金家善， 蔡芝明， 陳硯橋

(1.海軍工程大學(xué) 動(dòng)力工程學(xué)院, 湖北 武漢 430033; 2.海軍工程大學(xué) 艦船動(dòng)力工程軍隊(duì)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 湖北 武漢 430033)

艦艇編隊(duì)不同備件保障方案的對(duì)比研究

金家善1,2， 蔡芝明1,2， 陳硯橋1,2

(1.海軍工程大學(xué) 動(dòng)力工程學(xué)院, 湖北 武漢 430033; 2.海軍工程大學(xué) 艦船動(dòng)力工程軍隊(duì)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 湖北 武漢 430033)

艦艇編隊(duì)備件配置方案對(duì)其戰(zhàn)備完好性的形成起著重要作用，通過優(yōu)化庫存管理策略，建立符合工程實(shí)際的備件攜帶方案，可以在艦艇滿足編隊(duì)最低可用度要求的前提下，最大限度地降低保障經(jīng)費(fèi)。以艦艇編隊(duì)索馬里護(hù)航備件利用率低為研究背景，針對(duì)該問題以最低可用度約束下保障經(jīng)費(fèi)最小為優(yōu)化目標(biāo)，以多層級(jí)備件需求率為基礎(chǔ)，建立了無串件拼修和無橫向供應(yīng)、無串件拼修和有橫向供應(yīng)、有串件拼修和無橫向供應(yīng)、有串件拼修和有橫向供應(yīng)4種不同情況下的艦艇編隊(duì)庫存管理優(yōu)化模型，并給出了模型計(jì)算步驟和求解方法。通過4種備件保障方案的對(duì)比分析，提出了艦艇編隊(duì)備件配置的決策和建議。

兵器科學(xué)與技術(shù)； 串件拼修； 橫向供應(yīng)； 多層級(jí)； 備件攜帶方案； 艦艇編隊(duì)

0 引言

因?yàn)楸Ｕ辖?jīng)費(fèi)有限，艦艇編隊(duì)出海前不可能無限制地帶一切可能需要的所有備品備件，但備件對(duì)其修理工作及戰(zhàn)備完好性的形成又起著重要作用，故優(yōu)化備件攜帶方案非常有必要，在滿足裝備效能指標(biāo)最低要求的同時(shí)，最大限度地降低備件購買費(fèi)用。

Sherbrooke提出了備件多等級(jí)庫存模型[1-2]，國內(nèi)外學(xué)者在此基礎(chǔ)上，研究了單層多個(gè)基地間進(jìn)行橫向供應(yīng)[3]，對(duì)比了橫向供應(yīng)前后保障經(jīng)費(fèi)的變化。Levner等[4]及Samouei等[5]以總的庫存量和經(jīng)費(fèi)為優(yōu)化對(duì)象，采用網(wǎng)格流程的方法，兼顧不同層級(jí)維修站點(diǎn)的相互作用和相互影響，分析了裝備多層多級(jí)備件攜帶問題。Costantino等[6]通過分析不同層級(jí)維修站點(diǎn)備件短缺數(shù)和裝備可用度大小，優(yōu)化了備件攜帶方案。Topan等[7]以周期性檢查庫存方式為準(zhǔn)則，以兩級(jí)維修站點(diǎn)備件攜帶為優(yōu)化對(duì)象，以備件服從泊松分布為假設(shè)對(duì)備件攜帶方案進(jìn)行了優(yōu)化。文獻(xiàn)[8]以橫向供應(yīng)時(shí)間及最小平均等待時(shí)間為約束，目標(biāo)為保障經(jīng)費(fèi)為最小，確定了系統(tǒng)備件攜帶方案。蔡芝明等[9]針對(duì)多個(gè)因素影響下的平時(shí)隨船備件攜帶方案進(jìn)行了優(yōu)化。金家善等[10]構(gòu)建了基于云模型、邊際效應(yīng)及拉格朗日乘子法的艦艇編隊(duì)不同攜帶方案的優(yōu)化流程及步驟。Olsson指出橫向供應(yīng)雖有很多好處，但可能會(huì)給系統(tǒng)帶來更加復(fù)雜的情況，故只研究了進(jìn)行單向橫向供應(yīng)的情況[11-12]。一些學(xué)者運(yùn)用啟發(fā)式算法[13]、排隊(duì)論[14]及邊際效應(yīng)法[15]研究了單層3級(jí)可修件在橫向供應(yīng)情況下的備件庫存優(yōu)化方法。Hirsch等[16]對(duì)一個(gè)系統(tǒng)有多個(gè)部件的情況，按串件拼修策略進(jìn)行了研究。Fisher等[17]針對(duì)一個(gè)維修保障系統(tǒng)內(nèi)備件在修理資源約束下，對(duì)系統(tǒng)串件拼修方案進(jìn)行了研究；隨后又研究了系統(tǒng)串件拼修的馬爾可夫鏈模型[18]。Eynan等[19]采用不考慮故障件修理級(jí)別的策略對(duì)串件拼修策略進(jìn)行了研究。王慎等[20]研究了串件拼修對(duì)于兩級(jí)備件庫存的影響。肖蕾等[21]研究了串件拼修對(duì)工程備件庫存的影響。文獻(xiàn)[22-25]構(gòu)建了單層級(jí)維修站點(diǎn)的橫向供應(yīng)模型，若出現(xiàn)備件需求不能及時(shí)被滿足的情況，便形成了一次供應(yīng)延誤，延誤的橫向供應(yīng)次數(shù)是一項(xiàng)重要因素，若保障系統(tǒng)庫存非常低，它會(huì)超越橫向供應(yīng)次數(shù)。Lau等[26]通過橫向供應(yīng)手段，消除成本比較高的供應(yīng)鏈，這種庫存策略和傳統(tǒng)的庫存策略相比可以有效地降低庫存成本。張永強(qiáng)等[27]采用蒙特卡洛和粒子群仿真方法對(duì)備件配置優(yōu)化問題進(jìn)行了分析。

從上述已有的文獻(xiàn)可以觀察出，雖然目前對(duì)于備件多級(jí)庫存優(yōu)化問題研究很深入，但在具體的工程實(shí)踐過程中，存在以下幾個(gè)方面的問題，1)研究對(duì)象多為單層多級(jí)或多層單級(jí)，沒有針對(duì)更加復(fù)雜的多層多級(jí)情況進(jìn)行深入研究；2)主要針對(duì)平時(shí)情況進(jìn)行研究，針對(duì)戰(zhàn)時(shí)情況研究比較少；3)沒有將串件拼修和橫向供應(yīng)這兩個(gè)策略放到一起研究對(duì)多層級(jí)備件庫存的作用；4)沒有系統(tǒng)地給出橫向供應(yīng)、串件拼修在面向具體任務(wù)時(shí)的多層級(jí)庫存優(yōu)化模型，也沒有用實(shí)例的形式將方案進(jìn)行對(duì)比。

本文產(chǎn)生的工程背景是艦艇編隊(duì)索馬里護(hù)航備件攜帶問題，文獻(xiàn)[28]指出護(hù)航艦艇攜帶的備件有一部分被原封不動(dòng)地帶了回來，浪費(fèi)了大量的物力和人力資源，這必然引起軍方的重視，因此在艦艇編隊(duì)出海執(zhí)行護(hù)航任務(wù)之前對(duì)備件攜帶方案進(jìn)行優(yōu)化具有重大的經(jīng)濟(jì)和軍事意義。

針對(duì)以上問題，本文以艦艇編隊(duì)索馬里護(hù)航出海前備件配置方案為研究對(duì)象，以裝備總的保障費(fèi)用為優(yōu)化對(duì)象，以裝備可用度達(dá)到最低要求為約束條件，以串件拼修和橫向供應(yīng)策略的幾種組合作為戰(zhàn)時(shí)模型的輸入條件，建立該問題的多層級(jí)庫存管理模型，并對(duì)其求解過程和步驟進(jìn)行優(yōu)化，建立4種策略下的艦艇編隊(duì)備件配置方案，對(duì)比分析平時(shí)和戰(zhàn)時(shí)情況下的備件庫存優(yōu)化方案。

1 模型描述及參數(shù)定義

1.1 模型假設(shè)

現(xiàn)代艦船上面都配置了專門的修理人員和車間，其修理能力等同于一個(gè)基層級(jí)修理機(jī)構(gòu)的作用，其備件組成一般可分為內(nèi)場可更換單元SRU和艦船外場可更換單元LRU. 因此，依據(jù)上述兩個(gè)方面，護(hù)航艦艇編隊(duì)便組成了一個(gè)兩層兩級(jí)保障系統(tǒng)。

本文進(jìn)行了一些符合工程實(shí)踐情況的假設(shè)，具體為：

1)LRU的故障若是內(nèi)場可更換單元SRU故障導(dǎo)致的，則僅為1件故障引起的；

2) 案例中故障件全部送往后方倉庫，在后方倉庫中進(jìn)行串件拼修；

3) 故障件在中繼級(jí)修理站點(diǎn)修理時(shí)，因保障資源無限，故不會(huì)出現(xiàn)故障件等待修理的情況；

4) 艦員在故障現(xiàn)場即可拆卸故障件，并對(duì)故障部位進(jìn)行定位；

5) 艦艇編隊(duì)在海上航行時(shí)，彼此距離只有幾鏈，故備件轉(zhuǎn)運(yùn)時(shí)間可以忽略不計(jì)；

6) 單元重要度相同；

7) 基地不具備修理SRU的能力；

8) 備件SRU之間進(jìn)行完全串件拼修。

1.2 模型參數(shù)定義及符號(hào)說明

按符號(hào)在文中出現(xiàn)的先后順序進(jìn)行說明和介紹，但限于篇幅原因，對(duì)于相似或易于理解的符號(hào)并沒有全部列出出來，具體為：

2 需求率的確定

2.1 備件需求率模型

依據(jù)裝備平均故障間隔時(shí)間MTBFk、備件單元k、單機(jī)安裝數(shù)量Zk、裝備在艦船上配置數(shù)量Nj及艦船執(zhí)行任務(wù)周期Tk等數(shù)據(jù)可以得出LRUk在現(xiàn)場需求率為

(1)

進(jìn)一步可以得到SRUi和LRUk在艦艇倉庫或綜合補(bǔ)給艦倉庫的需求量。

2.2 各級(jí)站點(diǎn)需求率的求解方法

艦船備件多層級(jí)備件攜帶問題始于外場可更換單元LRU失效并送到基地維修中心，若維修站點(diǎn)有需要的備件就進(jìn)行更換，否則記為1次備件短缺，同時(shí)LRU能否在基地進(jìn)行修理是有一定概率的，若LRU結(jié)構(gòu)太復(fù)雜，就送往后方倉庫進(jìn)行修理，同時(shí)向后方倉庫申請(qǐng)一件LRU.

當(dāng)LRU在艦艇修理車間進(jìn)行修理時(shí)，則假設(shè)由且僅由1件內(nèi)場可更換單元SRU故障引起。如果艦艇倉庫有SRU備件存儲(chǔ)，則直接更換故障件，則LRU修理工作結(jié)束。SRU能否在維修站點(diǎn)修理完好亦是一個(gè)概率事件，不能在本級(jí)站點(diǎn)進(jìn)行修復(fù)，就將故障件送上一級(jí)維修站點(diǎn)，并申請(qǐng)SRU備件1件。

依據(jù)LRU在艦艇的需求量及一些維修參數(shù)如LRU在艦艇上修理的概率等，可以求出LRU在后方倉庫的需求率，同時(shí)也可以求出SRU在后方倉庫的需求率。

艦艇j的SRUi執(zhí)行任務(wù)時(shí)的需求量，等于LRUk任務(wù)期間需求量乘以其在隸屬艦艇車間維修的概率再乘以維修工作產(chǎn)生相應(yīng)SRUi需求的概率，即

mijk=mjkrjkqijk.

(2)

任務(wù)期間中繼級(jí)維修站點(diǎn)LRUk的需求量，等于所有不在艦艇車間維修的LRUk需求之和，即

(3)

中繼級(jí)維修站點(diǎn)執(zhí)行任務(wù)時(shí)SRUi的需求量，等于后方修理LRU產(chǎn)生SRUi需求量加上任務(wù)期間所有艦艇倉庫訂購量之和，即

(4)

2.3 優(yōu)化目標(biāo)

保障經(jīng)費(fèi)不可能是無限的，在滿足一定指標(biāo)約束前提下，如何使保障費(fèi)用最低，所建模型為

(5)

式中：A0為決策制定者設(shè)定的可用度最低指標(biāo)值。

3 艦艇編隊(duì)備件攜帶方案優(yōu)化

按是否采用橫向供應(yīng)或串件拼修維修策略，艦艇編隊(duì)備件攜帶方案可分為4個(gè)不同方案，具體見表1.

表1 艦艇編隊(duì)備件攜帶方案Tab.1 Warship formation spares carrying scheme

艦船編隊(duì)維修方案效能評(píng)價(jià)指標(biāo)是衡量其制定好壞的依據(jù)之一，常用的效能指標(biāo)有備件短缺數(shù)和裝備可用度等。

串件拼修是將類似或相同的故障件集中的維修站點(diǎn)，并將資源整合到故障件數(shù)目比較少的裝備中去的一種維修策略[2]。

作戰(zhàn)艦艇或綜合補(bǔ)給艦備件需求出現(xiàn)了短缺，而在艦艇編隊(duì)其他作戰(zhàn)艦艇或綜合補(bǔ)給艦倉庫有備件，并能在備件從保障基地送到該艦艇進(jìn)行修理之前供應(yīng)到備件短缺的作戰(zhàn)艦艇，就可進(jìn)行橫向供應(yīng)，換句話說，如果橫向供應(yīng)在備件補(bǔ)給之后才能到到，就不用采取橫向供應(yīng)策略。作戰(zhàn)艦艇或綜合補(bǔ)給艦之間采用橫向供應(yīng)策略，主要是基于以下兩點(diǎn)考慮：1)從定性的角度講，橫向供應(yīng)可以極大地降低艦艇編隊(duì)備件短缺數(shù)；2)對(duì)戰(zhàn)時(shí)想定更加具有軍事和經(jīng)濟(jì)意義[2]。

3.1 方案1：無串件拼修和無橫向供應(yīng)

備件短缺數(shù)是指當(dāng)裝備出現(xiàn)故障，修理工作產(chǎn)生備件需求時(shí)，卻無法得到滿足，即

(6)

式中：x是隨機(jī)變量的待收件數(shù)；s是庫存量。

s=OH+DI-BO.

(7)

備件短缺數(shù)是1個(gè)非負(fù)的量，當(dāng)維修站點(diǎn)庫存水平為0時(shí)，其備件短缺數(shù)相當(dāng)于某一分布的期望，即EBO(0)=E[x].

進(jìn)一步計(jì)算可得供應(yīng)渠道中備件期望短缺數(shù)為

(8)

式中：EBO(s)為某項(xiàng)備件庫存水平為s時(shí)的期望短缺數(shù)。

維修站點(diǎn)j第k項(xiàng)備件的期望短缺數(shù)為

(9)

式中：Pr (xjk)為隨機(jī)變量X(概率分布函數(shù)未知)取某一具體x時(shí)的概率，Pr (xjk)非負(fù)。

依據(jù)備件期望短缺數(shù)即均值，進(jìn)一步可計(jì)算出備件短缺數(shù)方差，即

Var[Xjk]=E[BOjk]2-[EBOjk]2,

(10)

式中：依據(jù)(9)式，對(duì)其適當(dāng)調(diào)整，即可求出E[BOjk]2為

(11)

將方差Var[Xjk]除以均值E[Xjk]，即

(12)

式中，VTMR[Xjk]為維修站點(diǎn)j第k項(xiàng)備件的差均比，其是1個(gè)非常重要的維修參數(shù)，依據(jù)其大小可以確定維修渠道件數(shù)X服從何種分布。

1)當(dāng)差均比VTMR[Xjk]等于1時(shí)，依據(jù)可靠性數(shù)學(xué)理論，X服從泊松分布，即

(13)

2)當(dāng)差均比VTMR[Xjk]大于1時(shí)，依據(jù)可靠性數(shù)學(xué)理論，X服從負(fù)二項(xiàng)分布，即

(14)

依據(jù)負(fù)二項(xiàng)函數(shù)的性質(zhì)可知，

(15)

因均值E[Xij]和方差Var[Xij]已知，對(duì)(15)式反向求解可得，即

(16)

3)當(dāng)差均比VTMR[Xjk]小于1時(shí)，依據(jù)可靠性數(shù)學(xué)理論，X服從二項(xiàng)分布，

(17)

因均值E[Xjk]和方差Var[Xjk]已知，且E[Xjk]=np，Var[Xjk]=np(1-p)，對(duì)(17)式反向求解可得

(18)

進(jìn)一步可得裝備可用度大小為

(19)

(19)式成立的前提是裝備發(fā)生的故障相互獨(dú)立，且在基地或后方倉庫之間不進(jìn)行串件拼修或橫向供應(yīng)，同時(shí)對(duì)其兩邊取對(duì)數(shù)，即

(20)

對(duì)(20)式兩邊取對(duì)數(shù)，即

(21)

進(jìn)一步可得艦艇編隊(duì)平均可用度，即

(22)

3.2 方案2：無串件拼修和有橫向供應(yīng)

艦艇編隊(duì)在海上航行，其間距非常小，從而可以使艦艇之間的橫向供應(yīng)既經(jīng)濟(jì)又迅速。近年來國內(nèi)外大量工程專家都在為降低備件短缺數(shù)而進(jìn)行了大量嘗試，當(dāng)艦艇編隊(duì)中某艦船出現(xiàn)備件短缺，而其他艦艇有相應(yīng)的備件，同時(shí)能在后方倉庫備件送達(dá)之前補(bǔ)給到艦艇上就可進(jìn)行橫向供應(yīng)，反之，就沒有進(jìn)行橫向供應(yīng)的必要，依據(jù)(20)式可以看出單艦可用度和裝備備件短缺數(shù)之和的負(fù)數(shù)呈指數(shù)關(guān)系，隨著短缺數(shù)總和的降低，可用度在不斷增大，這足夠引起對(duì)艦船之間橫向供應(yīng)的重視。

橫向供應(yīng)最小值是將所有維修站點(diǎn)看出1個(gè)大的系統(tǒng)，橫向供應(yīng)時(shí)間為0，此時(shí)可以計(jì)算出短缺數(shù)的最小值，最大值是依據(jù)艦艇編隊(duì)實(shí)踐情況考慮所有可能約束條件求解得到的，本文模型的基本思路就是對(duì)上下限使用插值，使用回歸統(tǒng)計(jì)的計(jì)算方法。

方法的關(guān)鍵是計(jì)算并確定插值函數(shù)f，從而可以確定短缺數(shù)的估計(jì)值EB為

EB=LB+f(UB-LB),

(23)

式中：UB為短缺數(shù)上限值；LB為短缺數(shù)下限值。將(23)式代入(20)式即可求得系統(tǒng)可用度為

Ac=100e-EB,

(24)

依據(jù)文獻(xiàn)[2]實(shí)驗(yàn)中的模擬結(jié)果，當(dāng)其他維修參數(shù)保持不變時(shí)，插值函數(shù)f和和橫向供應(yīng)時(shí)間T具有如下關(guān)系：

f=1-e-αT，0≤T

(25)

式中：α為回歸估計(jì)參數(shù)；T為從后方倉庫到基地的申請(qǐng)至交付的時(shí)間。

進(jìn)一步分析(25)式可知，當(dāng)T從0向無窮大變化時(shí)，短缺數(shù)是從下限向上限不斷變化，符合工程實(shí)際特征。

將(23)式和(25)式聯(lián)立求出：

α=-(1/T)lg [(UB-EB)/(EB-LB)],

(26)

(26)

式是α的數(shù)學(xué)解析式，α的回歸關(guān)系式為

α=1.406O-0.554D0.334，

(27)

式中：D為所有基地的日需求率總和。

少量備件橫向供應(yīng)會(huì)大大降低裝備期望短缺數(shù)，故雖然只進(jìn)行少量橫向供應(yīng)，但對(duì)系統(tǒng)備件短缺數(shù)的降低是非常有意義的。

3.3 方案3：有串件拼修和無橫向供應(yīng)

此方案相當(dāng)于只考慮基地或后方倉庫內(nèi)部進(jìn)行串件拼修，而不考慮艦艇編隊(duì)艦船之間的橫向供應(yīng)或?qū)⑴炌Ь庩?duì)看成一個(gè)整體進(jìn)行串件拼修。

按方案1計(jì)算出的艦艇編隊(duì)備件攜帶方案，無論在平時(shí)或戰(zhàn)時(shí)都有具有較好的“魯棒性”，其保障效果不受外界干擾，但依然考慮故障件之間的串件拼修，主要因?yàn)椋阂环矫妫F(xiàn)代艦船裝備相似度非常高，串件拼修更容易實(shí)現(xiàn)；另一方面，串件拼修對(duì)戰(zhàn)時(shí)想定更有軍事意義。

本文將按單個(gè)基地或后方倉庫串件拼修模型和多層級(jí)串件拼修模型兩個(gè)方面進(jìn)行研究，后者是前者的更深一層次的問題，前者是后者的基礎(chǔ)。

3.3.1 單個(gè)基地或后方倉庫串件拼修模型

在任一隨機(jī)時(shí)刻裝備停機(jī)數(shù)量小于等于y的概率分布函數(shù)G(y)為

(28)

式中：Pk為停機(jī)數(shù)量服從的分布函數(shù)。

當(dāng)LRUi待修件數(shù)量小于等于(si+Ziy)時(shí)，不會(huì)出現(xiàn)停機(jī)的情況，對(duì)(28)式兩邊取對(duì)數(shù)，即

(29)

即使Pk服從泊松分布，(28)式中累計(jì)概率分布函數(shù)仍然不是凸函數(shù)，邊際分析方法不能使用，但在(29)式中只要Pk屬于泊松分布、二項(xiàng)分布或負(fù)二項(xiàng)分布，其累計(jì)概率分布函數(shù)的對(duì)數(shù)就屬于凸函數(shù)，這為使用邊際效應(yīng)法創(chuàng)造了前提條件。

進(jìn)一步可得串件拼修策略下單個(gè)維修站點(diǎn)的可用度，即

Ac=100[N-g(1)-2g(2)-3g(3)-…-ng(n)]/N=

(30)

對(duì)(30)式進(jìn)行適當(dāng)變形處理，用累計(jì)概率分布函數(shù)表示，即

Ac=100{N+[G(0)-G(1)]+2[G(1)-G(2)+…+

n[G(n-1)-G(n)]]}/N.

(31)

對(duì)(31)式合并同類項(xiàng)可得

Ac=100{N+G(0)+G(1)+G(2)+…+

G(n-1)-nG(n)}/N=

(32)

依據(jù)(32)式很容易求出裝備最優(yōu)庫存攜帶方案。

3.3.2 多層級(jí)串件拼修模型

若SRU也可以進(jìn)行串件拼修，則應(yīng)將3.2節(jié)模型擴(kuò)展到多層級(jí)，但文獻(xiàn)[2]指出，裝備上能夠進(jìn)行串件的設(shè)備有限，故本文將SRU分為可串件和不可串件兩部分內(nèi)容進(jìn)行研究。

1) 能夠進(jìn)行串件項(xiàng)目。假設(shè)某一備件LRUk由若干SRUi(i∈Sub(k))組成，i∈Inc是不能進(jìn)行串件拼修的SRUi集合，i∈Ic是能進(jìn)行串件拼修的SRUi集合。假設(shè)LRUk的故障是有其分部件SRUi故障導(dǎo)致的，因此在等待SRUi過程中會(huì)出現(xiàn)LRUk的修理延誤，故可計(jì)算出因等待可串件SRUi項(xiàng)目而導(dǎo)致LRUk的修理延誤件數(shù)y的穩(wěn)態(tài)累計(jì)概率分布為

(33)

令LRUk渠道供應(yīng)件數(shù)Xk服從的概率分布為Pk(x)，可得LRUk的短缺數(shù)小于等于n的概率分布函數(shù)為

(34)

2) 不能進(jìn)行非串件項(xiàng)目。對(duì)于不能進(jìn)行串件的SRUi元件造成的LRUk短缺數(shù)概率分布函數(shù)的求解思路，可以按3.1節(jié)的內(nèi)容計(jì)算LRUk供應(yīng)渠道短缺數(shù)Xk的均值和方差，依據(jù)VTMR確定Xk的概率密度函數(shù)為

(35)

對(duì)(35)式進(jìn)行積分，可以求出LRUk短缺數(shù)小于等于n的概率密度函數(shù)，即

(36)

依據(jù)(34)式和(36)式，可知LRUk的短缺數(shù)小于等于n的概率密度函數(shù)，即

ψ(n)=ψnc(n)ψc(n).

(37)

依據(jù)上述求解思路，可以計(jì)算出所有LRUk的備件短缺數(shù)分布函數(shù)ψ(n)，替代(28)式中Pk，并依據(jù)(29)式～(32)式可以計(jì)算得到艦艇編隊(duì)可用度大小。

3.4 方案4：有串件拼修和有橫向供應(yīng)

依據(jù)3.2節(jié)模型，艦艇之間不僅進(jìn)行備件橫向供應(yīng)也進(jìn)行故障件的橫向供應(yīng)，故障件被集中在中繼級(jí)維修站點(diǎn)進(jìn)行串件拼修。此時(shí)，在任一隨機(jī)時(shí)刻裝備的故障數(shù)小于等于y的概率G′(y)為

(38)

對(duì)(38)式兩邊取對(duì)數(shù)，即

(39)

系統(tǒng)可用度計(jì)算原理同3.3節(jié)(30)式一樣，計(jì)算方法是相似的，即

N.

(40)

對(duì)(40)式進(jìn)行適當(dāng)變形處理，用累計(jì)概率分布函數(shù)表示，即

2[G′(1)-G′(2)+…+

(41)

對(duì)(41)式合并同類項(xiàng)可得

N.

(42)

當(dāng)所有故障件送往后方倉庫時(shí)，因等待能夠串件項(xiàng)目SRUi而導(dǎo)致LRUk修理延誤數(shù)y的穩(wěn)態(tài)概率分布為

P′kc(Y≤y)=

(43)

令LRUk渠道供應(yīng)件數(shù)XTk服從的概率分布為P′k(x)，并可得LRUk的短缺數(shù)小于等于n的概率分布函數(shù)為

(44)

對(duì)于不能進(jìn)行串件的SRUi元件造成的LRUk短缺數(shù)概率分布函數(shù)的求解思路，依據(jù)VTMR確定XTk的概率分布函數(shù)為

(45)

對(duì)(45)式進(jìn)行積分，可以求出LRUk短缺數(shù)小于等于n的概率密度函數(shù)為

(46)

依據(jù)(44)式和(46)式，可知LRUk的短缺數(shù)小于等于n的概率分布函數(shù)，即

ψ′(n)=ψ′nc(n)ψ′c(n).

(47)

依據(jù)上述求解思路，可以計(jì)算出所有LRUk的備件短缺數(shù)分布函數(shù)ψ′(n)，替代(28)式中Pk，并依據(jù)(29)式～(32)式可以計(jì)算得到艦艇可用度大小。

4 實(shí)例分析

以第x批艦艇編隊(duì)出海執(zhí)行周期為3個(gè)月的索馬里護(hù)航任務(wù)為背景，出海前需要合理制定備件攜帶方案，艦艇編隊(duì)一般由1艘綜合補(bǔ)給艦和2艘艦艇組成，艦艇裝備之間相似度非常高，為橫向供應(yīng)和串件拼修打下了良好的基礎(chǔ)。

護(hù)航備件攜帶清單數(shù)以萬計(jì)，顯然不能一一列舉進(jìn)行研究，同時(shí)本文重點(diǎn)在于給出模型建立原理及求解步驟和過程，故本案例選擇8個(gè)電子備件(LRU1、LRU2、LRU3、LRU4、LRU5、LRU6、SRU11、SRU12)單元為研究對(duì)象，其中LRU1在維修站點(diǎn)進(jìn)行修理產(chǎn)生SRU11及SRU12需求概率為0.7和0.3，除去待機(jī)、補(bǔ)給及?？看a頭的時(shí)間，假設(shè)裝備每天工作20 h. 上述8個(gè)單元的一些維修參數(shù)信息見表2.

因單元復(fù)雜程度不一樣，故單元之間能否在艦上進(jìn)行修理的概率及維修所需要的時(shí)間是不一樣的，如LRU1和LRU2在基地能被修復(fù)的概率分別為0.9和0.7，維修所需周期分別為0.4個(gè)任務(wù)時(shí)長和0.5個(gè)任務(wù)時(shí)長。又因艦艇車間只能更換SRU不能修理SRU故障件，其只能在中繼級(jí)維修站點(diǎn)進(jìn)行修理，故其在艦艇車間能被修復(fù)完好的概率為0. 按2.1～2.2節(jié)需求率計(jì)算模型及表2的8個(gè)單元維修參數(shù)信息，可計(jì)算出方案1的3個(gè)基地和中心倉庫的備件需求率分別為(2.013 4, 1.181 9, 1.780 4,3.125 0, 1.805 4, 1.115 9, 1.268 5, 0.543 6)和(0.604 0,1.063 7,1.068 2,1.875,1.624 9,1.562 3,4.228 3,1.812 0)。假設(shè)決策者對(duì)可用度最低要求A0為90%，按3.1～3.4節(jié)4個(gè)方案的模型及方法求解過程及步驟，同時(shí)按2.3節(jié)的目標(biāo)函數(shù)和約束條件，求出此時(shí)4個(gè)方案對(duì)應(yīng)的艦艇編隊(duì)總的可用度、保障經(jīng)費(fèi)，具體見表3.

表2 備件保障參數(shù)信息Tab.2 Support parameter information of spare parts

表3 4個(gè)方案下的艦艇編隊(duì)總費(fèi)用Tab.3 Warship formation costs of four plans

上述4個(gè)方案中可用度為(90.60%，90.40%，91.55%，91.09%)。分析表3中6組數(shù)據(jù)可知，4個(gè)方案的艦艇編隊(duì)可用度都滿足大于或等于90%的條件。以方案2為例，當(dāng)循環(huán)至108次時(shí)，此時(shí)總費(fèi)用為357萬元，艦艇編隊(duì)可用度大小為89.72%，不滿足要求；此時(shí)按邊際效應(yīng)法再增加1個(gè)備件，此時(shí)備件總費(fèi)用為358.9，可用度為90.40%，滿足要求，循環(huán)停止，共循環(huán)109次。同理，方案1方案3和方案4分別循環(huán)：165、123和78次，可得到在滿足可用度要求的情況下，最低保障經(jīng)費(fèi)分別為501.1萬元、457.0萬元、299.9萬元。

4個(gè)方案中，方案1的總費(fèi)用為501.1萬元，方案2～方案4在達(dá)到同等可用度要求的前提下，比方案1分別節(jié)?。?8.38%、8.80%、40.15%的經(jīng)費(fèi)。方案1雖需要的后勤保障經(jīng)費(fèi)最多，但該備件配置方案，無論備件是否進(jìn)行串件拼修或橫向供應(yīng)，其“魯棒性”都非常好。方案2～方案4的“魯棒性”比方案1要稍微差一些，但對(duì)非穩(wěn)定狀態(tài)下(如戰(zhàn)時(shí)任務(wù)想定或執(zhí)行任務(wù)周期突然延長等等)具有很重要的參考價(jià)值，可為決策者提供備件配置的有力參考依據(jù)，或者也可計(jì)算出在方案1的保障經(jīng)費(fèi)約束下，方案2～方案4的可以達(dá)到的最大可用度。

下面給出方案1～方案4的費(fèi)效曲線，如圖1～圖6所示。

圖1 方案1的費(fèi)效曲線(基地)Fig.1 Cost-effectiveness curve of Plan 1(support base)

圖2 方案1的費(fèi)效曲線(中心倉庫)Fig.2 Cost-effectiveness curve of Plan 2(support warehouse)

圖3 方案2的費(fèi)效曲線Fig.3 Cost-effectiveness curve of Plan 2

圖4 方案3的費(fèi)效曲線(基地)Fig.4 Cost-effectiveness curve of Plan 3(support base)

圖5 方案3的費(fèi)效曲線(中心倉庫)Fig.5 Cost-effectiveness Curve of Plan 3(support warehouse)

圖6 方案4的費(fèi)效曲線Fig.6 Cost-effectiveness curve of Plan 4

從上述圖1～圖6可以看出：

1)上述6個(gè)費(fèi)效曲線圖，能為決策制定備件攜帶方案提供相應(yīng)的參考依據(jù)。以方案2為例，當(dāng)可用度為85.52%時(shí)，此時(shí)保障經(jīng)費(fèi)為345.1萬元，這個(gè)指標(biāo)就是在該可用度下艦艇編隊(duì)最低的保障經(jīng)費(fèi)指標(biāo)。

2)方案1和方案3的保障經(jīng)費(fèi)是3個(gè)基地和1個(gè)中心倉庫保障經(jīng)費(fèi)之和，圖1、圖2和圖4、圖5也可為單艦出海備件攜帶方案提供參考依據(jù)。

3)不考慮其他因素，在可用度約束下，從保障經(jīng)費(fèi)最少這個(gè)角度來說，方案4<方案2<方案3<方案1. 在工程實(shí)踐中，若能夠進(jìn)行串件項(xiàng)目非常多，則有可能會(huì)出現(xiàn)方案3<方案2的情況。

4)護(hù)航艦艇編隊(duì)備件保障攜帶方案的制定：一方面，平時(shí)以方案1給定的模型、備件配置的過程和規(guī)律為參考；另一方面，戰(zhàn)時(shí)可在方案1的基礎(chǔ)之上，參考方案2～方案4艦艇編隊(duì)備件攜帶的規(guī)律和特點(diǎn)，制定方案。按方案1～方案4備件保障規(guī)律制定備件攜帶方案可以節(jié)省大量倉庫空間、排水量和保障經(jīng)費(fèi)，從而可以更多地?cái)y帶武器彈藥，使艦艇編隊(duì)作戰(zhàn)能力進(jìn)一步得到加強(qiáng)。

5 結(jié)論

1)本文主要針對(duì)串件拼修和橫向供應(yīng)對(duì)策下多層級(jí)艦艇編隊(duì)備件配置問題進(jìn)行了研究。文中給出了4種方案下的費(fèi)效曲線，可為具體工程實(shí)踐中裝備備件攜帶提供理論指導(dǎo)。

2)在工程實(shí)踐中可能會(huì)出現(xiàn)艦艇編隊(duì)艦船數(shù)量大于3的情況，但此時(shí)只是增加了循環(huán)次數(shù)和計(jì)算工作量，而對(duì)模型計(jì)算步驟和求解過程并沒有本質(zhì)上的影響，只是增加了一定的工作量。

3)本文案例中因只有兩個(gè)SRU11和SRU12備件，故假設(shè)進(jìn)行完全串件拼修，在工程實(shí)踐中，若有不完全串件拼修的情況，3.3節(jié)模型和方法依然適用，只是增加了MATLAB程序的運(yùn)行時(shí)間，增加了計(jì)算的工作量，對(duì)其他方面沒有影響。

4)當(dāng)艦艇編隊(duì)沒有綜合補(bǔ)給艦時(shí)，這時(shí)系統(tǒng)變成了兩層單級(jí)的情況，這是本文模型的另外一個(gè)方面，只要對(duì)模型適當(dāng)修正即可，限于篇幅，就不一一列舉了。

5)本文研究背景是索馬里護(hù)航的兩層兩級(jí)備件攜帶工程實(shí)踐問題，因而這是本文研究的重點(diǎn)，但對(duì)其他工程領(lǐng)域可能存在3層3級(jí)的備件攜帶問題并沒有研究，這是下一步工作方向。

References)

[1] Sherbrooke C C. METRIC: a multi-echelon technique for recoverable item control[J]. Operations Research, 1968, 16(1): 122-141.

[2] Sherbrooke C C. Optimal inventory modeling of systems: multi-echelon techniques[M]. Netherlands: Springer Science & Business Media, 2006, 178-188.

[3] Axs?ter S. A new decision rule for lateral transshipments in inventory systems[J]. Management Science, 2003, 49(9): 1168-1179.

[4] Levner E, Perlman Y, Cheng T C E, et al. A network approach to modeling the multi-echelon spare-part inventory system with backorders and interval-valued demand[J]. International Journal of Production Economics, 2011, 132(1): 43-51.

[5] Samouei P, Kheirkhah A S, Fattahi P. A network approach modeling of multi-echelon spare-part inventory system with backorders and quantity discount[J]. Annals of Operations Research, 2015, 226(1): 551-563.

[6] Costantino F, Di Gravio G, Tronci M. Multi-echelon, multi-indenture spare parts inventory control subject to system availability and budget constraints[J]. Reliability Engineering & System Safety, 2013, 119: 95-101.

[7] Topan E, Bayindir Z P. Multi-item two-echelon spare parts inventory control problem with batch ordering in the central warehouse under compound Poisson demand[J]. Journal of the Operational Research Society, 2012, 63(8): 1143-1152.

[8] Wong H, van Houtum G J, Cattrysse D, et al. Multi-item spare parts systems with lateral transshipments and waiting time constraints[J]. European Journal of Operational Research, 2006, 171(3): 1071-1093.

[9] 蔡芝明, 金家善, 李廣波. 多約束下隨船備件配置優(yōu)化方法[J]. 系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐, 2015, 35(6): 1561-1566. CAI Zhi-ming, JIN Jia-shan, LI Guang-bo. Warship spare parts allotment optimization method under multi-constraints[J]. System Engineering-Theory & Practice, 2015, 35(6): 1561-1566. (in Chinese)

[10] 金家善, 蔡芝明, 陳硯橋. 基于CML模型的編隊(duì)器材攜帶方案優(yōu)化方法[J]. 國防科技大學(xué)學(xué)報(bào), 2016, 38(2), 128-137. JIN Jia-shan, CAI Zhi-ming, CHEN Yan-qiao. Optimization method of carrying maintenance material support project for warship formation based on CML model[J]. Journal of National University of Defense Technology, 2016, 38(2), 128-137. (in Chinese)

[11] Olsson F. Optimal policies for inventory systems with lateral transshipments[J]. International Journal of Production Economics, 2009, 118(1): 175-184.

[12] Olsson F. An inventory model with unidirectional lateral transshipments[J]. European Journal of Operational Research, 2010, 200(3): 725-732.

[13] 劉任洋, 李慶民, 李華. 基于橫向轉(zhuǎn)運(yùn)策略的可修件三級(jí)庫存優(yōu)化模型[J]. 航空學(xué)報(bào), 2014,35(12): 3341-3349. LIU Ren-yang, LI Qing-min, LI Hua. Optimal model of three-echelon inventory for repairable spare parts with lateral transshipment strategy[J]. Acta Aeronautica et Astronatica Sinica, 2014, 35(12): 3341-3349. (in Chinese)

[14] 劉少偉, 關(guān)嬌, 王潔, 等. 具有橫向供應(yīng)策略的可維修備件兩級(jí)庫存模型[J]. 兵工學(xué)報(bào), 2015,35(7): 1334-1339. LIU Shao-wei, GUAN Jiao, WANG Jie, et al. Research on two-echelon spare parts inventory systems with lateral transshipments[J]. Acta Armamentarii, 2015, 36(7): 1334-1339. (in Chinese)

[15] 郭日紅, 閆鵬程, 孫江生, 等. 可修備件橫向供應(yīng)多級(jí)庫存模型研究[J]. 物流技術(shù), 2011, 30(3): 139-142. GUO Ri-hong, YAN Peng-cheng, SUN Jiang-sheng, et al. Study on the multi-echelon inventory model for repairable spare parts lateral supply chains[J]. Logistics technology, 2011, 30(3): 139-142. (in Chinese)

[16] Hirsch W M, Meisner M, Boll C. Cannibalization in multicomponent systems and the theory of reliability[J]. Naval Research Logistics Quarterly, 1968, 15(3): 331-360.

[17] Fisher W W, Brennan J J. The performance of cannibalization policies in a maintenance system with spares, repair, and resource constraints[J]. Naval Research Logistics Quarterly, 1986, 33(1): 1-15.

[18] Fisher W W. Markov process modelling of a maintenance system with spares, repair, cannibalization and manpower constraints[J]. Mathematical and Computer Modelling, 1990, 13(7): 119-125.

[19] Eynan A. The multi-location inventory centralization problem with first-come, first-served allocation[J]. European Journal of Operational Research, 1999, 114(1): 38-49.

[20] 王慎, 李慶民, 彭英武. 串件拼修對(duì)策下兩級(jí)備件維修供應(yīng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)管理模型[J]. 航空學(xué)報(bào), 2013,34(6): 1326-1335. WANG Shen, LI Qing-min, PENG Ying-wu. Evaluation of equipment system availability for multi-echelon maintenance supply with cannibalization[J]. Acta Aeronautica et Astronatica Sinica, 2013, 34(6): 1326-1335.(in Chinese)

[21] 肖蕾, 張志峰. 基于串件拼修策略的工程裝備備件庫存控制[J]. 海軍工程大學(xué)學(xué)報(bào), 2012, 24(6): 80-83. XIAO Lei, ZHANG Zhi-feng. Study of engineering equipment spare part inventory control based on cannibalization strategies[J]. Journal of Naval University Engineering, 2012, 24(6): 80-83. (in Chinese)

[22] Topan E, Bayndr Z P, Tan T. An exact solution procedure for multi-item two-echelon spare parts inventory control problem with batch ordering in the central warehouse[J]. Operations Research Letters, 2010, 38(5): 454-461.

[23] Wong H, Cattrysse D, Van Oudheusden D. Inventory pooling of repairable spare parts with non-zero lateral transshipment time and delayed lateral transshipments[J]. European Journal of Operational Research, 2005, 165(1): 207-218.

[24] Tiacci L, Saetta S. Reducing the mean supply delay of spare parts using lateral transshipments policies[J]. International Journal of Production Economics, 2011, 133(1): 182-191.

[25] Paterson C, Kiesmüller G, Teunter R, et al. Inventory models with lateral transshipments: a review[J]. European Journal of Operational Research, 2011, 210(2): 125-136.

[26] Lau H, Nakandala D, Shum P. A case-based roadmap for lateral transshipment in supply chain inventory management[J]. JISTEM-Journal of Information Systems and Technology Management, 2016, 13(1): 27-44.

[27] 張永強(qiáng), 徐宗昌, 孫寒冰, 等. 基于蒙特卡洛仿真和并行粒子群優(yōu)化算法的攜行備件優(yōu)化[J]. 兵工學(xué)報(bào), 2016, 37(1): 122-130. ZHANG Yong-qiang, XU Zhong-chang, SUN Han-bin, et al. Optimization of carried spare parts based on Monte Carlo simulation and parallel particle swarm optimization algorithm[J]. Acta Armamentarii, 2016, 37(1): 122-130. (in Chinese)

[28] 李予陽. 大數(shù)據(jù)時(shí)代: 開啟智能船舶時(shí)代[EB/OL]. (2014-10-20)[2016-06-08].http:∥www.sasac.gov.cn/n1180/n1271/n20515/n2697190/16088302.html. LI Yu-yang. Big data era: open the era of intelligent ship[EB/OL].(2014-10-20)[2016-06-08].http:∥www.sasac.gov.cn/n1180/n1271/n20515/n2697190/16088302.html. (in Chinese)

Contrastive Research on Warship Formation Spare Part Support Plans

JIN Jia-shan1,2, CAI Zhi-ming1,2, CHEN Yan-qiao1,2

(1.College of Power Engineering, Naval University of Engineering, Wuhan 430033, Hubei, China；2.Military Key Laboratory for Naval Ship Power Engineering, Naval University of Engineering, Wuhan 430033, Hubei, China)

Warship formation spare part support plan plays an important role in forming the warship formation readiness. The spare part support plan which is in accordance with the engineering practice is established by using inventory optimization management strategy. The support plan can be used to reduce the spare parts support funds while satisfying the minimum requirement of warship formation availability. A warship formation inventory optimization model which was based on spare part`s multi-echelon demand rate is built by taking the very low utilization rate of spare parts in the waters off Somalia as studying background, and the system support funds as the optimizing goal which is constrained by the minimum requirement of warship formation availability, and the calculation steps and the solution method are given. the decision and recommendations of warship formation spare part configuration is proposed by using the contrastive research on the different warship formation spare part support plans.

ordnance science and technology; cannibalization; lateral transshipment; multi-indenture multi-echelon; spare parts carrying sheme; warship formation

2016-06-27

海軍裝備預(yù)先研究項(xiàng)目(51319060103、41511G641)

金家善(1962—),男,教授，博士生導(dǎo)師。E-mail: jinjiashan401@163.com

TJ83; U662.1

A

1000-1093(2016)12-2356-10

10.3969/j.issn.1000-1093.2016.12.023