運用概率幫你做估計和計算收費

韓寶華

現(xiàn)實生活中，很多時候無法用普查來統(tǒng)計數(shù)據(jù).這時，我們常常請概率這個好朋友來幫我們做估計，幫助我們進(jìn)行決策.

例1在一個不透明的布袋中，紅球、黑球、白球共有若干個，除顏色外，形狀、大小、質(zhì)地等完全相同.小新從布袋中隨機(jī)摸出一球，記下顏色后放回布袋中，搖勻后再隨機(jī)摸出一球，記下顏色……如此大量摸球?qū)嶒灪?，小新發(fā)現(xiàn)其中摸出紅球的頻率穩(wěn)定于20%，摸出黑球的頻率穩(wěn)定于50%.對此實驗，他總結(jié)出下列結(jié)論：①若進(jìn)行大量摸球?qū)嶒?，摸出白球的頻率應(yīng)穩(wěn)定于30%；②若從布袋中任意摸出一個球，該球是黑球的概率最大；③若再摸球100次，必有20次摸出的球是紅球.其中說法正確的是（）.

A.①②③ B.①② C.①③ D.②③

【解析】當(dāng)實驗次數(shù)很大時，事件發(fā)生的頻率穩(wěn)定于一個值，這時我們用頻率作為概率的估計值.

摸出紅球的頻率穩(wěn)定于20%，則摸出紅球的概率是20%，同樣摸出黑球的概率是50%.因為每次要摸出一個球，這個球的顏色一定是紅球、黑球或白球中的一個，所以分別摸出紅球、白球、黑球的概率和為100%，則摸出白球的概率為100%-20%-50%=30%.所以①②正確.只有當(dāng)實驗次數(shù)足夠大時，方可用頻率來估計概率，在有限次的實驗中，不能用頻率進(jìn)行準(zhǔn)確的計算，只能說可能有20次摸出的是紅球，而不是一定有20次，故③錯誤.

例2為估計魚塘中魚的數(shù)量，先從魚塘中捕撈30條魚做上標(biāo)記，然后放回魚塘.經(jīng)過一段時間，待有標(biāo)記的魚完全混合于魚群后，再從中多次捕撈，并計算得平均每200條魚中帶有標(biāo)記的魚有5條.試估計該魚塘中魚的數(shù)量.

【解析】設(shè)該魚塘中有魚x條，由多次捕撈，并計算得平均每200條魚中帶有標(biāo)記的魚有5條.可算得帶有標(biāo)記的魚的頻率為并把它作為捕到帶有標(biāo)記魚的概率的估計值，則由P（捕到帶有標(biāo)記的魚）=得x=1200（條）.

例3如果事件A發(fā)生的概率是那么下列推斷，哪幾個是正確的？

（1）做100次這種試驗，事件A必發(fā)生5次；

（2）大量重復(fù)做這種試驗，事件A平均每100次發(fā)生5次；

（3）做100次這種試驗，事件A不可能發(fā)生6次.

【解析】因為事件A發(fā)生是隨機(jī)的，所以做100次這種試驗，事件A發(fā)生的次數(shù)不一定是5次，0次到100次都有可能.只有在大量重復(fù)地做這種試驗的基礎(chǔ)上，事件A平均每100次發(fā)生5次.所以（1）（3）錯誤，只有（2）正確.

例4某航空公司的保險合同上有這樣一個條款：飛機(jī)一旦失事，將向每名乘客賠償人民幣50萬元，但保險公司需向每名乘客收取保險費20元.如果該航空公司航班平均每次約有120名乘客，那么在n次飛行中，平均來說，當(dāng)飛機(jī)失事的概率不超過多少時，才能保證保險公司的收入不小于支出？

【解析】設(shè)飛機(jī)失事的概率為x，在n次飛行中，平均失事nx次，平均賠償120×50×nx萬元，n次飛行中共收取保險費120×20n元，因為要使得收入不小于支出，所以可列不等式120×500000×nx≤120×20n.

小試身手

1.在一個不透明的盒子中裝有a個除顏色外完全相同的球，這a個球中只有3個紅球，若每次將球充分?jǐn)噭蚝螅我饷?個球記下顏色再放回盒子.通過大量重復(fù)試驗后，發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率穩(wěn)定在20%左右，則a的值約為（）.

A.12B.15C.18D.21

2.生物學(xué)家估計某一地區(qū)的野鹿總數(shù)時，常采用“捉放捉”方法，即先捕捉野鹿n只，分別給它們做上記號，然后放歸；一段時間后，重新捕捉一些野鹿作為樣本.如果多次捕捉到的野鹿中平均每m只有a只帶有記號，試估計該地區(qū)野鹿的只數(shù)為.（用含m、n、a的代數(shù)式表示）

3.假設(shè)某航班平均每次約有100名乘客，飛機(jī)失事的概率P=0.000 05.一家保險公司要為乘客上保險，承諾飛機(jī)一旦失事，將向每名乘客賠償人民幣40萬元.平均來說，保險公司應(yīng)該如何收取保險費呢？

4.某商場為吸引顧客，設(shè)立了一個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤，并規(guī)定：每購買100元商品可以獲得一次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的機(jī)會；如果轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時，指針正好落在紅、綠、黃區(qū)域，那么顧客可以分別獲得80元、30元、10元購物券；如果不愿轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤，那么可以直接獲得10元購物券.設(shè)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時，指針正好落在紅、綠、黃區(qū)域的概率依次為0.1、0.15、0.25.

（1）平均來說，每轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤1次所獲購物券的金額是多少？

（2）小明在家也做了一個同樣的試驗，轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤10次后共得購物券90元.據(jù)此，小明認(rèn)為，還是直接領(lǐng)取10元購物券合算.你同意他的說法嗎？

（作者單位：江蘇省淮安朱橋中學(xué)）