江蘇省如皋市搬經(jīng)中學(xué) 王正勇
空間向量解立體幾何中的位置關(guān)系
江蘇省如皋市搬經(jīng)中學(xué) 王正勇
立體幾何問題是歷年來高考必考的內(nèi)容,求立體幾何中的位置關(guān)系也成為了重要考點,空間向量的引入使其變成解決立體幾何問題的一項非常重要的工具。其在解決此類問題時體現(xiàn)出的實用性、靈活性、簡便性是其他方法不能實現(xiàn)的,很大程度地降低了立體幾何問題的難度。
立體幾何;位置關(guān)系;空間向量
利用空間向量表示空間中的點、線、面,使空間立體問題轉(zhuǎn)化為向量問題,進(jìn)而實現(xiàn)代數(shù)運算,完成了由難化易的轉(zhuǎn)換。本文中通過實例列舉出不同情況下空間向量的運用,希望可以幫助學(xué)生走出這一難點,更好地應(yīng)對立體幾何中的位置關(guān)系。
在介紹空間向量在立體幾何中證明位置關(guān)系的方法之前,我先列出在解題過程中要用到的空間向量求法以及解題策略,以便在后續(xù)的題目解答中學(xué)生會有更加清晰的解題思路,避免出現(xiàn)學(xué)生難以理解的知識,讓學(xué)生學(xué)習(xí)得更加透徹。
(1)空間直角坐標(biāo)系的建立:對空間直角坐標(biāo)系最基本的要求就是遵從右手法則。建立的原則應(yīng)是保證相關(guān)點盡可能簡便地寫出其坐標(biāo)或者利于后續(xù)點坐標(biāo)的求解。
(2)法向量的計算:建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系后,假設(shè)平面的法向量為,再在所求平面內(nèi)找出兩條相交的直線,由于垂直于平面的向量必垂直于平面內(nèi)的直線,利用垂直向量點乘為零列出方程組,然后假設(shè)三個未知數(shù)中的一個為特殊值,從而求出另外兩個未知數(shù)的值。
(3)向量法證明垂直:證明線面垂直時,通常證明直線所在向量平行于平面的法向量,即(p為常數(shù));證明面面垂直時,通常證明兩平面的法向量是互相垂直的,即。
以上幾種方法的介紹基本包括了位置關(guān)系的全部知識。學(xué)生應(yīng)注意的是,雖然在解決空間位置關(guān)系時常用向量法,但此種方法并非是最優(yōu)選擇,有時傳統(tǒng)方法證明會更加簡潔,向量法也并非可以解決所有立體幾何問題。我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),就是需要用辯證的眼光看問題,活學(xué)活用才是解決數(shù)學(xué)問題的必勝法寶。
這里重點探究的空間圖形的位置關(guān)系為平行與垂直,包括直線與直線、直線與平面、平面與平面之間的平行和垂直問題。引入空間向量之后,利用直線的方向向量和平面的法向量,只需簡單的運算,即可證明此類問題。
例1 如圖,幾何體P-ABCD是底面為正方形的四棱錐,側(cè)棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E為PC中點,F(xiàn)為PB上一點,且EF⊥PB。求證:(1)PA∥平面EDB;(2)PB⊥平面EFD。
點撥:本題中提到的是線面關(guān)系,法向量的求法已經(jīng)給出,所以本題中就省略了此過程。在解決其他的情況時,我們可以利用線線問題、線面問題、面面問題的相互轉(zhuǎn)化,提升自身的空間想象力,開拓思維,探索出新的解題方法。
探索性問題一般就是存在動點,使點所在直線或者平面滿足空間上的位置關(guān)系或數(shù)量關(guān)系。此類問題可以最直接最完美地體現(xiàn)空間向量的優(yōu)點,位置的不確定性可以通過坐標(biāo)來表示,這就給我們解決此類問題提供了良好的理論基礎(chǔ)。
例2 如圖,P-ABCD是底面為矩形的四棱錐,PA垂直于底面ABCD,E為PD中 點。BC=1,,PA=2。(1)求直線AC與PB所成角的余弦值;(2)N為平面PAB內(nèi)一動點,是否存在點N,使NE垂直于平面PAC?
解析:由于N點位置的不確定,故坐標(biāo)也是不確定的。N點在平面PAB上,所以點N的y坐標(biāo)為0。建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則可得到如下點的坐標(biāo):
(1)根據(jù)各點坐標(biāo)即可求出答案,故略。
點撥:假設(shè)出N點的坐標(biāo)是本題中的重點。在此類問題中不同于以往的列式求解,通過坐標(biāo)的代入完成了由空間幾何圖形到代數(shù)問題的轉(zhuǎn)換,在降低了維數(shù)的同時又很大程度地減少了計算量,將探索性問題化難為易,實現(xiàn)以靜制動。
以空間向量作為解決立體幾何的工具,真正地實現(xiàn)了數(shù)與形的完美結(jié)合,在高中數(shù)學(xué)中應(yīng)用此方法可以一定程度上解決學(xué)生在空間想象能力上的缺陷,在有效的描述圖形中多種數(shù)量關(guān)系以及位置關(guān)系的同時,極大地降低了立體幾何問題的難度。