黃奎飛
江西省玉山第一中學(xué)
曲線中切點連線問題的應(yīng)用探析
黃奎飛
江西省玉山第一中學(xué)
解析幾何是高中數(shù)學(xué)的重點,也是難點,知識點非常多,運(yùn)算要求特別高,所以學(xué)生遇到解析幾何的問題非常畏懼,但教師如果在平常教學(xué)中善于總結(jié)、分類知識點,就會激發(fā)學(xué)生的興趣。本人就一類切點的連線問題與之共勉。
曲線;切點;問題解析
1、在求圓的切線問題中有這樣結(jié)論:若圓C的方程為:x2+y2=R2,點P(x0,y0)在圓C上,則過點P的切線方程為xx0+yy0=R2,教師可以在深入分析這個方程,若點P(x0,y0)不在圓C上,則xx0+yy0=R2又表示曲線的什么方程。經(jīng)過推導(dǎo)得到這個方程表示過點P作圓的兩條切線,切點分別為A,B,這個方程是AB的連線方程。不難發(fā)現(xiàn)橢圓也有相似的結(jié)論:
例2:如圖所示,已知橢圓C+=1(a>b>0),c=a2-b2)的左頂點為A,上頂點為B,左焦點為F,原點O到直線BF的距離為,ΔABF的面積為1-
(1)求橢圓C的方程(2)過直線x=4上的動點P引橢圓C的兩條切線,切點分別為M,N,求ΔOMN面積的取值范圍。2
解:(1)+y=1
(2)由結(jié)論可得:直線MN的方程是x+ty=1
消去x整理得(4+t2)y2-2ty-3=0
∴S△OMN的取值范圍是
2、拋物線同樣有相似的結(jié)論,推導(dǎo)過程都是一樣的(略)
(1)若拋物線C∶x2=2py(p>0),點P(x0,y0)在拋物線C外,過點P(x0,y0)作拋物線的兩條切線,切點分別為A,B,則AB的連線方程為:xx0-py-py0=0。
(2)若拋物線C∶x2=-2py(p>0),則AB的連線方程為:3py-xx0-py0=0。
(3)若拋物線C∶y2=2px(p>0),則AB的連線方程為:yy0-px-px0=0。
(4)若拋物線C∶y2=-2px(p>0),則AB的連線方程為:yy0+3px+px0=0。
例3:已知拋物線C∶x2=4y,F為拋物線C的焦點,設(shè)P為直線l∶x-y-2=0的點,過點P作拋物線C的兩條切線PA,PB.
(1)在直線l上取點P(4,2),求直線AB的方程。
(2)當(dāng)點P在直線l上移動時,求|AF|+|BF|的最小值。
解:(1)拋物線的方程為x2=4y,即y
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),其中,則切線PA,PB的斜率分別為
同理可得切線PB的方程為x2x-2y-2y2=0因為切線PA,PB均過點P(4,2)。
所以
4x1-4-2y1=0,4x2-4-2y2=0,所以(x1,y1),(x2,y2)為方程4x-4-2y=0的兩組解.
故直線AB的方程為4x-2y-4=0,即2x-y-2=0。
(2)由拋物線定義可知|AF|=y1+1,|BF|=y2+1,在直線l上任取一點P(x0,y0),由()知直線AB的方程為x0x-2y-2y0=0,聯(lián)方消去x整理得y2+(2y0-)y+=0。
由根與系數(shù)的關(guān)系可得
所以當(dāng)y0=-1時,|AF|+|BF|取得最小值,且最小值為5。
從中可以總結(jié)出雙曲線也有相似的結(jié)論:
在做解析幾何題目中平常多歸納,多總結(jié),在題目中充分利用好這些結(jié)論會達(dá)到事半功倍的效果。