朱繼友

山東省臨沂第一中學

超幾何分布的幾個思考

朱繼友

山東省臨沂第一中學

超幾何分布是概率分布列中很重要的一個題型，其實質(zhì)是古典概率模型的推廣，題型特點比較鮮明，解題步驟也很直接。但要細究起來，卻有頗多“道道”。

例1：袋中有紅球6個，白球4個，從中摸出2個小球，求摸到紅球的個數(shù)ξ的分布列及期望。

解：由題意知，ξ=0，1，2

法一（超幾何分布的古典思維模式求解）

思路一（無序操作求解）：

小結(jié)：（1）在做超幾何分布題時，由于超幾何分布只是古典概率模型的一個推廣，所以我們在求解時都是用的“個數(shù)比個數(shù)”的操作方法，此法簡單易行，更好理解。（2）超幾何分布本質(zhì)是一種不放回的連續(xù)抽取，所以可以使用“無需操作”如思路一的解答過程，也可以使用“有序操作”如思路二的解答過程。此兩種解法說明很好的解決了學生做題時“不放回”題目中對“有序與無序”操作的困擾，即“有序與無序”操作只是學社鞥自我做題的思維反應(yīng)途徑而已，但對于“有放回抽取”最好使用“有序操作”最為穩(wěn)妥。

法二（用概率思維模式求解）

有很多學生想使用概率求解，但一般做錯，究其原因是概率使用的條件沒弄明白，而在平時授課時可能我們老師也不想拓展超幾何分布的解法，因為用無序的操作求解是最方便的。

分析：那是不是說超幾何分布不能用概率求解呢？當然不是，只要注意使用條件概率求解才對。因為超幾何分布是“不放回的抽取”，若使用分母都是10，說明學生在做題時把它理解成了“有放回抽取”，題意都改了，故導致概率求解出錯了。

正解：設(shè)：事件A：取1個紅球，第i次取出紅球為Ai(i=1,2),事件B：取1個白球，第i次取出白球為Bi(i=1,2)

練習1：一袋中裝有10個大小相同的黑球和白球.已知從袋中任意摸出2個球，至少得到1個白球的概率是

(1)求白球的個數(shù)；

(2)從袋中任意摸出3個球，記得到白球的個數(shù)為X，求隨機變量X的分布列。

例2：一個盒子中裝有大量形狀大小一樣但重量不盡相同的小球，從中隨機抽取50個作為樣本，稱出它們的重量（單位：克），重量分組區(qū)間為（5，15]，（15，25]（25，35]，（35，45]，由此得到樣本的重量頻率分布直方圖，如圖。

（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，試估計盒子中小球重量的平均值；

（Ⅲ）從盒子中隨機抽取3個小球，其中重量在（5，15]內(nèi)的小球個數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學期望。

解：（Ⅰ）由題意得，(0.02+0.032+a+0.018)×10=1.解得a=0.03；

（Ⅱ）由最高矩形中點的橫坐標為20，可估計盒子中小球重量的眾數(shù)約為20，

而50個樣本小球重量的平均值為：

0.2 ×10+0.32×20+0.3×30+0.18×40=24.6(克)，故估計盒子中小球重量的平均值約為24.6克。

（Ⅲ）利用樣本估計總體，該盒子中小球的重量在[5，15]內(nèi)的頻率為0.2；

則ξ=0,1,2,3且ξ～B(3,0.2).

小結(jié)：當超幾何分布中，個體個數(shù)不是有限個（題中經(jīng)常用的數(shù)據(jù)如5個或10個球）而是“大量”，說明個體數(shù)量很龐大。超幾何分布中的首要條件是抽取后不放回，但當個體總量很龐大時，抽取有限個再放回去對解題的影響與不放回抽取的影響基本相同，故這是我們應(yīng)該把超幾何分布理解成獨立二項分布進行解題。