李廣修

(江蘇無錫市第一中學(xué) 214031)

數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心．首先，數(shù)學(xué)概念反映了數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)特征及內(nèi)在聯(lián)系，是構(gòu)建數(shù)學(xué)公理、原理、定理、公式、法則的基石，是數(shù)學(xué)思想方法的載體．其次，數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)過程，是感受數(shù)學(xué)文化，培養(yǎng)抽象、概括、推理、建模等能力的過程，這個(gè)過程猶如卡拉托斯所指出的那樣，由模糊想法，到不斷調(diào)整、精致，再到形式化、符號化，直至到作為一個(gè)知識網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)．再次，掌握數(shù)學(xué)概念，也是成功解題所必須的．?dāng)?shù)學(xué)題量雖浩瀚如題海，但其表達(dá)一般都是用數(shù)學(xué)概念、符號，特別是一些核心概念，被頻繁使用，因此掌握數(shù)學(xué)概念對理解題意既是必要的，也是高效的．不僅如此，數(shù)學(xué)題中反映數(shù)學(xué)概念的詞語、符號，也會(huì)激活、啟發(fā)解題者的“概念原型”直覺，產(chǎn)生解題念頭．尤其是在解決難以從條件向目標(biāo)綜合的題目時(shí)，往往需要抓住目標(biāo)進(jìn)行分析，而分析的對象便是題目中所涉及的數(shù)學(xué)概念，或是與數(shù)學(xué)概念有密切聯(lián)系的數(shù)學(xué)方法．

本文以函數(shù)單調(diào)性概念為例，談?wù)剶?shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)對解題的影響．

1 概念對解題的程序引動(dòng)有策應(yīng)作用

由于大多數(shù)學(xué)定理、公式、運(yùn)算法則知識的建構(gòu)，是以定義數(shù)學(xué)概念為先導(dǎo)的，這些數(shù)學(xué)原理、定理、運(yùn)算法則必然表現(xiàn)出相關(guān)數(shù)學(xué)概念的意義．而解題的程序，又總是和數(shù)學(xué)原理、定理、運(yùn)算法則等相聯(lián)系，故而，一些解題程序也就必然和一些數(shù)學(xué)概念相策應(yīng)．如，函數(shù)單調(diào)性概念，自然的引動(dòng)證明函數(shù)單調(diào)性的幾個(gè)步驟．而數(shù)列(函數(shù))的極限這一經(jīng)典概念，更是明顯地與證明極限的程序相策應(yīng)．

案例1已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2，x∈R有兩個(gè)零點(diǎn)(a∈R)．

(Ⅰ)求a的取值范圍；

(Ⅱ)設(shè)x1，x2是f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：x1+x2<2．

(Ⅱ)是高考數(shù)學(xué)中的難題．如果能預(yù)判使用函數(shù)單調(diào)性證法，還是有可能找到解題途徑的．事實(shí)上，題目的結(jié)構(gòu)為系列型，第一問求a的取值范圍，用的是函數(shù)單調(diào)性．第二問的解答可能以第一問為鋪墊，于是產(chǎn)生也用單調(diào)函數(shù)法的預(yù)判．如何運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性呢？聯(lián)想單調(diào)性概念，要證明x1+x2<2，只要證明x1<2-x2(為了構(gòu)造單調(diào)性概念中自變量取的兩個(gè)值)，進(jìn)而運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性等價(jià)轉(zhuǎn)換為證明x1與2-x2的函數(shù)值的大?。匀坏兀枰袛鄕1和2-x2屬于f(x)的哪一個(gè)單調(diào)區(qū)間．由(I)知a>0，x1和x2在1的兩側(cè)，不妨設(shè)x1>1，x2<1，于是x1，2-x2都屬于函數(shù)f(x)的增區(qū)間[1，+∞)，故只要證明f(x1)

從案例1不難看出，函數(shù)單調(diào)性概念的定義中所表現(xiàn)出的數(shù)量化、符號化內(nèi)涵，與證明不等式的單調(diào)函數(shù)法的運(yùn)作程序相策應(yīng)．

有的學(xué)生在解答“已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n2-tn-1，若數(shù)列{an}是增數(shù)列，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是”時(shí)，會(huì)用二次函數(shù)的單調(diào)性，得出錯(cuò)誤答案“t≤2”．之所以出錯(cuò)，是混淆了區(qū)間上單調(diào)性、離散型單調(diào)性這兩個(gè)概念所致，而并不意味著一定是方法不會(huì)．

2 概念對解題的廣泛聯(lián)想有啟發(fā)作用

數(shù)學(xué)題的陳述，為了準(zhǔn)確、簡練，一般地是使用數(shù)學(xué)概念、符號、記號．這是具有數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)的信息傳輸方式．為了能夠順利地解答數(shù)學(xué)題，要能認(rèn)讀、感知、領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)題中的每個(gè)數(shù)學(xué)術(shù)語、圖表、符號的含義，對問題的表征“能用自己的語言來敘述出來”，能根據(jù)數(shù)學(xué)原理分析它們之間的邏輯關(guān)系，達(dá)到對數(shù)學(xué)題的本真理解，形成對所要解決的題目的整體認(rèn)知，特別要形成關(guān)注、分析題目中數(shù)學(xué)概念，推動(dòng)啟發(fā)解題聯(lián)想的產(chǎn)生的意識．由于學(xué)生解答的數(shù)學(xué)題目，較多的是常規(guī)題，而解答常規(guī)題，所用的方法主要是轉(zhuǎn)化、分解，所用的思維主要是分析、聯(lián)想，從而不斷地追問、分析題目中數(shù)學(xué)概念含義，對于啟發(fā)聯(lián)想出解題方法的多種念頭，顯得尤為重要．

案例2若函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間(0，+∞)上的單調(diào)函數(shù)，且對一切正實(shí)數(shù)x，都有f[f(x)-lgx+5]=6，則函數(shù)f(x)的解析式為．

對于這道數(shù)學(xué)題，如果能夠從題目所涉及的數(shù)學(xué)概念去作不斷的追問，便會(huì)激活解題的聯(lián)想：定義在區(qū)間 (0，+∞)上的單調(diào)函數(shù)f(x)這個(gè)條件含義是什么呢？由單調(diào)函數(shù)的概念的數(shù)量化特征或圖示直觀，知函數(shù)f(x)在(0，+∞)上單調(diào)增(減)，即自變量大的值對應(yīng)的函數(shù)值也大(小)．從而，由f[f(x)-lgx+5]=6可知，f(x)-lgx+5只能是常數(shù)．至此決策，從f(x)-lgx+5為常數(shù)入手．

解由題意，可設(shè)f(x)-lgx+5=A①，其中A是與自變量x無關(guān)的常數(shù)，且A>0，一方面，在f(x)-lgx+5=A中，令x=A，得f(A)-lgA+5=A②；再一方面，將f(x)-lgx+5=A帶入f[f(x)-lgx+5]=6，得f(A)=6③．

將③帶入②，得A+lgA=11，設(shè)函數(shù)g(x)=x+lgx，則g(A)=g(10)，且g(x)在(0，+∞)上單調(diào)增，于是，A=10．再將A=10帶入①，得f(x)=lgx+5，驗(yàn)證f(x)=lgx+5符合題設(shè)．

3 概念對解題的抓住題眼有導(dǎo)發(fā)作用

概念意象和概念定義是概念的兩個(gè)側(cè)面．概念定義就是通過詞語、符號對概念內(nèi)涵作出界定、陳述，是外部表征的主要形式、交流的工具，具有形式化屬性；而概念意象則是指與概念直接相聯(lián)系的各種心理成分的總和，是內(nèi)部表征的主要形式、思維的重要組成部分，具有個(gè)體屬性、模糊屬性．如果學(xué)生在學(xué)習(xí)概念時(shí)，能從經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，且情感、思維也都能高度參與到概念發(fā)生、發(fā)展的學(xué)習(xí)活動(dòng)中，大腦存儲(chǔ)的信息就會(huì)增加與概念相聯(lián)系的對象的數(shù)目和強(qiáng)度，從而提高理解概念定義的水平，推進(jìn)記憶，迅速認(rèn)知題目本質(zhì)，快捷抓住題眼．在認(rèn)識、抓住題眼的過程中，起關(guān)鍵性作用的是概念原型．李善良教授指出，概念原型有實(shí)例原型、圖像原型、表達(dá)式原型、操作式原型、程序式原型、歸納式原型．

對于案例3的求解，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)不少高三學(xué)生是從計(jì)算f(p+1)、f(q+1)入手，結(jié)果無功而返．這其中，一部分學(xué)生是毫無目標(biāo)的運(yùn)算求解，或是嘗試發(fā)現(xiàn)．另一部分學(xué)生雖然關(guān)注了式子結(jié)構(gòu)，甚至已經(jīng)把p-q變形為(p+1)-(q+1)，就是不能剝?nèi)グb，洞悉其最為關(guān)鍵的條件——自變量在區(qū)間[2，3]上任取兩個(gè)值p+1，q+1，較大的自變量的值對應(yīng)的函數(shù)值也大，即函數(shù)f(x)在[2，3]上單調(diào)增．而這恰是函數(shù)單調(diào)性概念的操作式原型．

學(xué)生為什么會(huì)出現(xiàn)上述問題，陷入解題困境？最有可能的原因是，學(xué)生在當(dāng)初學(xué)習(xí)函數(shù)單調(diào)性概念時(shí)，并沒有浸染函數(shù)單調(diào)性的操作式原型．一些教師認(rèn)為，高一學(xué)生對單調(diào)性概念的認(rèn)識，能由圖像走勢的直觀描述，自然、容易的順應(yīng)到符號化、數(shù)量化的入微刻畫，于是在概念教學(xué)時(shí)開快車，在學(xué)生對概念的認(rèn)識還處于混沌狀態(tài)時(shí)，就讓學(xué)生去解題，表面上學(xué)生也能依葫蘆畫瓢，而實(shí)際上，學(xué)生未能超越依圖解釋、靠個(gè)別例子支持認(rèn)識的認(rèn)知層次，未能從直觀的具體的認(rèn)識上升到抽象認(rèn)識，概念印跡也較膚淺．這樣，就導(dǎo)致概念容易被遺忘，見到經(jīng)過包裝的單調(diào)性概念更難以用概念原型“識破廬山真面目”了．

4 任何概念都有可能成為解題的關(guān)鍵

解答數(shù)學(xué)綜合題，用到的數(shù)學(xué)概念比較多．如果對于綜合題所涉及的概念有一個(gè)沒弄明白，那么都有可能導(dǎo)致解題受挫；反過來，也有可能受綜合題中的某個(gè)概念的意義的觸類旁通，而引發(fā)出解題思路的靈感．于是，掌握了這個(gè)概念便成了這次解題成功的關(guān)鍵．然而，我們在解題前并不能預(yù)判哪些概念在這次解題中會(huì)起到關(guān)鍵作用，這就需要無功利心的學(xué)好每一個(gè)概念，進(jìn)而構(gòu)建良好的概念網(wǎng)絡(luò)．構(gòu)建良好的概念網(wǎng)絡(luò)，能促進(jìn)對概念實(shí)質(zhì)性理解，也有利于概念間相互激活和聯(lián)動(dòng)．就建構(gòu)函數(shù)單調(diào)性的良好概念網(wǎng)絡(luò)而言，縱的聯(lián)系，以函數(shù)的概念、區(qū)間的概念、代數(shù)式變形、實(shí)數(shù)運(yùn)算符號為邏輯前提，會(huì)用三種語言表征，會(huì)熟練地判斷函數(shù)的單調(diào)性、求單調(diào)區(qū)間．且在縱的聯(lián)系的節(jié)點(diǎn)上，需要適度生長．如，在圖形表征上，要溝通函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)圖像的割線的斜率、切線的斜率，甚至與函數(shù)的凹凸性的聯(lián)系．橫的聯(lián)系，函數(shù)單調(diào)性與函數(shù)的極值、最值、值域、零點(diǎn)個(gè)數(shù)、單射的聯(lián)系，與導(dǎo)數(shù)的聯(lián)系，與解不等式、證明不等式的聯(lián)系．其中與導(dǎo)數(shù)的聯(lián)系，突破了初等數(shù)學(xué)的限閾，有了質(zhì)的飛躍．概念所蘊(yùn)藏的表征自變量取任意兩個(gè)值的方法、數(shù)量化的思想也是概念網(wǎng)絡(luò)中的對象．

案例4設(shè)函數(shù)f(x)=ax3+(1+a)x2+(4-a2)x-b，x∈R，其中a、b是常數(shù)，且1是函數(shù)f(x)的零點(diǎn)．若存在正實(shí)數(shù)，使得當(dāng)x∈[1-，1+]時(shí)，總有f(x)≤0，求的最大值．

我們來看案例4中涉及的概念：明顯的有，函數(shù)，常數(shù)，函數(shù)零點(diǎn)，等．隱蔽的有，函數(shù)的最大值，這要由f(x)≤0=f(1)在區(qū)間[1-，1+]恒成立，得出函數(shù)f(x)在區(qū)間[1-，1+]上的最大值于x=1處取得．更為隱蔽的概念是，函數(shù)的極大值點(diǎn)：f(x)≤f(1)在區(qū)間[1-，1+]恒成立，得出在x=1的兩側(cè)附近，函數(shù)f(x)的值都不超過x=1處的函數(shù)值，x=1是極大值點(diǎn)．對于本例，極大值的概念恰在無形中成為突破解題成功的關(guān)鍵：由以上分析，得f(1)=0，將它和f(1)=0聯(lián)立，解出a=-1和a=6．檢驗(yàn)：當(dāng)a=6時(shí)，在x=1的左側(cè)附近，f(x)單調(diào)減，x=1的右側(cè)附近，f(x)單調(diào)增，故f(1)是最小值，不符．類似的，檢驗(yàn)a=-1符合，此時(shí)b=2．再由f(x)≤0，解得x≥-2．考慮到x∈[1-，1+]，f(x)≤0恒成立，得正數(shù)的最大值是3．

5 概念對形式化推理產(chǎn)生基礎(chǔ)性影響

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的思維基本單位，是形成判斷、推理的基礎(chǔ)．形式化的數(shù)學(xué)推理，更是將其涵義豐富卻又高度抽象的數(shù)學(xué)概念，壓縮成詞或符號，使之成為推理元素．也就是抽象概念表現(xiàn)為對象結(jié)構(gòu)，雖然不知道抽象概念的代表者是什么，但是理解了抽象概念的含義，知道了它是由其含義所確定的，便在推理的過程中以它為對象加以運(yùn)用，這從而提高了推理的嚴(yán)謹(jǐn)性和規(guī)范性，提升了抽象思維水準(zhǔn)．形式化推理問題，是中學(xué)培養(yǎng)推理能力的最高層次問題，也是學(xué)生最難以操控的問題．高考數(shù)學(xué)中一些壓軸的代數(shù)推理問題，大都是此類問題．為了學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)，必須讓學(xué)生去學(xué)習(xí)用已經(jīng)學(xué)會(huì)的抽象概念去構(gòu)造更高級的抽象概念，去操演周旋于抽象概念及其相互關(guān)系的圈子之中的形式化推理．

數(shù)學(xué)概念作為形式化推理的對象，需要將數(shù)學(xué)概念作為判定定理，同時(shí)作為性質(zhì)定理，還需要將概念派生出的一些性質(zhì)也作為定理加以運(yùn)用．對于在區(qū)間上單調(diào)增函數(shù)概念，作為判定定理：若函數(shù)f(x)對于一區(qū)間上的任意的x1，x2，當(dāng)x1>x2時(shí)都有f(x1)>f(x2)，則f(x)在該區(qū)間上單調(diào)增．作為性質(zhì)定理：若函數(shù)f(x)在一區(qū)間上單調(diào)增，則對于該區(qū)間上的任意x1，x2，當(dāng)x1>x2時(shí)都有f(x1)>f(x2)．而單調(diào)增函數(shù)概念派生的性質(zhì)：若函數(shù)f(x)在一區(qū)間上單調(diào)增，x1，x2是該區(qū)間上的任意兩個(gè)值，則“x1>x2”和“f(x1)>f(x2)”等價(jià)；單調(diào)函數(shù)最多有一個(gè)零點(diǎn)，這些也都可以作為定理直接的加以運(yùn)用．

案例5已知函數(shù)f(x)是R上的單調(diào)增函數(shù)，a，b是任意給定的兩個(gè)實(shí)數(shù)，證明：“a+b>0”的充要條件是“f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b)”．

分析由于本題結(jié)構(gòu)與上述函數(shù)單調(diào)增所派生的性質(zhì)極為相似，于是變形：a+b>0

?a>-b；f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b)

?f(a)-f(-a)>f(-b)-f(b)．

這恰好直接勾通了已知和結(jié)論之間的關(guān)系!

證明因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是R上的單調(diào)增函數(shù)，所以f(-x)是R上的單調(diào)減函數(shù)，從而函數(shù)f(x)-f(-x)是R上的單調(diào)增函數(shù)．

又因?yàn)椋瘮?shù)f(x)在R上單調(diào)增，則

x1>x2?f(x1)>f(x2)，所以，

a>-b?f(a)-f(-a)>f(-b)-f(b)

?f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b)．

綜上所述，概念的學(xué)習(xí)對解題的影響是廣泛而又深刻的．當(dāng)然，解題的作用也很重要，一方面“問題是數(shù)學(xué)的心臟”，解題活動(dòng)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的必要途徑，有利于培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力．另一方面，解題對概念的學(xué)習(xí)也有反作用，能夠促進(jìn)對概念的理解、鞏固、整合和應(yīng)用，獲得對于不同概念的內(nèi)在聯(lián)系，以及一個(gè)概念應(yīng)用于不同領(lǐng)域的認(rèn)識．但由于在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)概念是容易被教師忽視而匆匆劃過的內(nèi)容，學(xué)生也往往對概念的學(xué)習(xí)重視不夠，只是一味的主要通過練習(xí)來代替對概念本身的理解，導(dǎo)致概念學(xué)習(xí)事倍功半．因此，我們吁請：對于數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，教師要精心設(shè)計(jì)概念生成、同化的過程，要重視激發(fā)學(xué)生主動(dòng)參與、合作探究的興趣與動(dòng)力；要聯(lián)系學(xué)生已有的知識經(jīng)驗(yàn)，設(shè)置認(rèn)知沖突，暴露思維過程；要賦予學(xué)生充足的時(shí)間去揣摩、體悟、交流，而非僅僅灌輸一些僵化的符號、術(shù)語，使之感受到研究概念是有目的、有情趣的，也是自然的學(xué)習(xí)活動(dòng)；要突出概念所研究的對象的直觀性、內(nèi)涵和外延，并揭示概念相關(guān)思想方法與研究方法；要以多種方式表征概念，例舉概念的代表性正例和反例，對概念進(jìn)行辨析、分類，構(gòu)建概念聯(lián)系；要廣泛地應(yīng)用概念，由淺入深，由單一到綜合，由直接到間接；要及時(shí)地通過多種方式對學(xué)生的概念學(xué)習(xí)做出評價(jià)反饋，不斷促進(jìn)學(xué)生對概念理解的優(yōu)化．