☉江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)青劍湖學(xué)校 王友峰

專(zhuān)業(yè)自主增設(shè)內(nèi)容，回看陳題洞察結(jié)構(gòu)
——九年級(jí)“探究四點(diǎn)共圓”教學(xué)設(shè)計(jì)與解讀

☉江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)青劍湖學(xué)校 王友峰

在最近一次教學(xué)研討活動(dòng)中，筆者有機(jī)會(huì)執(zhí)教九年級(jí)“探究四點(diǎn)共圓”，得到教師的好評(píng).本文梳理該課教學(xué)設(shè)計(jì)，并解讀設(shè)計(jì)意圖，供研討.

一、“探究‘四點(diǎn)共圓’”教學(xué)流程

教學(xué)環(huán)節(jié)（一）從三角形外接圓出發(fā)

圖1

圖2

圖3

提問(wèn)：在⊙O上再取一個(gè)點(diǎn)D，觀(guān)察、分析四邊形ABCD有什么特殊.（圓的內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)）

預(yù)設(shè)活動(dòng)：學(xué)生在上述圖形中分別取一個(gè)點(diǎn)D，得出如下圖形：

圖4

圖5

圖6

提問(wèn)：這三個(gè)內(nèi)接四邊形中，哪一個(gè)可能成為平行四邊形？為什么？

預(yù)設(shè)：圖5中，該平行四邊形此時(shí)應(yīng)該為矩形.

教學(xué)環(huán)節(jié)（二）探究“四點(diǎn)共圓”

逆向思考：怎樣的四邊形能找出它的外接圓？

預(yù)設(shè)：比如矩形、等腰梯形、共斜邊的兩個(gè)直角三角形的四個(gè)頂點(diǎn)組成的四邊形的共同特征，對(duì)角線(xiàn)并不一定相等，但對(duì)角互補(bǔ).獲得猜想：對(duì)角互補(bǔ)的四邊形，過(guò)它的四個(gè)頂點(diǎn)能作一個(gè)圓.

預(yù)設(shè)：鼓勵(lì)學(xué)生利用反證法證明命題“對(duì)角互補(bǔ)的四邊形，過(guò)它的四個(gè)頂點(diǎn)能作一個(gè)圓.”

已知：如圖7，四邊形ABCD中，∠B+∠D＝180°.

求證：四邊形ABCD內(nèi)接于一個(gè)圓（A、B、C、D四點(diǎn)共圓）.

證明：用反證法，過(guò)A、B、C作⊙O，假設(shè)D不在⊙O上，則D在圓外或圓內(nèi).

若D在圓外，設(shè)CD交⊙O于D′，連接AD′，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠B+∠CD′A＝180°.又∠B+∠D＝180°，則∠CD′A＝∠D.這與三角形外角性質(zhì)矛盾，故D不可能在圓外.

類(lèi)似地，可證D不可能在圓內(nèi).

則D在⊙O上，也即A、B、C、D四點(diǎn)共圓.

教學(xué)環(huán)節(jié)（三）例題訓(xùn)練，鞏固新知

例1下列圖形中，你發(fā)現(xiàn)哪四個(gè)點(diǎn)共圓？為什么？（1）如圖8，PA、PB與⊙O分別相切于A、B兩點(diǎn).

圖7

圖8

圖9

圖10

（2）如圖9，⊙O中，點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C分別作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分別為D、E.

（3）如圖10，菱形ABCD的四邊中點(diǎn)分別為E、F、G、H.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)四個(gè)學(xué)生熟悉的圖形，引導(dǎo)他們發(fā)現(xiàn)其中的“四點(diǎn)共圓”.

例2圓在腦中：

（1）如圖11，∠DCE是四邊形ABCD的一個(gè)外角，如果∠DCE＝∠A，那么同時(shí)過(guò)點(diǎn)A、B、C、D能否作一個(gè)圓？

圖11

圖12

圖13

設(shè)計(jì)意圖：考查學(xué)生能否由四邊形的對(duì)角互補(bǔ)判定該四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓.

（2）如圖12，經(jīng)過(guò)四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)可以作一個(gè)圓，若∠A＝120°，則∠C的度數(shù)是？

設(shè)計(jì)意圖：考查學(xué)生對(duì)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)的掌握情況.

（3）如圖13，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠CAD＝16°，則∠ABD的度數(shù)是？

設(shè)計(jì)意圖：考查學(xué)生對(duì)對(duì)角互補(bǔ)四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓的應(yīng)用.

教學(xué)環(huán)節(jié)（四）反思“舊題”，看清“結(jié)構(gòu)”

例3如圖14，四邊形ABCD是一個(gè)正方形.點(diǎn)E、F在邊AD、CD上，且AE＝DF，連接BE、AF.

圖14

圖15

（1）圖中哪四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上？為什么？

（2）如圖15，連接CG、BF，求證：∠FBC＝∠FGC.

例4如圖16，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∠AEF＝90°，EF交正方形外角的平分線(xiàn)CF于F.求證：AE＝EF.

圖16

圖17

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生如果基于全等的證法解決問(wèn)題，則給出追問(wèn)：有人發(fā)現(xiàn)基于構(gòu)造圓的思考，點(diǎn)A、E、C、F四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，也能解決這個(gè)問(wèn)題，并引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖17這樣的結(jié)構(gòu).

布置作業(yè)（略），下課.

二、教學(xué)立意的進(jìn)一步解讀

1.關(guān)注教材活動(dòng)，專(zhuān)業(yè)自主組織“學(xué)材”

當(dāng)前不少版本的數(shù)學(xué)教材在九年級(jí)圓這一章，都沒(méi)有安排“四點(diǎn)共圓”作為一個(gè)課時(shí)來(lái)研究，然而我們?cè)诤芏嗫碱}中見(jiàn)到“四點(diǎn)共圓”的結(jié)構(gòu).是在以后中考二次復(fù)習(xí)時(shí)再安排一節(jié)所謂的專(zhuān)題課復(fù)習(xí)四點(diǎn)共圓，還是在新授課結(jié)束之后的單元復(fù)習(xí)時(shí)就增設(shè)這一節(jié)習(xí)題課呢？我們選擇了后者.因?yàn)榫拍昙?jí)學(xué)生解題能力已經(jīng)達(dá)到一定的高度，這里在單元復(fù)習(xí)時(shí)可以選擇由三角形外接圓出發(fā)，自然而然地探究四點(diǎn)共圓，也是數(shù)學(xué)從特殊走向一般、成果擴(kuò)大化的一種探究取向，是值得教學(xué)嘗試的，更是我們一線(xiàn)教師專(zhuān)業(yè)自主的體現(xiàn).想起著名特級(jí)教師李庾南老師近年來(lái)倡導(dǎo)的“學(xué)材再建構(gòu)”，我們基于數(shù)學(xué)知識(shí)的前后理解，自主研發(fā)、組織教學(xué)內(nèi)容，也應(yīng)該屬于一種積極的“學(xué)材再建構(gòu)”吧.

2.預(yù)設(shè)開(kāi)放問(wèn)題，促進(jìn)對(duì)話(huà)互動(dòng)生成

在上述課例多個(gè)活動(dòng)中，我們?cè)O(shè)計(jì)了多處開(kāi)放式問(wèn)題，比如，開(kāi)課階段安排學(xué)生作出不同三角形的外接圓，接著自主添加一個(gè)點(diǎn)D，研究四邊形與外接圓問(wèn)題；在探究新知環(huán)節(jié)，對(duì)于如何證明對(duì)角互補(bǔ)的四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓，引導(dǎo)學(xué)生從反證法的角度思考問(wèn)題，通過(guò)追問(wèn)、對(duì)話(huà)，促進(jìn)難點(diǎn)突破.在后續(xù)例題（例1、例2）題組的研究中，鼓勵(lì)學(xué)生先猜想解答，再追問(wèn)他們解答的依據(jù)，暴露思維過(guò)程.這樣既使問(wèn)題的呈現(xiàn)簡(jiǎn)約，又在對(duì)話(huà)、追問(wèn)過(guò)程中追求了“開(kāi)放的數(shù)學(xué)教學(xué)”（鄭毓信教授語(yǔ)）.

3.回看經(jīng)典習(xí)題，引導(dǎo)回顧反思結(jié)構(gòu)

在例題教學(xué)的后半段，例3、例4分別選自八年級(jí)教材上的兩道經(jīng)典習(xí)題，在八年級(jí)，學(xué)生已經(jīng)能利用四邊形、全等三角形等實(shí)現(xiàn)證明，但證明的思路、步驟都較繁雜，而基于“四點(diǎn)共圓”的思路，則可以看清問(wèn)題結(jié)構(gòu)，獲得更直接、深刻的證明與解答.這事實(shí)上也就是所謂的基于“高觀(guān)點(diǎn)”下的解題追求.當(dāng)我們站在區(qū)域性制高點(diǎn)俯看一些更初等問(wèn)題時(shí)，往往能看得更全面和清晰.圓這一章作為平面幾何圖形最后的內(nèi)容，自然有著很多統(tǒng)領(lǐng)性的功能和價(jià)值，這節(jié)課的學(xué)習(xí)，也是想讓學(xué)生感受這種學(xué)習(xí)的深度與高度.

三、結(jié)束語(yǔ)

有了本次自主研發(fā)教學(xué)內(nèi)容的嘗試，我們更加感受到作為教師的專(zhuān)業(yè)自主的重要性，事實(shí)上就四點(diǎn)共圓的類(lèi)似課例來(lái)說(shuō)，僅在幾何中就可研發(fā)很多類(lèi)似的課例，比如八年級(jí)平行四邊形一章中可以關(guān)注“中點(diǎn)四邊形”“探究重心定理”，相似形中可探究“射影定理”等經(jīng)典圖形及性質(zhì).當(dāng)然，我們的思考還是初步的，期待更多實(shí)踐課例的分享與展示.

1.朱金祥.依賴(lài)“基本套路”，走向“用教材教”——李庾南老師“反比例函數(shù)”課例賞析［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（10）.

2.李庾南.自學(xué)·議論·引導(dǎo)教學(xué)論［M］.北京：人民教育出版社，2013.

3.陳愛(ài)軍.預(yù)設(shè)互動(dòng)促進(jìn)對(duì)話(huà)，課件簡(jiǎn)約漸次展現(xiàn)——李庾南老師“函數(shù)的圖像”課例賞析［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（10）.

4.鄭毓信.善于提問(wèn)［J］.人民教育，2008（19）.Z