王海青

(1. 廣州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，510006；2. 廣東省惠州市惠州學(xué)院數(shù)學(xué)系，516007)

數(shù)學(xué)概念是整個數(shù)學(xué)體系這座大廈的根基．只有根基穩(wěn)了，大廈才牢靠．?dāng)?shù)學(xué)概念特別是基礎(chǔ)的、核心的概念的產(chǎn)生，往往在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史進(jìn)程中起到重要的推動作用，甚至支撐著一門學(xué)科分支的發(fā)展．因此，概念教學(xué)歷來在數(shù)學(xué)教學(xué)中具有不可撼動的地位．

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個數(shù)學(xué)知識再發(fā)現(xiàn)的過程．?dāng)?shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)也應(yīng)使學(xué)生從中體驗數(shù)學(xué)知識的形成過程，習(xí)得相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法．如弗賴登塔爾所言：“年輕的學(xué)習(xí)者重蹈人類的學(xué)習(xí)過程，盡管方式改變了．”[1]所以了解相關(guān)概念的歷史有助于教師深刻理解概念并進(jìn)行有效的教學(xué)設(shè)計．復(fù)數(shù)是數(shù)學(xué)學(xué)科中的核心概念，相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容也是教與學(xué)的難點．下面以“數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念”為例，闡述如何利用數(shù)學(xué)史對教科書內(nèi)容進(jìn)行“再創(chuàng)造”，實現(xiàn)數(shù)學(xué)再發(fā)現(xiàn)的過程．

1 基于課程標(biāo)準(zhǔn)和教科書內(nèi)容的教學(xué)目標(biāo)分析

依照上面的思想，為了解決像方程x2+1=0在實數(shù)集內(nèi)無解的問題，必須引入新數(shù)，因為“數(shù)不夠用了”．同樣，擴(kuò)充后的運(yùn)算要能和擴(kuò)充前保持一致，不出現(xiàn)矛盾．由此給出了復(fù)數(shù)的代數(shù)形式及其幾何意義．

根據(jù)以上教科書內(nèi)容的安排，教學(xué)目標(biāo)主要是讓學(xué)生：(1)了解數(shù)系擴(kuò)充的目的和原則，體會蘊(yùn)含其中的數(shù)學(xué)思想；(2)明白為什么要引入虛數(shù)和規(guī)定i2=-1；(3)結(jié)合適當(dāng)習(xí)題，理解復(fù)數(shù)的代數(shù)形式a+bi；(4)結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何解釋，深化對復(fù)數(shù)概念的理解．

2 常見教學(xué)設(shè)計中復(fù)數(shù)概念的引入

數(shù)學(xué)概念的教學(xué)大致分為概念的引入、概念的理解和概念的運(yùn)用三個階段．[3,4]概念的引入是概念教學(xué)中最為重要也最難突破的環(huán)節(jié)，它極大地影響著學(xué)生對概念的理解和運(yùn)用．有許多關(guān)于復(fù)數(shù)的教學(xué)建議和新穎的教學(xué)設(shè)計值得我們借鑒[5-7]．但在復(fù)數(shù)概念的引入環(huán)節(jié)筆者有些地方心存疑惑，在此提出與同行探討．

疑惑1：關(guān)于問題情境的設(shè)置．

有些教學(xué)設(shè)計為了引入新數(shù)，在回顧自然數(shù)系擴(kuò)充至實數(shù)系的過程中強(qiáng)調(diào)兩條主線對數(shù)學(xué)發(fā)展的作用．由此從數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展的需要創(chuàng)設(shè)了“卡丹問題”(即已知兩數(shù)的和為10及這兩數(shù)的積為40，求這兩個數(shù))或其變式的問題情境．

首先，在引入問題時既考慮兩條主線的交替發(fā)展，又強(qiáng)調(diào)數(shù)系擴(kuò)充的原則，這是否會削弱了情境的作用而影響學(xué)生對問題的把握？另外，從回顧數(shù)系的擴(kuò)充看由“卡丹問題”引入虛數(shù)似乎在情理之中．但數(shù)系的前幾次擴(kuò)充都有一個共同點，即為解決實際問題的迫切需要而引入新數(shù)．從實數(shù)系向復(fù)數(shù)系擴(kuò)充則找不到生活中的模型，這也恰是在引入復(fù)數(shù)的教學(xué)中學(xué)生難于接受和理解的地方．對學(xué)生而言，像方程x2+1=0是沒有任何實際意義而不需加于考慮的．那為什么非要引入新數(shù)讓它有解呢？

筆者以為，用“卡丹問題”來引入新概念，既不能有力回答“為什么要學(xué)”，又不符合數(shù)學(xué)歷史的發(fā)展事實．在現(xiàn)實中容易找到兩個數(shù)之和或之積為一定值，卻未必能找到兩個數(shù)同時滿足這兩個條件．歷史上，復(fù)數(shù)的出現(xiàn)也不是為了解決一元二次方程而產(chǎn)生的．從古希臘的丟番圖一直到16世紀(jì)前半葉，數(shù)學(xué)家們對類似方程x2+1=0的問題也都置之不理．

疑惑2:關(guān)于虛數(shù)的規(guī)定．

教科書引入新數(shù)i，并規(guī)定i2=-1．許多教師不加解釋地將規(guī)定拋給學(xué)生．為什么要規(guī)定i2=-1，而不是i2=-2或其它？這看似細(xì)小的問題，卻影響學(xué)生對虛數(shù)的理解和把握，需要在教學(xué)過程中給予清楚的說明．

3 復(fù)數(shù)的產(chǎn)生和發(fā)展歷史

到底是什么使得數(shù)學(xué)家不得不引入虛數(shù)？回顧復(fù)數(shù)產(chǎn)生和發(fā)展的歷史可以幫助我們更好地理解復(fù)數(shù)，體會數(shù)學(xué)家們在解決相關(guān)內(nèi)容時所面臨的困難．這也正是學(xué)生在相同問題的學(xué)習(xí)中將要碰到的困惑，即學(xué)生對某些數(shù)學(xué)概念的認(rèn)知與概念的歷史發(fā)展之間具有相似性[8]．事實上，復(fù)數(shù)的引入并非源于實際的問題背景，純粹是解決數(shù)學(xué)內(nèi)部問題的需要．

公元628年左右印度數(shù)學(xué)家婆羅摩笈多就給出負(fù)數(shù)的運(yùn)算法則并指出負(fù)數(shù)沒有平方根．之后的數(shù)學(xué)家在實際計算中出現(xiàn)負(fù)數(shù)的開平方時也是直接將其摒棄的．大約在1535年，意大利的數(shù)學(xué)家塔爾塔利亞宣布發(fā)現(xiàn)了三次方程的代數(shù)解法，并在多次的解三次方程比賽中獲勝．意大利的另外一位數(shù)學(xué)家兼醫(yī)生卡丹從塔爾塔利亞那里獲得解三次方程的訣竅并發(fā)誓保守秘密．1545年，卡丹在他的《重要的藝術(shù)》里發(fā)表了形如x3+px+q=0的三次方程解法和其中一個根的表達(dá)式，即

正是因為在解三次方程中出現(xiàn)了上述矛盾才使得數(shù)學(xué)家不得不去考慮實數(shù)與復(fù)數(shù)的聯(lián)系，去研究復(fù)數(shù)的性質(zhì)．但當(dāng)時的許多大數(shù)學(xué)家(包括笛卡爾和牛頓)也對復(fù)數(shù)難于理解．如笛卡爾在他的《幾何》中明確摒棄復(fù)根，認(rèn)為這些根不是實的而是虛的，并把負(fù)數(shù)的開平方稱作“虛數(shù)”[9]．對卡丹的三次方程解法的第一個完整的討論是1732年由歐拉作出的，并給出了x3+px+q=0另外兩個根的求根公式．

但即使是大數(shù)學(xué)家歐拉，在他得到著名的公式eix=cosx+isinx后，對于復(fù)數(shù)的理解也是不清晰的．1768年，歐拉在所著的《對代數(shù)的完整的介紹》中，認(rèn)為：“……它們就其本性說來是不可能的數(shù)，因而通常叫作虛數(shù)或是幻想中的數(shù)，因為它們只存在于想象之中．”但他同時又認(rèn)為它們是有用的．

1837年，哈密頓將復(fù)數(shù)的邏輯建立在實數(shù)的基礎(chǔ)上，使得復(fù)數(shù)的討論依賴于實數(shù)．指出a+bi只不過是實數(shù)的有序偶(a,b)，并以此定義了復(fù)數(shù)純形式的算術(shù)運(yùn)算，也就是現(xiàn)在教科書中所介紹的復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算．

復(fù)數(shù)能用來表示平面上的向量，這就提供了表示向量及其運(yùn)算的一個代數(shù)，能夠通過復(fù)數(shù)代數(shù)地研究向量．而向量可以代表物理中的力、速度或加速度，因此復(fù)數(shù)的乘法可以解釋為平面上物體運(yùn)動的旋轉(zhuǎn)和伸縮，這使得復(fù)數(shù)作為一個有用的工具立刻得到物理學(xué)家的認(rèn)可．沿著這個方向哈密頓創(chuàng)造了四元數(shù)，間接推動了向量代數(shù)和向量分析的創(chuàng)立．復(fù)數(shù)及復(fù)函數(shù)方面的研究工作創(chuàng)造出單復(fù)變函數(shù)理論，這個數(shù)學(xué)分支統(tǒng)治了19世紀(jì)的數(shù)學(xué)．

復(fù)數(shù)的歷史也表明，雖然復(fù)數(shù)的產(chǎn)生是為解決數(shù)學(xué)內(nèi)部問題的需要，但它能得以繁榮發(fā)展卻是因為后來人們發(fā)現(xiàn)它與物理學(xué)科有緊密聯(lián)系，進(jìn)一步地又推動了相關(guān)學(xué)科的發(fā)展．

4 復(fù)數(shù)概念的教學(xué)思考

教科書是知識的載體，而數(shù)學(xué)的思想與方法則蘊(yùn)含在具體的知識中．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)的目的之一是通過對具體教學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí)使學(xué)生獲得相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法．教科書基于編寫的要求和簡潔性的需要，不可能把知識的歷史發(fā)展過程、蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和如何組織教學(xué)都體現(xiàn)出來，否則就與大百科全書無異．因此，需要教師基于教科書、結(jié)合學(xué)生的實際對教學(xué)內(nèi)容再組織和加工．

根據(jù)復(fù)數(shù)發(fā)展的歷史，筆者嘗試按以下線索展開教學(xué)(2個課時)：情境引入，集中凸顯所學(xué)知識的重要性，解決學(xué)生學(xué)習(xí)的心理障礙→從概念的內(nèi)涵和外延出發(fā)理解復(fù)數(shù)概念并對其精致化，擴(kuò)充數(shù)系的結(jié)構(gòu)→從復(fù)數(shù)概念的直觀幾何意義出發(fā)深化對概念的理解，體會數(shù)形結(jié)合的思想→回顧整個數(shù)系的擴(kuò)充過程，明確擴(kuò)充的目的和原則，理解數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生和形成與現(xiàn)實需要的關(guān)系．

4.1 忠于歷史設(shè)置數(shù)學(xué)問題情境，體會引入新知的需要

(1)回顧舊知，鋪墊新知

意圖：為下一步討論一元三次方程作鋪墊，突出負(fù)數(shù)的平方根形式，形成對比．

(2)引入問題，凸顯矛盾

意圖：讓學(xué)生親身體驗到一個實數(shù)可以表示成帶有負(fù)數(shù)的開平方的形式組合，以致人們不得不去考慮：負(fù)數(shù)的平方根具有怎樣的性質(zhì)？實數(shù)和這些曾經(jīng)認(rèn)為沒有意義的根式到底存在怎樣的聯(lián)系？由此解除學(xué)生為什么要學(xué)習(xí)新知識的心理障礙，理解必須引入新數(shù)使得負(fù)數(shù)能進(jìn)行開方運(yùn)算以探討它們的性質(zhì)．

(3)引入新數(shù)，明確規(guī)定

4.2 理解復(fù)數(shù)的代數(shù)形式a+bi并對其精致化

(1)從具體例子出發(fā)，理解概念的內(nèi)涵

我們把形如z=a+bi(a,b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，全體復(fù)數(shù)所成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫做復(fù)數(shù)集，a和b分別稱為z的實部和虛部．

(2)從數(shù)學(xué)概念的二重性理解復(fù)數(shù)的代數(shù)形式a+bi

(3)對概念精致化，體現(xiàn)分類的思想

(4)概念的應(yīng)用和鞏固

給出兩道簡單的例題，從具體的復(fù)數(shù)形式對其進(jìn)行分類和利用分類的條件確定具體的復(fù)數(shù)形式兩個方面去理解鞏固概念．

例2. 實數(shù)m取什么值時，復(fù)數(shù)z=m+1+(m-1)i是實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)？

(5) 由有序?qū)崝?shù)對引出復(fù)數(shù)相等的充要條件

從復(fù)數(shù)的代數(shù)形式可以看出每個復(fù)數(shù)z=a+bi對應(yīng)于一個有序?qū)崝?shù)對(a,b)，反過來每一個有序?qū)崝?shù)對(a,b)決定一個復(fù)數(shù)z=a+bi，即復(fù)數(shù)集與平面直角坐標(biāo)系中的點集一一對應(yīng)．因而在復(fù)數(shù)集中任取兩個復(fù)數(shù)a+bi,c+di(a,b,c,d∈R)，我們自然地規(guī)定a+bi=c+di的充要條件是a=c,b=d．并讓學(xué)生應(yīng)用這個結(jié)論解答如下例題．

例3.已知(2x-1)+i=y-(3-y)i，其中x,y∈R，求x,y的值．

4.3 動靜結(jié)合揭示復(fù)數(shù)的幾何意義，深化對復(fù)數(shù)概念的直觀理解

(1)從靜態(tài)角度看復(fù)數(shù)的幾何意義，幫助理解復(fù)數(shù)的性質(zhì)

圖2

圖3

(2)從動態(tài)的觀點看復(fù)數(shù)的幾何意義，褪去i的神秘面紗

如圖4，在數(shù)軸上， |OA|=1, |OB|=2， 1×(-1)=-1，2×(-1)=-2．用-1去乘1或2所得的結(jié)果就相當(dāng)于將它們所對應(yīng)的線段OA,OB繞著點O逆時針旋轉(zhuǎn)1800而成，所以可把-1的作用看成是按逆時針方向轉(zhuǎn)過1800的旋轉(zhuǎn)．

圖4

直觀上看，被i作用一次的實數(shù)跑到實數(shù)軸外面去了，也就構(gòu)成了一類新的虛數(shù)，數(shù)也就從一維的實數(shù)軸擴(kuò)充到二維的復(fù)平面．

4.4 回顧數(shù)系的擴(kuò)充過程，明確擴(kuò)充的目的和原則

將數(shù)系擴(kuò)充至復(fù)數(shù)后再回顧中小學(xué)階段整個數(shù)系的擴(kuò)充過程，有利于學(xué)生對數(shù)系發(fā)展的整體把握．在回顧的過程中，引導(dǎo)學(xué)生一起思考：每次擴(kuò)充引入了什么數(shù)？解決了什么實際的和數(shù)學(xué)的問題？它們有什么共同的特點？也就是要明確擴(kuò)充的目的和原則，體會到數(shù)學(xué)發(fā)展與數(shù)學(xué)內(nèi)部需要特別是現(xiàn)實需要的重要聯(lián)系．可通過如下表格比較擴(kuò)充前后的運(yùn)算情況和包含關(guān)系．

數(shù)系運(yùn)算 自然數(shù)引入負(fù)整數(shù)→整數(shù)引入分?jǐn)?shù)→有理數(shù)引入無理數(shù)→實數(shù)引入虛數(shù)→復(fù)數(shù)加法√√√√√乘法√√√√√乘方√√√√√減法×√√√√除法××√√√開奇數(shù)次方×××√√開偶數(shù)次方××××√自然數(shù)集N?整數(shù)集Z?有理數(shù)集Q?實數(shù)集R?復(fù)數(shù)集C