☉浙江省寧波市鄞州區(qū)姜山鎮(zhèn)中心初級中學(xué) 王 沖

“問題”喚醒“沉睡”的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課堂
——對問題驅(qū)動下的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的感悟

☉浙江省寧波市鄞州區(qū)姜山鎮(zhèn)中心初級中學(xué) 王 沖

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中提出課堂教學(xué)應(yīng)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動學(xué)生積極性，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，鼓勵(lì)學(xué)生的創(chuàng)造性思維.學(xué)生學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是一個(gè)生動活潑的、主動的和富有個(gè)性的過程.認(rèn)真聽講、積極思考、動手實(shí)踐、自主探索、合作交流等，都是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式.因此，讓學(xué)生主動、輕松、愉快地學(xué)習(xí)，已經(jīng)成為當(dāng)下課堂教學(xué)改革的主題.

在日常的教學(xué)過程中，筆者曾發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)現(xiàn)象：在上新授課的時(shí)候，學(xué)生面對新知識的探索欲望強(qiáng)烈，能積極主動地參與到課堂活動中來；但是，上復(fù)習(xí)課的時(shí)候，學(xué)生面對舊知識的探索欲望顯得有些低落，不能積極主動地參與到復(fù)習(xí)課堂活動中來，復(fù)習(xí)效率低下.同時(shí)，學(xué)生覺得數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課很枯燥、乏味.所以，筆者覺得有必要落實(shí)學(xué)生在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中的主體地位，激發(fā)學(xué)生在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課上的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中主動、輕松、愉快地學(xué)習(xí).

著名數(shù)學(xué)教育家波利亞曾說過：“問題是數(shù)學(xué)的心臟.”而數(shù)學(xué)課堂正是在提出問題和解決問題的循環(huán)反復(fù)過程中培養(yǎng)、發(fā)展和提高學(xué)生的思維品質(zhì)與學(xué)習(xí)能力的.同時(shí)，學(xué)生探究知識的欲望一般都是從問題開始的.所以問題應(yīng)該是數(shù)學(xué)課堂的中心.因此，筆者認(rèn)為，我們可以根據(jù)教學(xué)任務(wù)和學(xué)生學(xué)習(xí)的需要，將復(fù)習(xí)內(nèi)容問題化，讓學(xué)生自主、合作、探究學(xué)習(xí)，落實(shí)學(xué)生在復(fù)習(xí)課堂中的主體地位，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.同時(shí)，以“問題解決”獲得知識與技能，提高學(xué)習(xí)能力和思維能力，促進(jìn)情感、態(tài)度與價(jià)值觀發(fā)展.

筆者結(jié)合自己曾經(jīng)面向初二學(xué)生執(zhí)教過的“直角三角形中求線段長度的方法”的教學(xué)片斷，談?wù)勛约簩栴}驅(qū)動下的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的感悟.

一、問題驅(qū)動，生成相關(guān)方法

問題1：如圖1，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB= 10，CD是斜邊AB上的中線，則CD=______.

生1：CD=5.

師：你是怎樣求得的？你的依據(jù)是什么？

生1：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

（板書：①利用性質(zhì)定理）

圖1

圖2

問題2：如圖2，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB= 10，∠B=30°，CD是斜邊AB上的中線，你能求哪些線段的長度？

師：如果我再添一個(gè)條件，∠B=30°，你能求圖2中哪些線段的長度？

生2：利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可以求得CD=5.

師：請你談?wù)勄蠼獾倪^程并敘述其依據(jù).

生3：因?yàn)椤螦CB=90°，∠B=30°，所以根據(jù)30°所對的直角邊等于斜邊的一半，可以求得AC=AB=5.

（板書：②利用特殊角）

生3：因?yàn)椤螦CB=90°，AC=5，AB=10，所以根據(jù)勾股定理可以求得.

（板書：③利用勾股定理）

生3：因?yàn)镃D是斜邊AB上的中線，所以根據(jù)三角形中線的意義可以求得AD=BD=AB.另外，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可以得到CD=5.

師：就是剛才生1總結(jié)的利用性質(zhì)定理求直角三角形中的線段.

師：良好的開始是成功的一半，同學(xué)們已經(jīng)總結(jié)了三種在直角三角形中求線段長度的方法，請大家思考一下，這三種方法在下題中是否適用？

問題3：如圖3，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB= 10，AC=6，CD是斜邊AB上的高線，則BC=______，CD= ______.

生4：可以根據(jù)勾股定理求得BC的長等于8.

師：那么CD呢？

生4：可以利用面積法.

師：有點(diǎn)兒意思了，可以更具體些.

圖3

生4：因?yàn)椤螦CB=90°，AC=6，BC=8，所以S△ABC=AC· BC=24.又CD是Rt△ABC的斜邊AB上的高線，所以S△ABC=AB·CD=5CD=24，因此CD=.

（板書：④利用面積法）

生5：我認(rèn)為可以利用勾股定理求CD的長，因?yàn)镃D是Rt△ACD與Rt△BCD的公共邊，那么CD的計(jì)算方法有兩種.第一種：CD2=AC2-AD2，第二種：CD2=BC2-BD2.如果設(shè)AD=x，則BD=10-x，所以可以得到方程36-x2=64-（10-x）2，解得x=，然后代入CD2=AC2-AD2，可以求得CD=

師：感謝你的發(fā)言，給同學(xué)們開啟了另一扇思維的天窗.

師：當(dāng)兩個(gè)直角三角形有一條公共直角邊的時(shí)候，我們可以利用勾股定理，構(gòu)建方程模型求直角三角形中線段的長度.

感悟：回顧自己剛參加工作的時(shí)候，上復(fù)習(xí)課習(xí)慣于先梳理、歸納知識點(diǎn)，然后講解一兩道典型例題，接著讓學(xué)生進(jìn)行課堂練習(xí)，檢測學(xué)生的掌握情況.現(xiàn)在想想，這種形式的復(fù)習(xí)課，學(xué)生被動地接受復(fù)習(xí)內(nèi)容，沒有經(jīng)歷思考、探索等體驗(yàn)活動，導(dǎo)致學(xué)生不能積極主動地參與到課堂活動中來，復(fù)習(xí)效率低下.同時(shí)，學(xué)生也覺得數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課很枯燥、乏味.所以，在本次“直角三角形中求線段長度的方法”的專題復(fù)習(xí)課中，筆者摒棄了傳統(tǒng)復(fù)習(xí)課的基本思路.

課堂伊始，筆者就拋出了一道已知直角三角形斜邊長，求斜邊上中線長的題目.筆者再提出“遞進(jìn)式問題”———你是怎樣求得的？你的依據(jù)是什么？引導(dǎo)學(xué)生主動歸納出直角三角形中求線段長度的方法之一：利用性質(zhì)定理.問題2是問題1的延伸，在問題1的基礎(chǔ)上添加了一個(gè)特殊角的條件.此時(shí)，筆者提出一個(gè)“開放性的問題”———你能求哪些線段的長度？不再局限于學(xué)生求某條線段的長度，旨在讓學(xué)生從多角度去探究直角三角形中求線段長度的方法.問題3是問題2的拓展，在解決問題2的過程中，學(xué)生已經(jīng)主動探究出了直角三角形中求線段長度的的另外兩種方法：利用特殊角；利用勾股定理.所以，學(xué)生很輕松地求得了BC的長.這時(shí)，筆者就提出了一個(gè)“引導(dǎo)性問題”———那么CD呢？引導(dǎo)學(xué)生積極主動地去探究求CD的方法.這樣就出現(xiàn)了直角三角形中求線段長度的第四種方法：利用面積法.同時(shí)，生5利用勾股定理，構(gòu)建方程模型求直角三角形中線段的長度的方法，讓學(xué)生在親身經(jīng)歷解決問題的過程中，不僅領(lǐng)略了數(shù)形結(jié)合思想和方程思想的魅力，而且很好地處理了知識與方法應(yīng)用之間的關(guān)系，提高了復(fù)習(xí)課的效率.

通過三個(gè)“循序漸進(jìn)式的問題”，讓學(xué)生去求解直角三角形中的線段長度，并敘述求解過程及依據(jù)，使學(xué)生輕松、自主地復(fù)習(xí)了與求直角三角形中線段長度有關(guān)的知識與方法，通過讓學(xué)生自主、探究學(xué)習(xí)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.同時(shí)，學(xué)生通過親身經(jīng)歷求直角三角形中線段長度的過程，主動構(gòu)建了直角三角形中求線段長度的方法的知識網(wǎng)絡(luò).

二、更換背景，促進(jìn)知識遷移

師：我們從邊、角入手梳理了直角三角中求線段長度的方法，同時(shí)對解決直角三角中求線段長度的方法也有了進(jìn)一步的體驗(yàn).下面讓我們繼續(xù)探究.

問題4：如圖4，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，AB=10，且AD是△ABC的內(nèi)角∠CAB的平分線，求BD的長.

圖4

圖5

師：大家好像遇到了困難，剛才我們歸納了在直角三角形中求線段長度的四種方法，而現(xiàn)在BD不在直角三角形中，我們該怎么辦？

生齊答：可以構(gòu)造直角三角形.

師：如何構(gòu)造？

生齊答：過D作DE⊥AB于E.

師：當(dāng)所求的線段不在直角三角形中時(shí)，我們可以通過作垂線將一般三角形轉(zhuǎn)化成直角三角形，我們把這種數(shù)學(xué)思想稱為轉(zhuǎn)化思想.

師：同學(xué)們，觀察圖形，你們發(fā)現(xiàn)了哪些結(jié)論？

生6：因?yàn)锳D是△ABC的內(nèi)角∠CAB的平分線，∠ACB=90°，DE⊥AB，所以根據(jù)角平分線的性質(zhì)可以得到CD=DE.

生7：根據(jù)剛才生6的結(jié)論CD=DE，再結(jié)合∠ACB= 90°，DE⊥AB，AD=AD，就可以證明△ACD≌△AED，所以AE=AC=6.

師：非常棒，現(xiàn)在以小組為單位討論解決這道題的不同方法.

師：A組把你們集體討論的成果跟大家分享一下.

A組：第一種方法：先根據(jù)勾股定理求得BC=8.設(shè)BD= x，則CD=8-x.結(jié)合剛才生6和生7發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，可以得到DE=CD=8-x，BE=AB-AE=AB-AC=4.所以在Rt△BDE中，根據(jù)勾股定理，列出方程x2=（8-x）2+42，解得x=5，即BD=5.

第二種方法：因?yàn)椤螦CB=90°，所以S△ABC=AC· BC=24.由DE⊥AB，得S△ABC=S△ACD+S△ABD.設(shè)BD=x，則DE= CD=8-x.可以得到關(guān)于x的一元一次方程×6（8-x）+× 10（8-x）=24，解得x=5，即BD=5.

第三種方法：因?yàn)椤螦CB=90°，所以S△ABD=AC· BD.由DE⊥AB，得S△ABD=AB·DE.設(shè)BD=x，則DE=CD= 8-x.可以得到關(guān)于x的一元一次方程×6x=×10（8-x），解得x=5，即BD=5.

師：集體的力量真是大，想出了那么多方法.我也跟大家分享一下我的想法.剛才大家發(fā)現(xiàn)△ACD≌△AED，也就是說如果將△ACD沿AD所在的直線對折，△ACD與△AED將互相重合.所以，我們可以把它歸類于折疊問題.當(dāng)在直角三角形中碰到折疊問題時(shí)，我們就可以利用面積法或利用勾股定理構(gòu)建方程模型求線段的長度，請看直角三角形中的折疊問題.

問題5：如圖6，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，AB=10，沿DE所在的直線折疊，使得點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，折痕DE交BC于D，交AB于E，求BD的長.

師：分析條件，大家能得到哪些結(jié)論？

圖6

師：你的思維真敏捷，一下子發(fā)現(xiàn)了這么多結(jié)論，結(jié)合生8發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，哪位同學(xué)可以幫忙解答？

生9：根據(jù)生8發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，設(shè)BD=x，則AD=BD=x， CD=8-x.因?yàn)椤螦CB=90°，所以62+（8-x）2=x2，解得，即BD=.

師：你表達(dá)得特別清楚，讓大家一聽就懂.當(dāng)某條線段所在的直角三角形無法求解時(shí)，我們不妨通過數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化到另一個(gè)直角三角形中，求與之相關(guān)的線段的長度.

感悟：問題4的設(shè)置建立在前三個(gè)問題的基礎(chǔ)之上，此時(shí)學(xué)生已經(jīng)基本掌握了直角三角形中求線段長度的四種方法.所以，筆者提出思考力度較大的問題，有部分學(xué)生一時(shí)之間難以想到解題思路.這時(shí)，筆者就提出了一個(gè)“引導(dǎo)性問題”———大家好像遇到了困難，剛才我們歸納了在直角三角形中求線段長度的四種方法，而現(xiàn)在BD不在直角三角形中，我們該怎么辦？讓學(xué)生自主去探究發(fā)現(xiàn)可以過D作DE⊥AB于E，構(gòu)建直角三角形.然后，筆者又提出了一個(gè)“引導(dǎo)性問題”———觀察圖形，你們發(fā)現(xiàn)了哪些結(jié)論？通過這兩個(gè)問題，學(xué)生拾級而上，主動探究發(fā)現(xiàn)CD=DE，△ACD≌△AED，為問題的解決奠定基礎(chǔ).

“義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)”在7～9年級的學(xué)段目標(biāo)中提出：讓學(xué)生經(jīng)歷從不同角度尋求分析問題和解決問題的方法的過程，體驗(yàn)解決問題方法的多樣性，掌握分析問題和解決問題的一些基本方法；在與他人合作和交流的過程中，能較好地理解他人的思考方法和結(jié)論.所以，筆者讓學(xué)生通過小組合作的形式探討問題4的多種解法，培養(yǎng)學(xué)生從多角度思考問題的習(xí)慣，同時(shí)也讓部分學(xué)生主動發(fā)現(xiàn)自己在求直角三角形中線段長度時(shí)方法方面的缺漏，親身經(jīng)歷解決問題的過程，掌握解決問題的方法，主動彌補(bǔ)缺漏的知識，形成對知識的深層次理解.最后，筆者引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題4可以類比于折疊問題，為探究問題5埋下伏筆，培養(yǎng)和提升學(xué)生舉一反三、觸類旁通的能力.

以“問題”代替直接復(fù)習(xí)知識點(diǎn)，充分激發(fā)學(xué)生在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課堂中的探究欲望，落實(shí)學(xué)生在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課堂中的主體地位.學(xué)生通過親身經(jīng)歷求直角三角形中線段長度的過程，主動構(gòu)建直角三角形中求線段長度的方法的知識網(wǎng)絡(luò).同時(shí)，“問題”助推了師生互動與生生互動，學(xué)生不再是“靜止”狀態(tài)，而是積極主動地參與到教學(xué)活動中來.所以，筆者認(rèn)為，教師在上復(fù)習(xí)課的時(shí)候，應(yīng)該以“問題”代替直接復(fù)習(xí)知識點(diǎn)，引發(fā)學(xué)生積極主動地參與到教學(xué)活動中來，通過問題讓學(xué)生自主歸納，總結(jié)知識點(diǎn)和方法，使學(xué)生在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中主動、輕松、愉快地學(xué)習(xí).

1.王建波.初中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

2.黃勤新.問題，數(shù)學(xué)的心臟——數(shù)學(xué)課堂觀察反思［Z］.百度文庫.

3.陳鋒，薛鶯.以問題引領(lǐng)，提升復(fù)習(xí)效能——對初三“圓的復(fù)習(xí)”課幾個(gè)片段的感悟［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2013（5）.

4.朱紹志.“問題引領(lǐng)，自主學(xué)習(xí)”的教學(xué)探討——《一元一次不等式》復(fù)習(xí)課實(shí)錄與反思［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)（中學(xué)版），2012（6）.

5.姜曉翔.“問題串”引領(lǐng)下的“導(dǎo)學(xué)式生本課堂”——由一堂“平行四邊形性質(zhì)與判定”的復(fù)習(xí)課說起［J］.上海中學(xué)數(shù)學(xué)，2012（12）.

6.覃小平.以問題為中心引領(lǐng)教學(xué)，以思維為核心促進(jìn)發(fā)展——小學(xué)數(shù)學(xué)“以問導(dǎo)學(xué)”教學(xué)方法探究［J］.廣西教育（小教版），2012（1）.Z