華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(510631) 蔡曉純 何小亞

正弦定理的教學(xué)設(shè)計

華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(510631) 蔡曉純 何小亞

編者按:“東芝杯?中國師范大學(xué)師范專業(yè)理科大學(xué)生教學(xué)技能創(chuàng)新實踐大賽”是由中國教育部國際交流司與師范司,以及東芝公司共同舉辦的一項國家級賽事.在已經(jīng)舉辦的七屆比賽中,華南師范大學(xué)獲得了數(shù)學(xué)學(xué)科第一、二、六、七屆四個全國冠軍.現(xiàn)刊登獲得第七屆全國冠軍的教案,以饗讀者.

教材:人教A版高中數(shù)學(xué)必修5第一章第一節(jié)

課時安排:第1課時

教材分析:正弦定理揭示了三角形的邊與角的數(shù)量關(guān)系,是計算斜三角形邊長或角度的重要工具之一.達到定理的言語連鎖水平并進行簡單應(yīng)用并不難,但為了讓學(xué)生掌握定理探索的一般思路和定理的本質(zhì),本節(jié)課的教學(xué)定位是:既教定理的理解運用,又教定理發(fā)現(xiàn)的探索思路;既強調(diào)學(xué)習(xí)該定理涉及的數(shù)學(xué)思想方法,又滲透定理體現(xiàn)的數(shù)學(xué)美.

學(xué)情分析:

?認知基礎(chǔ):①已學(xué)過“大邊對大角,小邊對小角”的定性描述,具有尋找定量結(jié)論的心理期望;②已學(xué)過銳角三角函數(shù)及解直角三角形,利于接受由特殊到一般的過渡;③任意角的三角函數(shù)、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式為定理的證明和應(yīng)用打下了基礎(chǔ);

?認知障礙:①猜想的證明;②定理證明思路的切入點.

教學(xué)目標:

?知識與技能:①了解正弦定理的應(yīng)用背景,探索與證明正弦定理;②理解正弦定理的“結(jié)構(gòu)不變性”和表達這一不變性的“字母可變性”;③了解解三角形的概念,初步學(xué)會“正用”正弦定理解決三角形中“已知兩角一邊求其他”和“已知兩邊及其中一邊對角求其他”的問題.

?過程與方法

①經(jīng)歷觀察發(fā)現(xiàn)、猜想并證明正弦定理的過程,領(lǐng)悟定理發(fā)現(xiàn)的探索思路,學(xué)習(xí)由特殊到一般的思維方式;②通過嘗試定理的證明,領(lǐng)悟分類討論和化歸的數(shù)學(xué)思想.

?情感態(tài)度價值觀

①感受正弦定理的統(tǒng)一美、對稱美、簡潔美;②體會正弦定理的科學(xué)價值和應(yīng)用價值,形成崇尚數(shù)學(xué)的精神.

教學(xué)重點:正弦定理的發(fā)現(xiàn)、證明及理解.

教學(xué)難點:正弦定理的發(fā)現(xiàn)與證明.

教學(xué)關(guān)鍵:探索時由特殊延伸到一般尋找三角形的邊角數(shù)量關(guān)系;證明時將一般情形化歸為已得證的特殊.情形考慮.

教學(xué)方法:以問題驅(qū)動法為主.

教學(xué)手段:板書、計算機、PPT、幾何畫板.

教學(xué)流程

圖1

教學(xué)過程設(shè)計:

(一)背景引入,設(shè)置障礙

(1)趣味引入:

問題1:月亮離地球有多遠?

由2015年12月初的“嫦娥四號將實現(xiàn)世界首次月球背面軟著陸”的新聞,以及嫦娥奔月、“嫦娥一號”等探月的圖片吸引學(xué)生注意力,提出問題1,激發(fā)好奇心;并引出法國天文學(xué)家拉朗德和其學(xué)生拉卡伊在17世紀中下旬首次計算出了地月距離的背景:選取了幾乎位于同一子午線的柏林和好望角A、B和月球上的一地點C,當時的技術(shù)手段只能測出A、B兩地間的直線距離和∠A、∠B的大小,但他們使用了一個十分便捷的運算工具,就分別把地球上這兩個地點到月球的距離求出來了.揭示本節(jié)課的任務(wù)就是要挖掘出這個“便捷的工具”.

圖2

設(shè)計意圖:選取“計算地月距離”的天文學(xué)應(yīng)用背景引入,不僅因為當時兩位天文學(xué)家正是利用正弦定理代入數(shù)據(jù)求解的,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)和其他科學(xué)的密切聯(lián)系;而且能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)新知以便解決這個看似困難的問題的內(nèi)部動機和興趣,讓學(xué)生初步感知新知所蘊含的強大應(yīng)用價值和科學(xué)價值,還可引出探索三角形邊角關(guān)系的環(huán)節(jié).但由于本課時定理的應(yīng)用不是重點,具體數(shù)據(jù)較復(fù)雜,故暫不提供數(shù)據(jù),只在環(huán)節(jié)三讓學(xué)生們自行理清求解思路.

(2)抽象問題:已知三角形中的兩個角(∠A、∠B)和一條邊(AB的長),求另外兩條邊(AC、BC的長).

(3)創(chuàng)設(shè)障礙:已學(xué)過的“大邊對大角,小邊對小角”的三角形邊角關(guān)系已經(jīng)無法滿足具體量化需求,故引導(dǎo)學(xué)生由定性結(jié)論過渡到尋找定量結(jié)論,提出任務(wù)一:尋找三角形中的邊角數(shù)量關(guān)系.

(二)新知探究,猜想證明

(1)特殊入手:讓學(xué)生回憶舊知中能描述直角三角形中邊角數(shù)量關(guān)系的定義或性質(zhì).

問題2:直角三角形中存在什么邊角數(shù)量關(guān)系?

學(xué)情預(yù)設(shè):直角三角形中30°所對的直角邊等于斜邊的一半、三角函數(shù).

(2)找直角三角形的邊角數(shù)量關(guān)系:出示Rt△ABC,由學(xué)生上個問題的回答引導(dǎo)其發(fā)現(xiàn)Rt△ABC中有等邊角數(shù)量關(guān)系,轉(zhuǎn)而先研究三角形中與正弦有關(guān)的邊角數(shù)量關(guān)系.

(3)找直角三角形中邊角數(shù)量關(guān)系的特點:引導(dǎo)學(xué)生得出sinC=1,尋找能夠溝通的中間量、共同的量,進而表示出c,并將角C統(tǒng)一進來,發(fā)現(xiàn)在Rt△ABC中,有這一美妙的邊角數(shù)量關(guān)系;帶領(lǐng)學(xué)生共同感受所得關(guān)系的簡潔、對稱、統(tǒng)一之美.

設(shè)計意圖:以學(xué)生已有的知識經(jīng)驗為基礎(chǔ),引導(dǎo)學(xué)生建立新舊知識間的內(nèi)在聯(lián)系,便于學(xué)生完成對新知識的遷移.而帶領(lǐng)學(xué)生感受數(shù)學(xué)美是一項潛移默化的長期任務(wù),應(yīng)借此培養(yǎng)他們主動感受和挖掘更多數(shù)學(xué)美的習(xí)慣,并鼓勵學(xué)生發(fā)散思維,從而引入下一環(huán)節(jié).

(4)推廣結(jié)論,實驗探索:

問題3:一般三角形中是否存在類似的美妙關(guān)系?

將研究對象由特殊延伸到一般、由直角三角形推廣至一般三角形,引導(dǎo)學(xué)生通過觀察幾何畫板所展示的任意構(gòu)造的形狀大小不一的銳角或鈍角三角形所對應(yīng)的每組比值的特點.

圖3

發(fā)現(xiàn)特點:在許多銳角或鈍角三角形中三個比值都相等,似乎都存在著一致的邊角數(shù)量關(guān)系:即各邊邊長與所對角的正弦之比相等.

設(shè)計意圖: 由三角形有成千上萬來初步凸現(xiàn)分類討論的必要性; 并利用幾何畫板展示素材的直觀性、任意性、可測性等優(yōu)點,通過直觀的“形變神不變”和分情況演示證實關(guān)系可能在一般三角形中成立,從而加強學(xué)生的猜想.

問題4:你能否根據(jù)演示結(jié)果大膽地作出合情的猜想? (6)尋找證明思路:要確認結(jié)論是否成立單靠猜想還不夠,應(yīng)該證明.

問題5:如何證明?如何將銳角和鈍角三角形跟直角三角形聯(lián)系起來?

引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合前面的思路進行探討:一開始從特殊的直角三角形入手,很容易地表示出了三角形的邊與對應(yīng)角的正弦的數(shù)量關(guān)系,并證明了等式在直角三角形中成立,要是銳角和鈍角三角形能跟直角三角形扯上關(guān)系,問題應(yīng)該就簡單一點.進而啟發(fā)學(xué)生轉(zhuǎn)化歸結(jié)為考慮直角三角形的邊角數(shù)量關(guān)系.滲透化歸的數(shù)學(xué)思想.

學(xué)情預(yù)設(shè):作高.(提示:通過作高將銳角和鈍角三角形轉(zhuǎn)化為考慮直角三角形,參考直角三角形的證明思路)

設(shè)計意圖學(xué)生能否準確地判斷出需要“作高”,是衡量其能否將一般情形轉(zhuǎn)化為前面已得證的特殊情形的關(guān)鍵,亦可讓學(xué)生親自理解這一證明思路的切入點.

(7)分組探究,證明猜想:1、2組嘗試銳角三角形的證明,3、4組嘗試鈍角三角形的證明,帶著提供的思考問題和提示,共同探討并證明銳角和鈍角三角形的情況.滲透分類討論的思想.

PPT出示探究任務(wù)和思考問題:作高后如何將高與三角形的邊和角聯(lián)系起來?需要作多少條高便可證明出結(jié)論?(教師巡視,必要時給予啟發(fā)指導(dǎo),尋找能夠證明出來的同學(xué),請兩位同學(xué)分別代表小組分享證明思路,由學(xué)生展示證明情況,由教師詳細板演,強調(diào)思路的關(guān)鍵點)

圖4

圖5

設(shè)計意圖選用等高法,是由于本節(jié)課是從直角三角形入手的,只要通過作高就可以把銳角或鈍角三角形和直角三角形聯(lián)系起來,因此,對于猜想的證明,該法應(yīng)該是學(xué)生從認知規(guī)律上比較容易嘗試成功的方法,符合學(xué)生的認知水平發(fā)展.分組讓學(xué)生分別嘗試證明銳角、鈍角三角形的情況,可提高學(xué)生課堂的參與度,確保學(xué)生的主體地位.由于此方法與教科書所涉及的方法大同小異,是面向全體學(xué)生的證明過程,且為了讓學(xué)生更好地體會數(shù)學(xué)證明的邏輯演繹過程,采用學(xué)生表述、教師板演,以更好地讓大多數(shù)學(xué)生理解掌握.

(8)得到定理:說明定理揭示了三角形中所蘊含的十分巧妙的邊角數(shù)量關(guān)系,讓學(xué)生再次共同感受定理的數(shù)學(xué)美:如此獨特的美妙關(guān)系,也只有我們數(shù)學(xué)語言能如此簡練地描述出來.

(三)應(yīng)用定理,反饋鞏固

(1)了解應(yīng)用:

問題6:正弦定理能解決哪些數(shù)學(xué)問題?

圖6

圖7

舉兩個簡單例子啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“知三求一”的特點,結(jié)合三角形內(nèi)角和定理,便可初步得出定理的應(yīng)用范圍:(1)已知三角形兩個角和一條邊,求其它邊和角;(2)已知三角形兩條邊和其中一邊的對角,求其它邊和角.

(2)實際應(yīng)用

問題7:你能用正弦定理得到地月距離的求解思路了嗎?

回顧引入環(huán)節(jié)的地月距離問題,教師與學(xué)生共同探討解題思路,尋找隱含條件,在定理表達式中標記出已知條件和隱含條件,直觀體現(xiàn)“知三求一”:由三角形內(nèi)角和定理可求角C;由正弦定理可表示出AC、BC.

解決思路:在△ABC中,已知∠A和∠B的大小、AB的長,則由三角形內(nèi)角和定理可得

故由正弦定理得

即

只要代入具體數(shù)據(jù),地月距離便迎刃而解,至于具體數(shù)據(jù)是多少、怎么測的,鼓勵學(xué)生課后上網(wǎng)查找資料拓展知識面.該距離問題的求解過程就是正弦定理的應(yīng)用;一個簡單的定理居然會在天文學(xué)中會被用到,其實它在許多領(lǐng)域測量距離或高度的問題中也很有幫助,下節(jié)課就可以見分曉.這節(jié)課先試著解決簡單的純數(shù)學(xué)問題.

(3)了解解三角形的概念:把三角形的三個角A,B,C和它們的對邊a,b,c叫做三角形的元素.已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形.

(4)練習(xí)解三角形:(學(xué)生先練習(xí),后講解,檢驗是否符合“大邊對大角”)

根據(jù)已知條件求三角形的其他邊和角.

①在△ABC中,已知A=60°,B=45°,c=20cm; ②在△ABC中,已知a=15cm,b=10cm,B=30°.

學(xué)情預(yù)設(shè):①

從而∠A≈14°,因此

從而c=20×0.96≈19cm.

設(shè)計意圖:由于本節(jié)課只是《正弦定理》的第一課時,定理的應(yīng)用還不是重點,所以該環(huán)節(jié)不做過多復(fù)雜的實際計算,只是讓學(xué)生解決開頭實際背景中的地月距離問題,既體現(xiàn)問題設(shè)置的有效性,又符合學(xué)生運用新知解決問題的心理期望.由學(xué)生運用所學(xué)新知識表述思路、解決問題,初步體會定理的應(yīng)用價值,并簡單引入其他領(lǐng)域的應(yīng)用,為下節(jié)課的開展設(shè)置懸念,激發(fā)學(xué)習(xí)動機;而兩道帶有簡單數(shù)據(jù)的純數(shù)學(xué)解三角形問題則可讓學(xué)生初步嘗試正弦定理的兩類簡單應(yīng)用.

(四)課堂小結(jié)和作業(yè)布置

(1)課堂小結(jié):借助流程圖與學(xué)生共同總結(jié)梳理本節(jié)課的定理發(fā)現(xiàn)思路:為了探究三角形的邊角數(shù)量關(guān)系,從特殊的直角三角形入手,經(jīng)歷觀察—實驗—猜想—證明—得到正弦定理—應(yīng)用定理;并引導(dǎo)學(xué)生上升到理解定理本質(zhì)的層次,即理解其“結(jié)構(gòu)的不變性,字母的可變性”.同時揭示本節(jié)課涉及的特殊到一般的發(fā)現(xiàn)思路、分類討論和化歸的數(shù)學(xué)思想.

圖8

并留下懸念:正弦定理還有更令人驚嘆的結(jié)論！即它的比值是一個可以由三角形自身確定的常量,是什么呢?結(jié)合課后題就會有重大發(fā)現(xiàn).

設(shè)計意圖:借助框圖梳理思路,包括定理的發(fā)現(xiàn)與探索過程、定理的證明、涉及的數(shù)學(xué)思想方法等,并讓學(xué)生掌握定理學(xué)習(xí)的本質(zhì),潛移默化地讓學(xué)生感受到有時過程比結(jié)果更重要.

(2)作業(yè)布置

必做:①習(xí)題1.1之A組第1、2題;

②完成鈍角三角形中的正弦定理的證明過程;

③平面向量是溝通角度和長度的重要工具,請嘗試平面向量的相關(guān)知識證明定理.

思考:任意△ABC中定理表達式的值會等于什么?結(jié)合習(xí)題1.1之B組第1題.

設(shè)計意圖必做作業(yè)是定理的簡單應(yīng)用,學(xué)生可能會碰到有兩解的問題,且在這一點上容易出錯,為下節(jié)課學(xué)習(xí)定理應(yīng)用的關(guān)鍵點作鋪墊.而讓學(xué)生嘗試運用平面向量再次證明定理,既可鞏固學(xué)生對平面向量的理解,又可拓寬學(xué)生的證明思路.思考作業(yè)是對定理比值問題的發(fā)現(xiàn)與解決,可讓學(xué)生進一步了解正弦定理的完美,發(fā)現(xiàn)任意三角形與其外接圓直徑的數(shù)量關(guān)系.

板書設(shè)計:

圖9

附:本教學(xué)設(shè)計的創(chuàng)新之處

①以7個問題為線索,問題驅(qū)動,環(huán)環(huán)緊扣,層層深入.讓學(xué)生通過經(jīng)歷定理探索的一般思路,學(xué)的不僅僅是正弦定理一個知識點,而是日后學(xué)習(xí)千千萬萬個定理的一般思維方式,達到知一曉三,亦能提升“做數(shù)學(xué)”的條理性和嚴謹性.

②讓學(xué)生了解正弦定理的真實應(yīng)用背景,拓寬了學(xué)生的數(shù)學(xué)文化知識面;比起創(chuàng)設(shè)虛擬情境來得真實和震撼,能讓學(xué)生感受到小小定理的強大科學(xué)價值和應(yīng)用價值,亦讓數(shù)學(xué)課堂不再是冰冷的數(shù)字和單調(diào)枯燥的純數(shù)學(xué)問題.

③引導(dǎo)學(xué)生將研究對象由特殊延伸到一般以發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律;又通過分組嘗試證明銳角、鈍角三角形的情況,親身體驗將一般的、看似復(fù)雜的情況轉(zhuǎn)化為特殊的、簡單的情形考慮的思維方式,便于掌握特殊與一般相互轉(zhuǎn)化的“化歸”數(shù)學(xué)思想.

致謝:感謝華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院馮偉貞副院長對本文的指導(dǎo).

[1]何小亞,姚靜.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計[M].北京:科學(xué)出版社,2012.

[2]何小亞.數(shù)學(xué)學(xué)與教的心理學(xué)[M].廣州:華南理工大學(xué)出版社,2011.