to build a 3-D theoretical calculation model (TCM) for the distribution characteristics of magnetic field along the central axis of projectile. A laboratory electromagnetic launcher is taken for example, and the experimental data is used as input for simulation. The results show that the in-bore magnetic induction intensity frequency is below 450 Hz and the peak of in-bore magnetic induction intensity is up to 0.4 T, which gets weaker along the length direction of projectile and approximates to 0 at 100 mm. The validity of TCM is verified by using the experimental data of magnetic probe.

ordnance science and technology; electromagnetic launch; in-bore magnetic field analysis; Biot-Savart law; current skin effect; time-harmonic analysis; time-frequency analysis

2016-05-10

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51407191、51307176)；國(guó)家“973”計(jì)劃項(xiàng)目(6132620102)

李湘平(1990—)，男，博士研究生。E-mail：511422906@qq.com; 魯軍勇(1978—)，男，研究員，博士生導(dǎo)師。E-mail：jylu@xinhuanet.com

10.3969/j.issn.1000-1093.2016.12.004

TM153+.1； TJ012.1+5

A

1000-1093(2016)12-2205-07