溯根求源：統(tǒng)計(jì)與概率應(yīng)用問(wèn)題的解題策略和方法

徐愛(ài)華

尋找正確的解題方法和策略不僅是解題的需要，也是提高自身能力和水平的一個(gè)重要方法，對(duì)以后解決同類(lèi)型的問(wèn)題有著重要的影響.怎樣在研讀題目時(shí)對(duì)各類(lèi)題型的解題思路、方法、技巧和規(guī)律進(jìn)行總結(jié)，這是一個(gè)亟須解決的問(wèn)題.下面我們結(jié)合統(tǒng)計(jì)與概率應(yīng)用中的實(shí)例來(lái)展示解題思路的形成過(guò)程，談解題方法的歸納總結(jié)及解后反思，便于同學(xué)們舉一反三，靈活運(yùn)用.

例1（2016·四川巴中）下列說(shuō)法正確的是（）

A.擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，骰子停止轉(zhuǎn)動(dòng)后，5點(diǎn)朝上是必然事件

B.審查書(shū)稿中有哪些學(xué)科性錯(cuò)誤適合用抽樣調(diào)查法

C.甲乙兩人在相同條件下各射擊10次，他們的成績(jī)的平均數(shù)相同，方差分別是s甲2= 0.4，s乙2=0.6，則甲的射擊成績(jī)較穩(wěn)定

D.擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，“兩枚硬幣都是正面朝上”這一事件發(fā)生的概率為

【策略方法】本題涉及隨機(jī)事件與必然事件、普查與抽查、方差的意義、概率計(jì)算等相關(guān)知識(shí)，由隨機(jī)事件和必然事件的定義得出A錯(cuò)誤，由統(tǒng)計(jì)的調(diào)查方法得出B錯(cuò)誤，由方差的意義得出C正確，由概率的計(jì)算得出D錯(cuò)誤，即可得出結(jié)論.

【解答】A.擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，骰子停止轉(zhuǎn)動(dòng)后，5點(diǎn)朝上不是必然事件，應(yīng)該是隨機(jī)事件，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

B.審查書(shū)稿中有哪些學(xué)科性錯(cuò)誤適合用全面調(diào)查法，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

C.甲乙兩人在相同條件下各射擊10次，他們的成績(jī)的平均數(shù)相同，方差分別是s甲2= 0.4，s乙2=0.6，則甲的射擊成績(jī)較穩(wěn)定，選項(xiàng)C正確；

D.擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，“兩枚硬幣都是正面朝上”這一事件發(fā)生的概率為，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

【方法總結(jié)】本題考查了求概率的方法、全面調(diào)查與抽樣調(diào)查、方差的性質(zhì)以及隨機(jī)事件與必然事件，熟悉方法和性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

例2某高科技產(chǎn)品開(kāi)發(fā)公司現(xiàn)有員工50名，所有員工的月工資情況如下表：

員工數(shù)（名）員工管理人員普通工作人員人員結(jié)構(gòu)總經(jīng)理部門(mén)經(jīng)理科研人員銷(xiāo)售人員高級(jí)技工中級(jí)技工勤雜工1 3 2 3 2 4 1每人月工資（元）2 1 0 0 0 8 4 0 0 2 0 2 5 2 2 0 0 1 8 0 0 1 6 0 0 9 5 0

請(qǐng)你根據(jù)上述內(nèi)容，解答下列問(wèn)題：

（1）該公司“高級(jí)技工”有名；

（2）所有員工月工資的平均數(shù)-x為2500元，中位數(shù)為元，眾數(shù)為元；

（3）小張到這家公司應(yīng)聘普通工作人員.請(qǐng)你回答上圖中小張的問(wèn)題，并指出用（2）中的哪個(gè)數(shù)據(jù)向小張介紹員工的月工資實(shí)際水平更合理些；

（4）去掉四個(gè)管理人員的工資后，請(qǐng)你計(jì)算出其他員工的月平均工資-y（結(jié)果保留整數(shù)），并判斷-y能否反映該公司員工的月工資實(shí)際水平.

【策略方法】本題涉及的知識(shí)點(diǎn)有中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)的意義和特殊數(shù)值對(duì)平均數(shù)的影響，根據(jù)相關(guān)知識(shí)就可以解決上述問(wèn)題.

【解答】（1）16.

（2）因表中數(shù)據(jù)是按照從大到小順序排列，共有50個(gè)數(shù)據(jù)，第25和第26個(gè)數(shù)據(jù)分別為1800和1600，二者的平均數(shù)為1700，則所有員工月工資的中位數(shù)為1700元，眾數(shù)則易判斷為1600元.

（3）這個(gè)經(jīng)理的介紹不能反映該公司員工的月工資實(shí)際水平，用1700元或1600元來(lái)介紹更合理些.

【方法總結(jié)】本題考查眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的計(jì)算及意義，要了解它們?cè)趯?shí)際應(yīng)用中的表述方式.

例3某班為了從甲、乙兩同學(xué)中選出班長(zhǎng)，進(jìn)行了一次演講答辯與民主測(cè)評(píng)，A、B、C、D、E五位老師作為評(píng)委，對(duì)“演講答辯”情況進(jìn)行評(píng)價(jià)，全班50位同學(xué)參與民主測(cè)評(píng)，結(jié)果如下表：

規(guī)定：演講答辯得分按“去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分再算平均分”的方法確定；民主測(cè)評(píng)得分=“好”票數(shù)×2分+“較好”票數(shù)×1分+“一般”票數(shù)×0分；綜合得分=演講答辯得分×（1-a）+民主測(cè)評(píng)得分×a（0.5≤a≤0.8）.

（1）當(dāng)a=0.6時(shí)，兩人的綜合得分分別是多少？

（2）分別求出兩人的綜合得分關(guān)于a的函數(shù)表達(dá)式；

（3）倘若讓甲做班長(zhǎng)，請(qǐng)你確定a的取值范圍.

【策略方法】本題涉及的知識(shí)點(diǎn)是加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算，利用加權(quán)平均數(shù)確定得分.

【解答】（1）甲的答辯得分=（90+92+94）÷ 3=92（分），甲的民主測(cè)評(píng)分=40×2+7=87（分），

甲的綜合得分=92×0.4+87×0.6=89（分）；

乙的答辯得分=（89+87+91）÷3=89（分），乙的民主測(cè)評(píng)分=42×2+4=88（分），

乙的綜合得分=89×0.4+88×0.6=88.4（分）．

（2）甲的綜合得分關(guān)于a的函數(shù)表達(dá)式為y1=92×（1-a）+87×a=92-5a；

乙的綜合得分關(guān)于a的函數(shù)表達(dá)式為y2= 89×（1-a）+88×a=89-a．

（3）若讓甲做班長(zhǎng)，則92-5a＞89-a，解得a＜0.75，

∴a的取值范圍為0.5≤a＜0.75．

【方法總結(jié)】會(huì)用加權(quán)平均數(shù)公式進(jìn)行計(jì)算，根據(jù)實(shí)際情況確定在實(shí)際問(wèn)題中的權(quán)重.

例4在一個(gè)不透明的口袋里裝有只有顏色不同的黑、白兩種顏色的球共20只，某學(xué)習(xí)小組做摸球?qū)嶒?yàn)，將球攪勻后從中隨機(jī)摸出一個(gè)球記下顏色，再把它放回袋中，不斷重復(fù)，下表是活動(dòng)進(jìn)行中的一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：

（1）請(qǐng)估計(jì)：當(dāng)n很大時(shí)，摸到白球的頻率將會(huì)接近；

（2）假如你去摸一次，你摸到白球的概率是，摸到黑球的概率是；（3）試估算口袋中黑、白兩種顏色的球各有多少只？

摸球的次數(shù)n 摸到白球的次數(shù)m摸到白球的頻率1 0 0 1 5 0 2 0 0 5 0 0 8 0 0 1 0 0 0 5 8 9 6 1 1 6 2 9 5 4 8 4 6 0 1 m n 0 . 5 8 0 . 6 4 0 . 5 8 0 . 5 9 0 . 6 0 5 0 . 6 0 1

（4）解決了上面的問(wèn)題，小明同學(xué)猛然頓悟，過(guò)去一個(gè)懸而未決的問(wèn)題有辦法了.這個(gè)問(wèn)題是：在一個(gè)不透明的口袋里裝有若干個(gè)白球，在不允許將球倒出來(lái)數(shù)的情況下，如何估計(jì)白球的個(gè)數(shù)（可以借助其他工具及用品）？請(qǐng)你應(yīng)用統(tǒng)計(jì)與概率的思想和方法解決這個(gè)問(wèn)題，寫(xiě)出解決這個(gè)問(wèn)題的主要步驟及估算方法.

【策略方法】本題要熟悉概率的意義、概率的計(jì)算方法、根據(jù)概率估計(jì)樣本中個(gè)體的數(shù)目.

【解答】（1）觀(guān)察表格得摸到白球的頻率將會(huì)接近0.6；

（2）摸到白球的概率是0.6；摸到黑球的概率是1-0.6=0.4；

（3）∵20×0.6=12，20×0.4=8，∴黑球8個(gè)，白球12個(gè)；

（4）①先從不透明的口袋里摸出a個(gè)白球，都涂上顏色（如黑色），然后放回口袋里，攪拌均勻；②將攪勻后的球從中隨機(jī)摸出一個(gè)記下顏色，再把它放回袋中，不斷大量重復(fù)n次，記錄摸出黑球頻數(shù)為b；③根據(jù)用頻數(shù)估計(jì)概率的方法可得出白球數(shù)為

【方法總結(jié)】概率意義和概率的估算是有區(qū)別的，知道概率意義還要了解它在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，要能在實(shí)際問(wèn)題運(yùn)用中應(yīng)用概率相關(guān)知識(shí)進(jìn)行解讀和估算.

解題策略和方法是我們?cè)诮忸}實(shí)踐中要仔細(xì)感悟的，研讀題目，聯(lián)想知識(shí)，思考方法，體會(huì)策略，只要我們堅(jiān)持不懈做下去，我們?cè)诮忸}能力上一定會(huì)有很大的提高.

（作者單位:江蘇省淮安曙光雙語(yǔ)學(xué)校）