孔 磊

(山東省泗水縣實驗中學,273200)

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圓錐曲線的兩個重要結論及其應用

孔 磊

(山東省泗水縣實驗中學,273200)

圓錐曲線是高中數(shù)學的重要內容,也是高考的熱點之一．在求解圓錐曲線的問題時,常規(guī)解法往往伴隨較大的計算量,同學們大都感覺比較困難,成功率不高．但如果能在一些特定的情景中運用重要結論,則可以迅速認清問題本質,確定解題方向,便捷而準確地得到答案．

問題1設直線l與圓O相交于A,B兩點,AB的中點為M,則OM⊥l．

這是初中時我們學習過的重要定理——垂徑定理．如果將上述情境中的圓變?yōu)闄E圓,結論是否依然成立?

特別地,當b=a時,橢圓變?yōu)閳A,kOM·kAB=-1,即OM⊥AB(垂徑定理)．

下面我們運用點差法給出結論1的證明．

設A(x1,y1),B(x2,y2),則

應用上述結論處理有關“中點弦”的問題會非常便捷．

解析本題的常規(guī)解法需要將直線方程與橢圓方程聯(lián)立,再用根與系數(shù)的關系進行求解,或用點差法．而利用結論1,直接有

又a2=b2+c2,

(1)求橢圓E的離心率;

(2)由(1)知,橢圓E的方程為

x2+4y2=4b2.

利用結論1，有

與橢圓E的方程x2+4y2=4b2聯(lián)立,得

x2+4x+8-2b2=0，

∴ x1+x2=-4,x1x2=8-2b2.

由弦長公式，有

解得b2=3,故所求橢圓方程為

評注本題中橢圓與圓相交,注意到圓的直徑是弦,而圓心是弦的中點,直接利用結論1,求出直線AB的斜率,從而大大簡化了運算過程,提高了解題速度與準確率．

證明由橢圓定義,有

|PF1|+|PF2|=2a.

在?F1PF2中,由余弦定理,得

|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos θ =(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|(1+cos θ), 即4c2=4a2-2|PF1||PF2|(1+cos θ)，

(1)?F1PF2的面積;

(2)點P的坐標.

解析(1)由結論2，直接得

(2)利用等面積法,有

解析設橢圓方程為

雙曲線方程為

故答案選A.

評注本題利用結論2,直接得出b1與b2關系,再轉化為a1,a2及c,再由三角換元得出答案．

通過以上幾個例題，同學們可以看到,在求解圓錐曲線問題時,如果能在一些特定的情境中運用重要結論,則可以快速準確地得到答案．這就要求同學們在日常學習中,不僅要掌握解決問題的通用通法,也要重視這類重要結論的積累和運用,以不斷提高我們解題的速度和準確率．