2017年3月26日

一、下圖是只印有月、日及星期的年歷．

(1)這份2017年的年歷最早能在公元哪一年再次使用？請(qǐng)說(shuō)明理由．

(2)這樣的公元2016年(閏年)的年歷，最早能在公元哪一年再次使用？請(qǐng)說(shuō)明理由．

解(1)2023年，(2)2044年．

理由如下：

(1)因?yàn)?017、2018、2019、2021、2022、2023年都是非閏年，每年365天，365≡1(mod 7)，而2020年是閏年，366≡2(mod 7)．這樣從2017年元旦到2022年12月31日，正好經(jīng)過(guò)7的倍數(shù)天數(shù)，因此2023的年歷與2017年的年歷中日、月、和星期的信息一樣，這一年是最早可以再次使用2017年歷的．

(2)2016年是閏年，和它一樣的年歷也必須是閏年．而每一個(gè)閏年周期是4，3×365+366=1461≡5(mod 7)，而5和7是互質(zhì)的，因此，經(jīng)過(guò)7個(gè)閏年周期,即28年，年歷中的日、月和星期的信息與2016年一樣的，這一年是2044．

二、羅盤經(jīng)緯儀是一種工程測(cè)量?jī)x器，如圖．其中的羅盤用于測(cè)定東西南北方向的方位，經(jīng)緯儀視筒可以水平或豎直旋轉(zhuǎn)，通過(guò)刻度盤讀出視線的水平或垂直旋轉(zhuǎn)角度．它適用于農(nóng)田水利、土地規(guī)劃、地形規(guī)劃、地形測(cè)繪等一般的工程測(cè)量．今使用羅盤經(jīng)緯儀分別從觀測(cè)點(diǎn)A1(-120.4°W, 48.6°N)、A2(-120.6°W, 48.6°N)，(括弧中的一組數(shù)量表示的是西經(jīng)、北緯的度數(shù))觀測(cè)目標(biāo)點(diǎn)S，這兩條視線的方位角(視線與正北方向的水平夾角)分別為242°和 198°．如果過(guò)A1、A2和S這三點(diǎn)的平面可以近似地表示地球的表面．求點(diǎn)S的經(jīng)緯度．

解建立以經(jīng)度，緯度為坐標(biāo)的直角坐標(biāo)系，如下圖。取平行于緯線的直線為橫軸(x軸)，正東方的指向?yàn)檎颍叫杏诮?jīng)線的直線為縱軸(y軸)，正北方向的指向?yàn)檎颍ㄟ^(guò)點(diǎn)A1(x1,y1)、A2(x2,y2)觀測(cè)目標(biāo)S的視線分別為過(guò)A1、A2點(diǎn)的直線，與縱軸的夾角分別為α1和α2．他們相交于目標(biāo)點(diǎn)S(x,y) ．

由此可以得到這兩條直線的點(diǎn)斜式為

y-yi=cotαi(x-xi),i=1,2，

即

y-(cotα1)x=y1-(cotα1)x1

y-(cotα2)x=y2-(cotα2)x2

即

(sinα1)y-(cosα1)x=(sinα1)y1-(cosα1)x1

(sinα2)y-(cosα2)x=(sinα2)y2-(cosα1)x2

將數(shù)據(jù)(x1,y1)=(-120.4°W, 48.6°N)、(x2,y2)=(-120.6°W, 48.6°N)和α1=242°，α2=198°帶入模型中，求解得到

(x,y)= (-120.64°W, 48.47°N) ．

三、一輛小汽車在普通路面上行駛，測(cè)得一組數(shù)據(jù)，見下表(表1)

車速(千米/小時(shí))324048566472808896反應(yīng)距離(米)6.78.510.111.913.415.216.818.620.1剎車距離(米)6.18.512.31621.928.23645.355.5

其中反應(yīng)距離是指從駕駛員做出反應(yīng)動(dòng)作到剎車制動(dòng)開始起作用這段時(shí)間內(nèi)汽車行駛的距離；剎車距離是指從剎車制動(dòng)開始起作用到汽車完全停止這段時(shí)間內(nèi)汽車行駛的距離．請(qǐng)以這組數(shù)據(jù)回答下面問(wèn)題：

(1)對(duì)于這個(gè)小汽車和這個(gè)駕駛員，建立反應(yīng)距離關(guān)于車速的函數(shù)模型。

(2)對(duì)于這個(gè)小汽車和這個(gè)駕駛員，建立剎車距離關(guān)于車速的函數(shù)模型。

(3)若十字路口最大限速為v=50千米/小時(shí)，路口寬度為30米，如果只考慮小轎車的通行安全，并以表1為依據(jù)，那么信號(hào)燈的黃燈至少要亮多少時(shí)間？

解設(shè)駕駛員反應(yīng)時(shí)間為t，反應(yīng)距離為s1，剎車距離為s2，車速為v．

車速(千米/小時(shí))324048566472808896t(秒)0.75380.76500.75750.76500.75380.76000.75600.76090.7538

由此表可見，反應(yīng)時(shí)間非常接近，t的均值= 0.7584，方差= 2.0927×10-5．于是，將反應(yīng)時(shí)間設(shè)為常數(shù)0.7584是合理的．

反應(yīng)距離關(guān)于車速的函數(shù)模型為s1=0.7584v．

車速(千米/小時(shí))32404856647280889612a(秒2/米)0.07720.06890.06920.06610.06930.07050.07290.07580.0780

(3)因?yàn)樽畲笙匏贋?0千米/小時(shí)(約為13.88米/秒，從安全角度考慮，可近似為14米/秒)，路口寬度(記作m)為30米，黃燈亮的時(shí)間應(yīng)該允許離停車線距離小于停車距離(s2+s2)的汽車開過(guò)十字路口，而

s1(14)= 0.7584×14=10.6176(米)，s2(14)= 0.072×142=14.112(米)．

根據(jù)勻速運(yùn)動(dòng)規(guī)律，有

所以，信號(hào)燈的黃燈至少要亮4秒．

四、1543年哥白尼發(fā)表《天體運(yùn)行論》提出了日心體系，目前普遍認(rèn)定太陽(yáng)系八大行星都繞著太陽(yáng)做圓周運(yùn)動(dòng)．其中，水星和金星的軌道半徑比地球的小，稱為內(nèi)行星；火星、木星、土星、天王星和海王星的軌道半徑比地球的大，稱為外行星．那么，在地球上觀察其它行星的運(yùn)動(dòng)時(shí)，會(huì)看到它們有時(shí)“前進(jìn)”，有時(shí)“后退”．例如，通過(guò)連續(xù)的若干天觀察，發(fā)現(xiàn)金星在天空中的位置是由左向右移動(dòng)(順行)，接下來(lái)若干天又是由右向左移動(dòng)(逆行)，較長(zhǎng)時(shí)間觀察會(huì)發(fā)現(xiàn)，金星在天空呈“順行→逆行”循環(huán)的變化規(guī)律．

請(qǐng)借助下圖，在圖上進(jìn)一步標(biāo)記出運(yùn)動(dòng)中的地球、金星的位置，解釋金星在天空呈“順行→逆行”的變化規(guī)律．

(為了方便分析，在不影響對(duì)運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律分析的前提下，設(shè)金星軌道半徑等于地球軌道半徑的四分之三(實(shí)際約為0.723)，金星公轉(zhuǎn)角速度等于地球公轉(zhuǎn)角速度的2倍(實(shí)際約為1.626))．

五、現(xiàn)有一條較長(zhǎng)的等間隔地串連在一起的彩燈鏈，其中有一個(gè)燈泡壞了，致使鏈上的彩燈都不亮了．如果我們手里有完好的導(dǎo)線，可以用“二分法”將壞燈泡排查出來(lái)． 步驟如下．

第一步：將有壞燈泡的彩燈鏈記為AB，完好的導(dǎo)線記為CD，將AB連接到電路中后，再將C連到A處，D連到AB的中點(diǎn)M處．

第二步：如果MB段燈泡亮，則表明壞燈泡在AM段上，這時(shí)我們排除掉MB段，并且將M改記作B，對(duì)新的AB段重復(fù)第一步的過(guò)程；如果彩燈MB段燈泡不亮，則表明壞燈泡在MB段上，這時(shí)我們排除掉AM段，并且M改記作A，對(duì)新的AB段重復(fù)第一步的過(guò)程．

第三步：重復(fù)上面兩步，直到找到壞燈泡為止．

對(duì)上述排查步驟，一名學(xué)生有如下觀點(diǎn)：

請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算n次“第一步”之后所得包含壞燈泡的區(qū)間長(zhǎng)度都可能取哪些值和分別對(duì)應(yīng)的概率，比較“取中點(diǎn)”和“取三等分點(diǎn)”策略的優(yōu)劣．

據(jù)此，得到離散型隨機(jī)變量Ln的概率分布列為：

Ln13 n(b-a)13 n-123 (b-a)…13 n-k23 k(b-a)…23 n(b-a)PC0n13 nC1n13 n-123 …Ckn13 n-k23 k…Cnn23 n

于是，隨機(jī)變量Ln的數(shù)學(xué)期望為

這表明，在平均意義下，n次“第一步”之后，“取三等分點(diǎn)”法所得包含壞燈泡的區(qū)間長(zhǎng)度期望更大一些，沒有“取中點(diǎn)”的精度高．

從而“取中點(diǎn)”比“取三等分點(diǎn)”的策略更好一些．