☉江蘇省鹽城市明達中學 李新紅

基本圖形：讓輔助線的添加更自然
——從“銳角三角函數”的單元復習課談起

☉江蘇省鹽城市明達中學 李新紅

“銳角三角函數”屬于初中幾何學習的核心內容，相關題目具有一定的綜合性.于是，筆者在進行完本章的新授課教學以后，選取了三個典型的例題，既復習了本章的核心內容，又重點關注了輔助線的添加方式，在教學過程中收到了良好的教學效果.現進行簡單說明，不當之處，敬請指正.

一、例題呈現

例1如圖1，在△ABC中，D為AB的中點，DC⊥AC，且∠BCD=30°，求∠CDA的正弦值、余弦值和正切值.

例2如圖2，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，BC＞AD，AD=2，AB=4，點E在AB上，將△CBE沿CE翻折，點B恰好與點D重合，求∠BCE的余弦值.

圖1

圖2

例3如圖3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=13，CD∥AB，點E為射線CD上一動點（不與點C重合），連接AE，交BC于點F，∠BAE的平分線交BC于點G.

圖3

當AC=5時，連接EG，若△AEG為直角三角形，求BG的長.

二、分析和解

例1：

分析：求∠CDA的三個三角函數值←直角三角形存在，需要求出直角三角形三條邊的長度←①題干中沒有出現長度，設未知數是關鍵；②D為AB的中點是解決問題的突破口.

解：如圖4，取BC的中點E，連接DE，設DE=k.

因為D為AB的中點，DC⊥AC，所以DE∥AC且∠CDE=90°.

圖4

所以AC=2k.

在Rt△ACD中：

基本圖形：在分析中提到條件“D為AB的中點”是解決問題的突破口，所以在解決過程中構造了“三角形中位線”的基本圖形，使得問題順利解決.

例2：

分析1：求∠BCE的余弦值←具備直角三角形←根據條件直接求（略）.

分析2：求∠BCE的余弦值←雖然具備直角三角形，但已知條件中的長度不在此直角三角形中←需要將∠BCE進行“轉移”，即等角代換←題干中的“翻折”是解決問題的突破口.

解：連接BD，根據軸對稱的性質得：BD⊥CE（如圖5）.

因為∠BCE+∠CEB=90°，∠ABD+∠CEB=90°，所以∠BCE=∠ABD.

圖5

基本圖形：分析1中的直接求，計算量較大，分析2中的方法則較簡單，關鍵是抓住了“翻折”的性質：對稱點的連線和對稱軸垂直，進而將所求角順利轉移，在問題解決過程中主要構造了“中垂線”的基本圖形.

例3：

分析：此題中，由于直角頂點不確定，所以需要分類討論.

解：延長AG交CD于點K.

第一種情況：當點G為直角頂點（如圖6），即EG⊥AK時：

圖6

由于CD∥AB，AG平分∠BAE，所以∠FAG=∠GAB=∠EKG，所以△AEK為等腰三角形.

由于EG⊥AK，所以點G為AK的中點.

由于CD∥AB，所以G也為BC的中點.

第二種情況：當點E為直角頂點（如圖7），即EG⊥AE時：

圖7

過點G作GN⊥AB，此時可以得到△AGB也為等腰三角形，所以BN=AB=

在Rt△ACB和Rt△BNG中：

基本圖形：“延長AG交CD于點K”是為了構造相似的基本圖形（A型圖或X型圖），第一種情況中很自然就產生了“等腰三角形三線合一”的基本圖形，第二種情況中添加的輔助線主要是為了構造“角平分線”的基本圖形.

三、對應練習

練習1：如圖8，點D是Rt△ABC的斜邊AC的中點，CE垂直BD的延長線于點E，其中AB=15，cosA=，則∠DCE的正弦值為_______.

圖8

圖9

練習2：如圖9，在Rt△ABC中，AB=2，BC=1，∠A=30°.請你添加喜歡的輔助線，求出tan15°的值.

說明：練習1和練習2主要是為了考查銳角的三個三角函數的求法，同時練習2具有一定的開放性，不同的添加輔助線的方式會有不同的解題效果.

四、兩點思考

1.單元復習課：以夯實基礎知識為首要目的

新授課完成后的單元復習課的定位是什么？顯然，不同于中考復習中的章節(jié)復習課或專題復習課，應該以夯實基礎知識為首要目的.于是，筆者在本節(jié)課的教學中精選三個典型例題，圍繞計算銳角的三個三角函數值展開，以核心概念為中心，取得了良好的教學效果.其中例1、例2以簡單計算為主，例3具有一定的綜合性，而且方法也比較多，在課堂教學中主要突出應用銳角三角函數解決這個問題的方法.

2.基本圖形：讓輔助線的添加更自然

輔助線被大多數學生認為是解決問題的攔路虎，更有學生說：“如果告訴我輔助線如何添加，這些題目我都會做.”如何使學生感到輔助線不是“神來之筆”或“帽子里跑出來的兔子”呢？筆者感覺加強學生對基本圖形的積累是一種有效的手段，比如在本節(jié)課的問題解決中主要用到了相似的基本圖形、等腰三角形三線合一的基本圖形、角平分線的基本圖形、軸對稱的基本圖形、中位線的基本圖形等.可以看出，上述基本圖形來源于課本中基本的判定定理或性質定理的“圖形語言”，是學生必須掌握的，沒有進行絲毫的變式，不會加深學生的負擔，因此筆者認為這是一種有效的嘗試，歡迎更多的一線教師參與進來，不當之處，敬請指正.Z