劉 剛 趙 毅

(北京市第十二中學(xué)高中部，100071)

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○數(shù)學(xué)探究○

一道高考拋物線試題的探究與溯源

劉 剛 趙 毅

(北京市第十二中學(xué)高中部，100071)

一、題目

在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l:y=t(t≠0)交y軸于點M,交拋物線C:y2=2px(p>0)于點P,M關(guān)于點P的對稱點為N,連結(jié)ON并延長交C于點H.

(2)除點H以外,直線MH與C是否有其它公共點?說明理由.

這是2016年的全國高考題.試題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、中點坐標(biāo)公式、直線與拋物線的位置關(guān)系及定值問題；考查了方程、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想以及坐標(biāo)法的應(yīng)用,檢驗了運(yùn)算求解、分析問題與解決問題的能力.試題內(nèi)涵豐富,是一道好題.

二、解法探究

分析第(1)問可根據(jù)已知條件寫出點M的坐標(biāo),然后借助拋物線方程表示出點P的坐標(biāo).根據(jù)N為M關(guān)于點P的對稱點求出點N的坐標(biāo),然后聯(lián)立直線ON與拋物線的方程求出點N的坐標(biāo),分析點O、H、N坐標(biāo)之間的關(guān)系求得答案.

第(2)問求出直線MH的方程,然后與拋物線的方程聯(lián)立,由方程組解的個數(shù)進(jìn)行判斷.

px2-2t2x=0,解得

(2)直線MH與C除H以外沒有其它公共點.理由如下:

代入y2=2px，得

y2-4ty+4t2=0,

解得y1=y2=2t,

即直線MH與C只有一個公共點,所以除H以外直線MH與C沒有其它公共點.由此可知，直線MH是拋物線C的一條切線.

三、試題溯源

在《圓錐曲線的幾何性質(zhì)》一書第1章拋物線中,有命題14:如圖1,如果作拋物線的一對切線OQ,OQ′,并且作平行于軸的直線OV,交QQ′于V,那么QQ′被點V平分.

很明顯,這道高考題就是在這個命題的基礎(chǔ)上進(jìn)行命制的,把這個命題重新梳理、拓展,可得以下結(jié)論.

結(jié)論如圖2,過點P作拋物線C:x2=2py(p>0)的切線PA,PB,切點分別為A,B,過點P作x軸的垂線交AB于點M,交拋物線C于點N,過點N作拋物線C的切線l,則

(1)點M為線段AB的中點;

(2)點N為線段PM的中點;

(3)AB∥l.

因為點P在切線PA上,所以

①

②

① -②，得

所以M為線段AB的中點.

四、高考試題鏈接

以上述命題14及所得結(jié)論為背景的高考試題屢見不鮮,下面再舉幾例,請讀者自行完成.

例2(2008年山東高考題) 如圖3,設(shè)拋物線方程為C:x2=2py(p>0),M為直線y=-2p上任意一點,過點M引拋物線的切線,切點分別為A,B.

(1)求證:A,M,B三點的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列;

(2),(3)略.

例3(2008年陜西高考題) 如圖4,已知拋物線C:y=2x2,直線y=kx+2交C于A,B兩點,M是線段AB的中點,過點M作x軸的垂線交C于點N.

(1)證明:拋物線C在點N處的切線與AB平行;(2)略.

例4(2007年江蘇高考題)如圖5,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,過y軸正方向上一點C(0,c)任作一直線,與拋物線y=x2相交于A,B兩點.一條垂直于x軸的直線,分別與線段AB和直線l:y=-c交于點P,Q.

(2)若P為線段AB的中點,求證:QA為此拋物線的切線;

(3)試問(2)的逆命題是否成立?說明理由.

從2016年這道高考題的探究及背景溯源來看,在平時的教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生加強(qiáng)知識儲備,建立知識間的聯(lián)系,明確處理解析幾何試題的思想與方法.提倡一題多解、一題多變、多題一解,從不同的角度理解與認(rèn)識,尤其作為高考題.在圓錐曲線中,有很多有趣的結(jié)論與性質(zhì),教師可以帶領(lǐng)感興趣的學(xué)生進(jìn)一步研究,這樣，在解決圓錐曲線試題時就會得心應(yīng)手,游刃有余.

所以DE2=a2+b2