虞哲駿

(浙江省鎮(zhèn)海中學,315200)

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○解題研究○

對一道高考調(diào)研題的教學思考

虞哲駿

(浙江省鎮(zhèn)海中學,315200)

波利亞認為“掌握數(shù)學就意味著要善于解題”.可見,解題教學是數(shù)學教育中十分重要的一環(huán).那么，如何將數(shù)學的解題教學很好地融入到平時的課堂教學過程中呢?筆者在高三數(shù)學復習過程中,借助一道高考調(diào)研題,進行這方面的實踐與探索.

題目在?ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c.已知acos B=bcos A,邊BC上的中線長為4.

(2) 求?ABC面積的最大值.

此題以三角函數(shù)為背景,通過三角恒等變換,考查學生有關(guān)正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式和最值問題的求法.尤其是對于第(2)小問,綜合性較強,求解方法也多種多樣.同時由于不同方法的選擇,也會呈現(xiàn)出不一樣的解題過程,解法多彩多姿.由此可見,如果在開始處理題目條件時選擇不當,將大大增加求解難度,而即便求解成功,也勢必會耗費大量的時間.所以,在平時的教學過程中,我們要正確引導和悉心培育,逐步培養(yǎng)學生的思維評判能力.

下面,筆者結(jié)合上面這道題和高三復習過程中的一些體會談談對這方面的一些認識.

一、 一題多解

對于上面這道題的第(2)問，我們有如下幾種解法.

解法1由條件，可知A=B,

c=2acos A,

所以?ABC的面積

解法3根據(jù)已知條件列式，得

評析解法4中,平面向量的使用,使得三角形的邊角關(guān)系得到一定的簡化,利用三點共線和等比分點及向量數(shù)量積的幾何意義相關(guān)知識,讓枯燥的解三角形問題變得豐富多彩.

解法5如圖1，以AD的中點為原點,AD所在軸為x軸建立直角坐標系,則A(-2,0),D(2,0).設C(x,y),因為CA=2CD,則

(x+2)2+y2=4(x-2)2+4y2,

評析解法5實質(zhì)上用到了解析幾何中的阿波羅尼斯圓:平面中的一個動點到兩個定點的距離比值是一個不等于1的常數(shù),則該動點的軌跡是一個圓.

解決一個問題的方法有很多,在平時的數(shù)學教學中,基本要求是讓學生掌握其中的一種典型解法,更高的要求是掌握一題多解,而最高的要求是讓學生不僅能用多種方法解題,還會區(qū)分、評價各種解法的優(yōu)劣.平時解題若能有意識地明確各種解題方法之間的聯(lián)系,并在不斷優(yōu)化中逐步提高數(shù)學能力和數(shù)學素養(yǎng),就可以消除學生學習數(shù)學的恐懼心理.當?shù)竭_這個層面后,學生就能夠?qū)@類問題稍加變形,加以應用.

二、一題多變

在原題的基礎上,我們可以通過改變部分條件,或者原條件和原結(jié)論互換,將問題進行變化,從而加深對這個問題的認識與理解.在平時的教學過程中,有意識地加強變式訓練,可以快速有效地提高學生的應用能力,實現(xiàn)舉一反三的目的.

完成此題的解答與變式拓展后,學生是否已達到相應的數(shù)學辨別能力,必須建立在轉(zhuǎn)化與化歸思想的基礎上,在實踐中檢驗.

前蘇聯(lián)數(shù)學教育家奧加涅相曾說:“必須重視很多習題潛在著進一步擴展其數(shù)學功能、發(fā)展功能和教育功能的可行性.”解題是數(shù)學教學中的一個重要組成部分,也是提高學習效果不可或缺的重要環(huán)節(jié)，而一題多解是對整個解題過程活動的深層次思考,也是再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造的過程.對于高三復習階段的學生來說,更應該培養(yǎng)一題多解、一題多變的能力,將所學知識靈活應用,從而將數(shù)學學好、學活、學精!

三、探根溯源

關(guān)于解三角形的中線問題,在人教A版必修5的第20頁中已有涉及:?ABC的三邊分別為a、b、c,邊BC、CA、AB上的中線分別記為ma、mb、mc,應用余弦定理可以證明:

作為一名高中數(shù)學教師,對課本例題和習題要注意有針對性地進行探索和發(fā)現(xiàn),并作相應的拓展.做到低起點、高要求,讓學生跳出題海,深切地體會到書本就是一個巨大的寶庫,從而使學生能學會知識的遷徙和創(chuàng)新,能夠透過現(xiàn)象看本質(zhì).

四、題后反思

蘇霍姆林斯基曾說:“必須使學生意識里有一點思維的引火線.”數(shù)學是思維的體操,在數(shù)學教學中,學生學習數(shù)學的過程就是不斷思維的過程.在課堂上,數(shù)學教師只有充分地呈現(xiàn)、暴露學生的思維過程,才能了解學生的思維軌跡,才能不斷調(diào)整教學進度與策略,呈現(xiàn)更精彩、更有效的課堂教學.