趙思林 王 婷

(1.內(nèi)江師范學院數(shù)學與信息科學學院 641112；2. 四川省教育考試院 610041)

黨的十八大報告提出“立德樹人是教育的根本任務”．立德樹人作為教育的根本任務，高考也應體現(xiàn)這種導向．[1]在教育部制定的落實立德樹人根本任務的配套文件《關于全面深化課程改革，落實立德樹人根本任務的意見》中指出：“全面貫徹黨的教育方針，堅持立德樹人，加強社會主義核心價值體系教育，完善中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化教育，形成愛學習、愛勞動、愛祖國活動的有效形式和長效機制，增強學生社會責任感、創(chuàng)新精神、實踐能力．”

數(shù)學是樹人的重要途徑．數(shù)學是基礎教育的核心課程，是培養(yǎng)人才的重要學科．數(shù)學教育與樹人的關系極為密切．數(shù)學是培養(yǎng)人才的重要途徑．數(shù)學對培養(yǎng)人的科學精神、思維方法、探索能力、思辨能力、量化思維、審美情趣等具有重要作用．“數(shù)學是思維的體操”，“數(shù)學是思維的科學”，數(shù)學中充滿了創(chuàng)造，整個數(shù)學史就是一部創(chuàng)造史，可以說，沒有創(chuàng)造就沒有數(shù)學．因此，數(shù)學對培養(yǎng)人的理性思維和創(chuàng)新能力具有巨大作用，正如《義務教育數(shù)學課程標準(2011年版)》所說“要發(fā)揮數(shù)學在培養(yǎng)人的思維能力和創(chuàng)新能力方面的不可替代的作用．”[2]

數(shù)學與立德有密切關系．立德的過程就是德育的過程．簡言之，立德即德育．一方面，數(shù)學教育應該而且可以發(fā)揮“數(shù)學教學具有的德育功能”．[3]另一方面，良好的德育有助于數(shù)學的教學，德育可以幫助學生培養(yǎng)正確的動機、濃厚的興趣、積極的情感、良好的習慣、堅強的意志和獨立的性格，這些德育因素是學生學好數(shù)學應具備的品質(zhì)．

研究近年高考數(shù)學試題發(fā)現(xiàn)，立德樹人已成為高考數(shù)學試題的新動向和新亮點．本文主要以近兩年高考數(shù)學四川卷為例，分析了涉及立德樹人的試題有以下幾類：弘揚中國優(yōu)秀數(shù)學文化，激發(fā)愛國情感；以中國資源缺乏為情境，培養(yǎng)勤儉節(jié)約美德；以新定義設置問題，考查學習能力；設計探究型、交匯型、開放型問題，考查數(shù)學創(chuàng)新意識；設計實際應用型問題，考查實踐能力．

1 弘揚中國優(yōu)秀數(shù)學文化，激發(fā)愛國情感

愛國是公民對祖國最深厚的情感與強烈的責任擔當．中國是有幾千年愛國主義優(yōu)良傳統(tǒng)的國家．培養(yǎng)學生的愛國情感是立德樹人的重要任務．近年來，一些考題涉及《九章算術》、《數(shù)書九章》等數(shù)學著作的內(nèi)容，其意圖是弘揚中國優(yōu)秀數(shù)學文化，培養(yǎng)考生的愛國情感．

例1(2016年四川卷理科第6題、文科第8題)秦九韶是我國南宋時期的數(shù)學家，普州(現(xiàn)四川省安岳縣)人，他在所著的《數(shù)書九章》中提出的多項式求值的秦九韶算法，至今仍是比較先進的算法．如圖所示的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項式值的一個實例，若輸入n，x的值分別為3，2，則輸出v的值為( )．

(A)9 (B)18 (C)20 (D)35

評析秦九韶是我國南宋時期偉大的數(shù)學家，普州(現(xiàn)四川安岳)人，理科6題、文科8題以他在《數(shù)書九章》中提出的多項式求值的秦九韶算法為背景設置問題情境，這樣設計的意圖是引導考生了解和弘揚中國古代數(shù)學的優(yōu)秀文化，激發(fā)考生的民族自豪感和愛國情感，增強學習數(shù)學、研究數(shù)學、應用數(shù)學和創(chuàng)造數(shù)學的信心．通過題干中“多項式求值的秦九韶算法，至今仍是比較先進的算法”讓考生了解和欣賞我國南宋時期數(shù)學家秦九韶的高超智慧．本題的難度較低，其解答不需要考生去學習《數(shù)書九章》，因此，這樣考查不會加重學生的學習負擔．

類似的題有2016年全國卷Ⅱ理科8題以《數(shù)書九章》中計算多項式值的秦九韶算法為背景考查算法，2015年全國卷Ⅰ文理科第6題以《九章算術》中米堆的體積為問題情境考查米堆體積的近似計算，2015年全國卷Ⅱ文理科第8題以《九章算術》中“更相減損術”為情境考查算法，2015年湖北卷文理科第2題以《九章算術》中“米谷粒分”問題為情境考查統(tǒng)計中的抽樣方法，2015年湖北卷理科第19題以《九章算術》中的“陽馬”和“鱉臑”為情境考查立體幾何知識，這些題目充滿數(shù)學文化氣息，意在弘揚中國優(yōu)秀數(shù)學文化，值得欣賞與學習．

2 以中國資源缺乏為情境，培養(yǎng)勤儉節(jié)約美德

勤能興邦，儉能養(yǎng)德．勤儉節(jié)約是中國人民的傳統(tǒng)美德．勤儉節(jié)約教育是立德樹人的重要內(nèi)容．

例2(2016年課標四川卷理科16題)我國是世界上嚴重缺水的國家，某市政府為了鼓勵居民節(jié)約用水，計劃調(diào)整居民生活用水收費方案，擬確定一個合理的月用水量標準x(噸)，一位居民的月用水量不超過x的部分按平價收費，超出x的部分按議價收費．為了了解居民用水情況，通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量(單位：噸)，將數(shù)據(jù)按照[0,0．5)，[0．5,1)，…，[4,4．5)分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)求直方圖中a的值；

(2)設該市有30萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，并說明理由；

(3)若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過標準x(噸)，估計x的值，并說明理由．

評析本題受到社會普遍贊譽，很多老師都認為這是一道考查應用意識的好題．題目以考生熟悉的居民節(jié)約用水作為情境，考查考生用概率統(tǒng)計知識解決現(xiàn)實生活問題的能力，真正體現(xiàn)了統(tǒng)計思想方法在現(xiàn)實生活中的應用價值．其命題立意有四點：一是滲透環(huán)保意識，二是倡導勤儉節(jié)約，三是考查應用意識，四是崇尚科學精神．關于崇尚科學精神，似乎并不明顯，有必要解釋如下：本題是政府要制定一個居民生活用水收費方案，即確定一個合理的月用水量標準x(噸)，這個標準不是拍腦袋人為地確定一個標準，而是通過統(tǒng)計調(diào)查、數(shù)據(jù)整理、數(shù)據(jù)分析、統(tǒng)計推斷，根據(jù)居民月用水量的數(shù)據(jù)用統(tǒng)計方法科學地推算出一個科學合理的標準，這樣就可培養(yǎng)考生的調(diào)查研究意識和科學決策意識，從而本題暗含科學決策，故有“崇尚科學精神”之意．

類似的題還有2016年四川卷文科第16題，2016年全國卷Ⅱ文理科18題以保險為背景考查概率統(tǒng)計知識，2016年全國卷Ⅲ文理科第18題以生活垃圾無害化處理為情境考查利用線性回歸模型進行擬合與預測，2016年北京卷文科第17題以“居民用水實行階梯水價”為情境考查統(tǒng)計知識和應用意識，2015年全國卷Ⅱ文理科第3題以二氧化硫排放為情境考查統(tǒng)計知識，這些試題立意鮮明、情境新穎，激發(fā)環(huán)保意識、保險意識、儲蓄意識、節(jié)約意識，充滿正能量，值得欣賞與借鑒．

3 以新定義設置問題，考查學習能力

學習能力是現(xiàn)代人才的核心素養(yǎng)．學習能力包括搜集、提煉、加工信息，對閱讀的內(nèi)容進行概括和理解，看清楚問題的本質(zhì)，然后運用新的知識通過分析、演算、歸納、猜想、類比或論證等方法解決一些新的數(shù)學問題．

①若點A的“伴隨點”是點A′，則點A′的“伴隨點”是點A

②單位圓的“伴隨曲線”是它自身；

③若曲線C關于x軸對稱，則其“伴隨曲線”C′關于y軸對稱；

④一條直線的“伴隨曲線”是一條直線．

其中的真命題是____________(寫出所有真命題的序列)．

評析本題是一道立意深遠、背景深刻、結(jié)論開放、易于推廣、富含探究價值的好問題．該題的解答沒有現(xiàn)成的套路和方法，要求考生快速準確地讀懂“伴隨點”、“伴隨曲線”這兩個新定義，面對這個新穎的問題情境，考生必須經(jīng)歷“學習數(shù)學——理解數(shù)學——應用數(shù)學”的過程．因此，本題需要考生經(jīng)歷自主學習、探究學習等過程．本題的“伴隨點”、“伴隨曲線”有深刻的數(shù)學背景，考生可以從題目中的定義出發(fā)，判斷4個命題的真假，還可以猜想并推演出很多結(jié)論，如不經(jīng)過原點的直線的“伴隨曲線”是一個圓，圓的“伴隨曲線”是直線或圓等．這樣的問題設計，可有效考查考生的探究意識、創(chuàng)新意識和學習潛能．本題著重考查考生對知識的理解、遷移和應用，從而檢測考生的思維廣度、深度以及學習的潛能．

類似的題還有2016年全國卷Ⅲ理科12題以“規(guī)范01數(shù)列”為新定義考查數(shù)學學習能力和創(chuàng)新意識；2016年全國卷Ⅱ理科17題以高斯函數(shù)定義為載體設計問題考查數(shù)列知識；2015年北京卷文科第8題以汽車的“累計里程”為新定義考查分析問題和解決問題能力； 2015年福建卷理科第15題以保密通訊中二元碼為背景，以“第k位碼”為新定義考查創(chuàng)新意識等．這些試題設計新穎，難度適中，能有效考查考生學習新數(shù)學知識的能力．

4設計探究型、交匯型、開放型問題，考查數(shù)學創(chuàng)新意識

數(shù)學探究型問題、交匯型問題、開放型問題等是考查數(shù)學創(chuàng)新意識的好問題．這些問題立意鮮明、設問巧妙，富含思維價值，體現(xiàn)樹人特點，是檢測考生理性思維廣度、深度和創(chuàng)新潛能的良好素材．解答這些問題，需要考生具有高層次的理性思維，具有較強的分析問題、探究問題和解決問題的能力．

例4(2015年四川卷理科20題)如圖，橢圓E：

(1)求橢圓E的方程；

評析數(shù)學探究性問題的核心價值在于考查學生獨立研究、敢于質(zhì)疑、勇于創(chuàng)新的思維品質(zhì)．數(shù)學探究性問題對培養(yǎng)學生的創(chuàng)造能力肩負著特殊的責任．[4]

第(2)問考查探究意識和探究能力的意圖是明顯的．考查數(shù)學探究對引導高中教學重視數(shù)學探究是有益的．從試卷分析來看，本題的得分率非常低，很多考生不知探究、不會探究．如果考生對直線l從特殊著手進行探究，則可降低解題難度并大幅減少運算量．首先借助直線l平行于x軸時，與橢圓有兩個交點，則易知定點Q必在y軸上，這時可設點Q的坐標為(0,y0)，這就能大幅減少運算量．為探求y0，可以再對直線l從特殊著手考慮，取直線l與x軸垂直時，可求得y0=2，從而唯一確定的點Q的坐標就求出來了．接下來的工作是進行嚴格的證明．

像這種探求定點是否存在的題目，比較適合從特殊情況著手，先把定點探出來再嚴格證明(這樣做運算量比較小)，有時通過計算直接判斷定點不存在．

類似的題還有2016年全國卷Ⅱ理科12題以抽象函數(shù)為載體考查函數(shù)知識、數(shù)形結(jié)合思想和數(shù)學探究能力；2016年全國卷Ⅲ理科12題以“規(guī)范01數(shù)列”為新定義考查數(shù)學探究能力；2015年全國卷Ⅰ理科第16題已知平面四邊形的三個相等角的度數(shù)及一條邊長，探求另一條邊的取值范圍，理科第20題是解析幾何中存在性探究問題，這兩題對數(shù)學探究能力的要求都比較高；2015年全國卷Ⅱ理科第20題、2015年北京卷文科第19題，都是解析幾何中存在性探究問題．

(1)在平面PAB內(nèi)找一點M，使得直線CM∥平面PBE，并說明理由；

(2)若二面角P-CD-A的大小為45°，求直線PA與平面PCE所成角的正弦值．

評析本題(1)是典型的結(jié)論開放性問題，符合條件的點可以找出無數(shù)多個．命題組的“參考答案”最后還給了個“說明：延長AP至點N，使得AP=PN，則所找的點可以是直線MN上任意一點”．這說明在平面PAB內(nèi)所找的點M是不確定的，點M的軌跡是一條直線．由于考生平時沒有做過“在平面內(nèi)找一點”題目，致使很多考生覺得此問比較難，很多考生花了不少時間才找出一點，可見，本題的開放性導致考生很不適應、很不習慣，得分率也比較低．這也表明，平時對數(shù)學開放型問題的教學力度不夠．數(shù)學開放性問題對訓練學生的思維能力是非常有益的，是考查學生思維廣闊性、靈活性和創(chuàng)造性的優(yōu)秀題型之一，受其閱卷麻煩(答案多種多樣)的限制，出現(xiàn)的考題并不多．平時教學和高考中可以設計少量的條件開放型問題或結(jié)論開放型問題，引導學生擺脫數(shù)學是“答案唯一”的僵化思維模式，培養(yǎng)求異思維和創(chuàng)新思維．本題有通過設計開放型問題考查創(chuàng)新意識的意圖．

例6(2016年四川卷理科19題)已知數(shù)列{an}的首項為1，Sn為數(shù)列{an}的前n項和，Sn+1=qSn+1，其中q>0,n∈N*．

(1)若2a2,a3,a2+2成等差數(shù)列，求an的通項公式；

評析本題是典型的知識交匯型問題．該題由數(shù)列、雙曲線、不等式等知識交匯而成，這種交匯方式考生在本次高考之前的考試和練習中從未遇見，考生對這種交匯很不習慣，致使本題第(2)問的得分率很低，考生普遍感到此題第(2)問很難．考生面對這種新穎的交匯方式，由于沒有現(xiàn)成套路，很多考生不知如何下手，因此，解答本題考生需要具有創(chuàng)新精神，勇于突破對題型和解題套路的思維定勢．本題有通過設計知識交匯型問題考查創(chuàng)新意識的意圖．

5 設計實際應用型問題，考查實踐能力

數(shù)學應用型問題是考查數(shù)學實踐能力和創(chuàng)新意識的好問題．解答應用型問題，需要考生具有較強的分析問題和解決問題的能力．

例7(2016年四川卷理科第5題、文科第7題)某公司為激勵創(chuàng)新，計劃逐年加大研發(fā)資金投入．若該公司2015年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是( )．

(參考數(shù)據(jù)：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)

(A)2018年 (B)2019年

(C)2020年 (D)2021年

評析本題考查數(shù)學應用意識．該題以“大眾創(chuàng)業(yè)，萬眾創(chuàng)新”的時代背景設計問題，意在引導考生立志創(chuàng)業(yè)、崇尚創(chuàng)新．為使運算簡單，本題給的三個對數(shù)值只保留了兩位小數(shù)，恰好lg1.12作分母，即0.05作分母，這樣運算量非常小，甚至可以心算完成．注意到lg1.12≈0.049，若保留三位小數(shù)，則運算量就大得多．若保留四位小數(shù)，取lg1.12≈0.0492，這時lg1.12作分母，其運算量將會非常大．不難看出，本題在控制運算量方面作了有益探索并且是成功的．由此獲得啟示，應用問題的設計要注意控制運算量，可以通過減少保留小數(shù)位數(shù)來控制近似計算的運算量，從而真正體現(xiàn)“多考點想，少考點算”的命題理念．

類似的考題還有2016年全國卷Ⅰ文理科第16題以高科技企業(yè)利潤為背景考查線性規(guī)劃；2016年全國卷Ⅱ理科5題以選擇最短路徑為實際背景考查排列組合知識和數(shù)學應用能力；2016年全國卷Ⅲ文理科4題以“氣溫的雷達圖”為情境考查分析問題能力和數(shù)學應用意識．

順便指出，畫圖是立體幾何重要的基本技能，考畫圖的目的之一是動手考實踐能力．近年來，立體幾何試題中出現(xiàn)一些考查畫圖或作圖的題目，如2016年全國卷Ⅰ文科18題要求考生作出一個點的正投影畫出一個正方形(說明作法及理由)；2015年全國卷Ⅱ理科19題要求考生在正方體內(nèi)畫出一個正方形(不必說明畫法和理由)；2015年四川卷文理科第18題，要求考生標出正方體的三個頂點的字母(不需說明理由)．

數(shù)學教育的重要任務是數(shù)學育人，數(shù)學育人主要表現(xiàn)在培養(yǎng)學生的愛國情懷、誠實守信、熱愛勞動、理性精神、探究能力、創(chuàng)新意識、辯證思維等方面，數(shù)學教學在這幾方面是應該并且能夠作為的．隨著高考命題改革的不斷推進和完善，加之涉及立德樹人的優(yōu)秀高考試題的不斷涌現(xiàn)，可以展望：立德樹人將會成為數(shù)學教學的新常態(tài)，立德樹人將會成為高考數(shù)學命題的新特點．