安徽省歙縣中學(xué)(245200) 鄭觀寶

圓的兩條性質(zhì)的類比推廣*

安徽省歙縣中學(xué)(245200) 鄭觀寶

一、圓的兩條性質(zhì)

性質(zhì)如圖1,AB是⊙O:x2+ y2=R2的直徑,直線AD、BC、CD分別與⊙O相切于A、B、T(動(dòng)點(diǎn)),點(diǎn)G為直線AB上的定點(diǎn)(除直徑端點(diǎn)),則(1)|AD|·|BC|=R2; (2)kGC·kGD為定值;

圖1

證明(1)設(shè)切點(diǎn)T(x0,y0),則切線CD:x0x+y0y= R2(文[1]下同),于是

所以

此性質(zhì)還可用平面幾何知識(shí)證明:連OT,OC,OD,容易證明

則

即OC⊥OD,所以Rt△AOD∽R(shí)t△BCO,于是AD·BC= R2.

(2)設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為(g,0)(g為常數(shù))則

推論1當(dāng)G為圓心O時(shí),kOC×kOD=?1,即OC⊥OD.

推論2如圖1,AB是半徑為R的⊙O的直徑,AD、BC分別與⊙O相切于A、B,直線l與這兩條切線分別相交于C、D,且C、D在AB的同側(cè),若AD·BC=R2,則直線l與⊙O相切.

事實(shí)上,推論2是性質(zhì)1的逆命題成立.

證明設(shè)|AD|=m,|BC|=n,則D(R,m),C(?R,n)故直線

則圓心O到CD的距離為

即直線CD與橢圓相切.綜上所述,我們得到,直線CD與圓相切的充要條件為:點(diǎn)C、D在AB的同側(cè),且mn=R2.

二、在橢圓中的類比推廣

圖2

證明(1)設(shè)切點(diǎn)T(x0,y0),則切線

(2)設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為(g,0)(g為常數(shù))則

(為定值).

推論1當(dāng)G為橢圓焦點(diǎn)時(shí),kGC×kGD=?1,則F1C⊥F1D,F2C⊥F2D;

這是橢圓的一條重要性質(zhì).此性質(zhì)還可以如下證明:連F2T,F2C,F2D,由于AD、BC、CD分別與橢圓相切于A、B、T,則

所以

即F2C⊥F2D.同理可證F1C⊥F1D.

推論2如圖2,AB是橢圓的長(zhǎng)軸,AD、BC分別與⊙O相切于A、B,直線l與這兩條切線分別相交于C、D,且C、D在AB的同側(cè),若|AD|·|BC|=b2,則直線l與⊙O相切.

證明設(shè)|AD|=m,|BC|=n,則D(a,m),C(?a,n)故直線

說(shuō)明這就是判斷直線與橢圓相切的公式.

三、在橢圓中的再推廣

圖3

證明只要將推廣1的證明過(guò)程中a2與b2的互換即可,限于篇幅,具體過(guò)程這里略去.

說(shuō)明由于kGC×kGD=≠?1,所以GC、GD不可能相互垂直;

推論如圖3,AB是橢圓的短軸,AD、BC分別與⊙O相切于A、B,直線l與這兩條切線分別相交于C、D,且C、D在AB的同側(cè),若|AD|·|BC|=b2,則直線l與⊙O相切(限于篇幅,證明過(guò)程這里略去).

于是得到結(jié)論:直線CD與橢圓相切的充要條件為:C、D在AB的同側(cè),且|AD|·|BC|=a2.

推廣23如圖4,AB是橢圓=1(a＞b＞0)的任意一條固定的中心弦,直線AD、BC、CD分別與橢圓相切于A、B、T(動(dòng)點(diǎn)),點(diǎn)G為直線AB上的定點(diǎn),則 (1)|AD|·|BC|為定值;(2)僅當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)O重合時(shí),kGC·kGD為定值.

圖4

證明(1)設(shè)切點(diǎn)T(x0,y0),A(p,q),B(?p,?q),則切線

(2)當(dāng)點(diǎn)G與坐標(biāo)原點(diǎn)重合時(shí),

若點(diǎn)G的坐標(biāo)為(tp,tq)(t為非零常數(shù)),同上舉反例,證明kGC×kGD的值不是常數(shù).限于篇幅,這里略去.

四、在雙曲線中的類比推廣

圖5

證明只要將推廣1的證明過(guò)程中b2的換成?b2即可,限于篇幅,具體過(guò)程這里略去.

推論1當(dāng)G為雙曲線焦點(diǎn)時(shí),kGC×kGD=則F1C⊥F1D,F2C⊥F2D(這是雙曲線的一條重要性質(zhì)).

推論2如圖5,AB是雙曲線的實(shí)軸,AD、BC分別與雙曲線相切于A、B,直線與這兩條切線分別相交于C、D,且C、D在AB的異側(cè),若|AD|·|BC|=b2,則直線l與⊙O相切.

證明令|AD|=m,|BC|=n,不妨設(shè)D(a,?m),C(?a,n),故直線

即直線CD與橢圓相切.

綜上所述,我們得到,直線CD與雙曲線相切的充要條件為:點(diǎn)C、D在AB的異側(cè),且mn=b2.

推論3直線Ax+By+C=0(不為雙曲線的漸近線)與雙曲線=1(a＞0,b＞0)相切的充要條件是A2a2+B2b2=C2.

證明這里僅給B≠0情形的證明過(guò)程.在直線Ax+By+C=0中分別取x=?a,a,得

則直線l與雙曲線相切的充要條件為

化簡(jiǎn)得A2a2+B2b2=C2.

圖6

限于篇幅,具體證明過(guò)程這里略去.

五、在拋物線中的類比推廣

由于拋物線y2=2px(p＞0)是無(wú)心圓錐曲線,所以上述圓的第一條性質(zhì)無(wú)法推廣到拋物線中.但是,若將拋物線y2=2px(p＞0)看作中心在x正半軸的無(wú)窮遠(yuǎn)處,則圓性質(zhì)的推論1可以推廣到拋物線中.

推廣5如圖7,直線CT與拋物線y2=2px(p＞0)相切于點(diǎn)T(動(dòng)點(diǎn)),F為焦點(diǎn),則CF⊥CT.

推論1如圖7,設(shè)直線l與y軸相交于點(diǎn)C,拋物線y2=2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F,則直線l與拋物線相切的充要條件是l⊥CF.

推論2直線l:Ax+By+C=0與拋物線y2=2px(p＞0)相切的充要條件是B2p=2AC.

圖7

[1]鄭觀寶.淺議圓的一條性質(zhì)[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究,2006,10.

*本文系安徽省教育科學(xué)規(guī)劃重點(diǎn)課題(課題編號(hào):JG12316)成果.