江西省高安市灰埠中學(xué) 金錦花

與圓錐曲線有關(guān)的幾個最值問題的解決方法

江西省高安市灰埠中學(xué) 金錦花

平面解析幾何是一門研究點的運動變化規(guī)律的學(xué)科，圓錐曲線中的范圍問題或最值問題較為常見，所涉及的知識面也較為廣泛，是教師和學(xué)生都感覺較為棘手的一個難點。下面就幾個常見的最值問題談幾個常見的解決方法。

一、圓錐曲線上的任一點與圓錐曲線對稱軸上某一定點的距離的最值問題

求圓錐曲線上任一點到某一定點的距離的最值問題，可借助“點在曲線上”實現(xiàn)變量統(tǒng)一，將橫縱坐標兩個變量中的一個用另一個表示，構(gòu)造關(guān)于其中一個坐標的二次函數(shù)求最值。

解：由題意，B點坐標為B（0，b）。設(shè)P（x0，y0），

綜上：略。

說明：在圓錐曲線上任一點到某一定點的距離的最值問題中，所給定點一般是圓錐曲線的對稱軸上的點，否則變量統(tǒng)一往往比較困難。

該學(xué)生的解答是否正確？若正確，請寫出他的解題依據(jù)；若不正確，請寫出正確結(jié)果。

二、圓錐曲線上的任意點到某一定直線的距離的最值問題

求圓錐曲線上任一點到某一定直線的距離的最值，借助“點在曲線上”實現(xiàn)變量統(tǒng)一往往比較困難，這時可借助“切線平移法”實現(xiàn)變量統(tǒng)一或“三角代換”求最值。

例3 求拋物線y=-x2上的點到直線l:4x+3y-8=0距離的最小值。

解法二：（切線平移法）

設(shè)與直線l平行的直線l′的方程為：4x+3y+b=0，

則直線l平移到與拋物線相切時的切點Q即拋物線上到直線l最近的點，直線l與l′的距離即所求最小距離。

說明：在求橢圓或雙曲線一支上的一點到一條定直線的距離的最值問題中，“變量統(tǒng)一”很難做到，在這種情況下，“切線平移法”就顯得較為方便。

解法一：（切線平移法）設(shè)與直線l平行的直線的方程為：x-y+b=0，

解法二：（三角代換法）

說明：與圓、橢圓或雙曲線有關(guān)的最值問題中，利用三角比中的平方關(guān)系實現(xiàn)變量統(tǒng)一也是平面解析幾何中一種較為常見的方法。

通過前面幾種常見最值問題的贅述可以看到，解析幾何中的最值問題和以前所學(xué)過的知識是存在著一種緊密的內(nèi)在聯(lián)系的，只要我們能夠深刻理解圓錐曲線的定義及方程所揭示的內(nèi)涵，靈活運用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，就可以將問題轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的一些數(shù)學(xué)模型，將問題解決。