安徽省壽縣第一中學(xué)(232200) 梁昌金

Gergonne點(diǎn)在圓錐曲線中的推廣

安徽省壽縣第一中學(xué)(232200) 梁昌金

一、提出問題

三角形中有眾多的“巧合點(diǎn)”,如三角形的“五心”,而Gergonne(Gergonne,法國(guó)數(shù)學(xué)家,1771-1859)點(diǎn)亦是三角形中的“巧合點(diǎn)”之一,它有如下優(yōu)美性質(zhì):

定理1(《數(shù)學(xué)通報(bào)》數(shù)學(xué)問題1741)如圖1,△ABC的內(nèi)切圓分別切邊AB、BC、CA于點(diǎn)D、E、F,則AE、BF、CD三線共點(diǎn).

圖1

即連接三角形的頂點(diǎn)和內(nèi)切圓與對(duì)邊切點(diǎn)的直線交于一點(diǎn),這個(gè)點(diǎn)稱為Gergonne點(diǎn).

證明:由圓的切線性質(zhì),知AD=AF,BD=BF,CE=CF,所以根據(jù)塞瓦定理的逆定理知,AE、BF、CD三線共點(diǎn).

二、推廣結(jié)論

筆者見到這個(gè)性質(zhì)以后,驚喜萬分,一個(gè)自然的想法浮現(xiàn)在眼前,Gergonne點(diǎn)能否推廣到圓錐曲線中?經(jīng)過筆者的研究,得到了肯定的答案.在給出推廣結(jié)論和證明之前,我們先介紹一下圓錐曲線的阿基米德三角形及其性質(zhì),并證明這個(gè)性質(zhì).

圓錐曲線的阿基米德三角形:由圓錐曲線的弦及過弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形稱為圓錐曲線的阿基米德三角形.

橢圓(雙曲線)的阿基米德三角形性質(zhì):若△PAB為橢圓(雙曲線)的阿基米德三角形,則OP平分切點(diǎn)弦AB(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)).

拋物線的阿基米德三角形性質(zhì):若△PAB為拋物線的阿基米德三角形,過P作拋物線對(duì)稱軸的平行線,則此平行線平分切點(diǎn)弦AB.

由于證明過程類似,筆者僅給出橢圓阿基米德三角形性質(zhì)的證明.

圖2

①當(dāng)x0=0時(shí),由橢圓對(duì)稱性易知結(jié)論成立;

②當(dāng)x0≠0時(shí),設(shè)A(x1,y1),

B(x2,y2),則切點(diǎn)弦AB的方程為

聯(lián)立

消去y,得

由韋達(dá)定理得

所以O(shè),C,P三點(diǎn)共線,即OP平分切點(diǎn)弦AB.

綜合①、②知,OP平分切點(diǎn)弦AB.

定理2若△ABC的三邊AB、BC、CA(或其延長(zhǎng)線)與橢圓分別相切于點(diǎn)D、E、F,則AE、BF、CD三線共點(diǎn).

下面給出△ABC的內(nèi)切橢圓情形的證明,外切橢圓情形類似可證.

證明:如圖3所示,連接OA、OB、OC、OD、OE、OF、DE、EF、FD.由橢圓阿基米德三角形性質(zhì)知,直線OA平分切點(diǎn)弦FD,直線OB平分切點(diǎn)弦DE,直線OC平分切點(diǎn)弦EF.于是S△AOD=S△AOF,S△BOD=S△BOE,S△COE=S△COF,故根據(jù)塞瓦定理的逆定理知,AE、BF、CD三線共點(diǎn).

圖3

定理3若△ABC的三邊AB、BF、CA(或其延長(zhǎng)線)與雙曲線分別相切于點(diǎn)D、E、F,則AE、BF、CD三線共點(diǎn).

證明過程類似定理2,此處從略.

定理4若△ABC的三邊AB、BC、CA(或其延長(zhǎng)線)與拋物線分別相切于點(diǎn)D、E、F,則AE、BF、CD三線共點(diǎn).

證明:如圖4所示,過A,B,C作軸的平行線,分別交DF于點(diǎn)P,M,N.由拋物線阿基米德三角形性質(zhì)知,AP平分切點(diǎn)弦DF,BM平分切點(diǎn)弦DE,CN平分切點(diǎn)弦EF.所以DP=FP,

圖4

則

根據(jù)塞瓦定理的逆定理知,AE、BF、CD三線共點(diǎn).

三、賽題鏈接

例(2014年高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽B卷一試第11題)如圖5所示,已知橢圓Γ:A(?2,0),B(0,?1)是橢圓Γ上的兩點(diǎn),直線l1:x=?2,l2:y=?1. P(x0,y0)(x)＞0,y0＞0)是Γ上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),l3是過點(diǎn)P且與Γ相切的直線,C、D、E分別是直線l1與l2、l2與l3、l1與l3的交點(diǎn).求證:三條直線AD、BE、CP共點(diǎn).

圖5

本賽題是定理2的一個(gè)特例而已,仿定理2可證.此處不再贅述.

[1]黃清波.圓的一組有趣規(guī)律的探究及推廣[J].上海中學(xué)數(shù)學(xué),2013（12）:22.

[2]梁昌金.2014年高考江西卷理科解析幾何題探究[J].數(shù)學(xué)通訊:上半月,2015（1/2）:72-75.