金 潔●
浙江省杭州第二中學(xué)(310000)
?
“直線與圓的位置關(guān)系”教學(xué)實(shí)錄與思考
金 潔●
浙江省杭州第二中學(xué)(310000)
教材是實(shí)施教學(xué),實(shí)現(xiàn)課程目標(biāo)的重要資源.為了更好地發(fā)揮教材的作用,需要有計(jì)劃、有目標(biāo)、有側(cè)重,靈活有效地組織教學(xué),拓展教學(xué)空間,這就需要對(duì)教材進(jìn)行二次開發(fā),變“教教材”為用“教材教”,從而更好地促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)探究學(xué)習(xí).筆者以“直線與圓的位置關(guān)系”課堂實(shí)錄為例,反思教學(xué)中如何重視教材、挖掘教材、創(chuàng)造性地開發(fā)教材.
直線與圓的位置關(guān)系;教學(xué);實(shí)錄;反思
一艘輪船在沿直線返回港口的途中,接到氣象臺(tái)的臺(tái)風(fēng)預(yù)報(bào):臺(tái)風(fēng)中心位于輪船正西60km處,受影響的范圍是半徑長(zhǎng)為40km的圓形區(qū)域.已知港口A位于臺(tái)風(fēng)中心正北45km處,如果這艘輪船不改變航線,那么它是否會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響?(由課本引例改編)
師:若不建立直角坐標(biāo)系,你能解決該問題嗎?
生:利用相似三角形性質(zhì),得到相似比,進(jìn)而求出臺(tái)風(fēng)中心到航線的距離,與臺(tái)風(fēng)半徑進(jìn)行比較,判斷是否受影響.
師:引導(dǎo)學(xué)生建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系,取10km為單位長(zhǎng)度,寫出圓方程及航線所在直線方程,問題轉(zhuǎn)化為直線與圓的位置關(guān)系.
生:方法一,圓心到直線距離與半徑關(guān)系來(lái)判斷;
方法二,聯(lián)立方程組,通過(guò)方程根的情況來(lái)判斷直線與圓交點(diǎn)個(gè)數(shù).
師:通過(guò)建立直角坐標(biāo)系,我們將幾何問題代數(shù)化,通過(guò)代數(shù)計(jì)算來(lái)解釋幾何問題.
反思:筆者起初也考慮過(guò)利用作家巴金《海上日出》的視頻片段作為課堂的引入,可以營(yíng)造良好的教學(xué)氣氛,體會(huì)數(shù)學(xué)的人文內(nèi)涵.新課標(biāo)的理念之一是強(qiáng)調(diào)“數(shù)學(xué)是有用的”,選擇教材中的“臺(tái)風(fēng)”問題作為引入,恰好體現(xiàn)了這一理念,同時(shí)也能很好地體現(xiàn)數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活、生產(chǎn)中的重要價(jià)值,
其次,該問題,課本在旁批處追問“若不建立直角坐標(biāo)系,你能解決該問題嗎?”意在讓學(xué)生體會(huì)幾何問題代數(shù)化的過(guò)程.在學(xué)習(xí)了直線及圓方程的基礎(chǔ)上,解決“臺(tái)風(fēng)”問題可通過(guò)建立合理的坐標(biāo)系,利用坐標(biāo)方法求解,這正是解析幾何的核心思想方法.解析幾何的初始學(xué)習(xí)階段,強(qiáng)化和滲透笛卡爾的坐標(biāo)法應(yīng)該是必要的.意在讓學(xué)生將坐標(biāo)方法與歐氏幾何方法做對(duì)比.
還可以將該引例做變式提問“若不改變航線,受臺(tái)風(fēng)影響的時(shí)間有多久?”“為避開臺(tái)風(fēng),如何設(shè)計(jì)航線?”考慮到課堂的教學(xué)時(shí)間有限,可以將某些比較開放的問題延伸至課外探究.
師:通過(guò)剛才解決問題的過(guò)程,我們可以總結(jié)如何判斷直線和圓的位置關(guān)系.
生1:利用點(diǎn)到直線距離公式求得弦心距,通過(guò)比較弦心距和半徑的關(guān)系確定直線和圓的位置關(guān)系.
生2:聯(lián)立方程組,通過(guò)對(duì)方程根的情況的判斷,確定直線和圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù).
教師總結(jié),并用圖表的形式強(qiáng)調(diào)知識(shí)點(diǎn).
師:直線和圓的三種幾何關(guān)系,我們都可以通過(guò)不同程度的代數(shù)計(jì)算來(lái)刻畫.
例1 (課本例題改編)已知直線l:3x+y-6=0和圓心為C的圓x2+y2-2y-4=0,判斷直線l與圓的位置關(guān)系;如果相交,求它們的交點(diǎn)坐標(biāo)及弦長(zhǎng).
師(追問):你能求出弦|AB|的長(zhǎng)嗎?
師(追問):在不求出交點(diǎn)坐標(biāo)的情況下,能否求出弦|AB|的長(zhǎng)呢?
師:當(dāng)直線和圓相交時(shí),我們?cè)谘芯拷稽c(diǎn)、弦長(zhǎng)的過(guò)程中,使用了兩種方法,能否請(qǐng)同學(xué)們談?wù)勥@兩種方法在解決問題時(shí)的特點(diǎn)嗎?
生1:方法一簡(jiǎn)單,計(jì)算量也小,解決問題時(shí)應(yīng)充分利用圓的幾何性質(zhì).
生2:求交點(diǎn)坐標(biāo)的方法可以不依賴圖形.
師:充分利用圓的幾何性質(zhì),抓住圓心與弦中點(diǎn)構(gòu)成的直角三角形,可以簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程,通過(guò)計(jì)算點(diǎn)到直線距離,并與半徑大小作比較,將幾何問題進(jìn)行了代數(shù)刻畫、定量分析.另一位同學(xué)將直線與圓聯(lián)立方程,通過(guò)消元,方程的根即圖形交點(diǎn)的橫坐標(biāo),通過(guò)方程的意義來(lái)刻畫幾何問題中的交點(diǎn)情況.
設(shè)計(jì)意圖:該例題選取課本例1,通過(guò)對(duì)例1的解決和探究,使學(xué)生進(jìn)一步掌握判斷位置關(guān)系的方法,獲得弦長(zhǎng)公式.在求交點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)需要聯(lián)立方程求解,求弦長(zhǎng)則可以利用垂徑定理構(gòu)造直角三角形求解,也可利用方程韋達(dá)定理求解.令學(xué)生體會(huì)坐標(biāo)法的過(guò)程,學(xué)會(huì)用代數(shù)計(jì)算來(lái)解決幾何問題.
例2 (課本例題改編)已知點(diǎn)M(-3,-3)和圓C:x2+y2+4y-21=0.
(1)若過(guò)點(diǎn)M的直線被圓C所截得的弦長(zhǎng)為8,求直線l的方程.
(2)當(dāng)弦被M平分時(shí),求直線l的方程.
師:請(qǐng)同學(xué)點(diǎn)評(píng).
生2:第一問設(shè)直線方程時(shí)沒有考慮斜率不存在的情況,實(shí)際上,當(dāng)x=3時(shí)也符合題意.
師:我們要注意思維的嚴(yán)謹(jǐn),直線點(diǎn)斜式方程有其局限性,解決問題時(shí)不要遺漏斜率不存在的情況.
師(追問):過(guò)M作直線與圓相交,弦長(zhǎng)為8的弦有幾條?所得弦長(zhǎng)AB的取值范圍是多少呢?何時(shí)最短?何時(shí)最長(zhǎng)?
師:過(guò)點(diǎn)M最長(zhǎng)弦及最短弦具有唯一性,除此之外,過(guò)點(diǎn)M弦長(zhǎng)為定值的弦均有兩條.
設(shè)計(jì)意圖:例2仍選自課本,但做了改編,令符合條件的其中一條直線斜率不存在,此處設(shè)計(jì)的目的,是為了警示學(xué)生在設(shè)直線點(diǎn)斜式方程時(shí)常常出現(xiàn)遺漏的錯(cuò)誤,同時(shí)從幾何角度解釋,過(guò)圓內(nèi)一定點(diǎn)的弦,其中以定點(diǎn)為中點(diǎn)的弦最短,過(guò)定點(diǎn)及圓心的弦(即直徑)最長(zhǎng),除此之外等長(zhǎng)的弦有兩條.進(jìn)一步令學(xué)生體會(huì)幾何直觀給我們的研究明確了方向,代數(shù)定量計(jì)算常常同幾何定性分析互為補(bǔ)充,培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的思想方法,形成嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)的學(xué)習(xí)態(tài)度.
師:同學(xué)們考慮若點(diǎn)M為圓上一點(diǎn),如何求圓的切線方程?若點(diǎn)M為圓外一點(diǎn),又如何求圓的切線方程?
例2 (變式) 已知圓C:x2+y2+4y-21=0.(1)求過(guò)點(diǎn)M(4,1)的圓的切線方程;(2)求過(guò)點(diǎn)N(5,4)的圓的切線方程.
生2:由平面幾何知識(shí)可知,過(guò)圓外一點(diǎn)應(yīng)有兩條圓的切線,點(diǎn)N(5,4)在圓外,怎么會(huì)只有一條切線呢?
生3:在代數(shù)求解的過(guò)程中,設(shè)切線的點(diǎn)斜式方程有局限性,遺漏了直線斜率不存在的情況,所以過(guò)點(diǎn)N(5,4)的切線應(yīng)為11x-60y+185=0和x=5.
師:代數(shù)計(jì)算和幾何直觀互為補(bǔ)充能令問題更為清晰明朗.在運(yùn)用直線方程時(shí)要謹(jǐn)記各方程的局限性,避免漏解.
師:另外,可否得到一般結(jié)論?請(qǐng)同學(xué)們探討過(guò)圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2上一點(diǎn)P(x0,y0)的切線方程.
生1:已知圓心坐標(biāo)為C(a,b),切點(diǎn)P(x0,y0),設(shè)切線上任一點(diǎn)Q(x,y),由平面幾何性質(zhì)可知,PQ⊥PC,①當(dāng)x0=a時(shí),y=y0.
綜上所述過(guò)圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2上一點(diǎn)P(x0,y0)處的切線方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.
師:第一位同學(xué)利用切線的幾何性質(zhì),用坐標(biāo)表達(dá)垂直關(guān)系,得到切線方程.第二位同學(xué)結(jié)合向量數(shù)量積的幾何意義,通過(guò)向量的坐標(biāo)運(yùn)算得到動(dòng)點(diǎn)軌跡.我們體會(huì)到了從幾何到代數(shù)的過(guò)程,將幾何問題代數(shù)化,用代數(shù)語(yǔ)言描述幾何要素及其關(guān)系,進(jìn)而將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題.
接下來(lái)請(qǐng)同學(xué)們思考:若點(diǎn)P(x0,y0)為圓外一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P的圓的切線有兩條,則方程(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2的幾何意義是什么?
師:該問題令我們思考代數(shù)方程背后的幾何意義.解析法,即通過(guò)數(shù)形結(jié)合,完成代數(shù)和幾何之間的相互轉(zhuǎn)化.
設(shè)計(jì)意圖:對(duì)課本例2的變式設(shè)計(jì),令問題層層遞進(jìn)深入.進(jìn)一步探究圓的切線問題,在此過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想,體會(huì)一個(gè)幾何對(duì)象用代數(shù)方式完全刻畫,幾何概念可以表示為代數(shù)的形式,幾何目標(biāo)可以通過(guò)代數(shù)方法來(lái)達(dá)到;反之,代數(shù)語(yǔ)言得到了幾何解釋,從而代數(shù)語(yǔ)言有了直觀意義,從中得到啟發(fā)而提出新的結(jié)論.
本課的教學(xué)目標(biāo)是使學(xué)生能夠根據(jù)直線與圓的方程,判斷直線與圓的位置關(guān)系,充分體會(huì)解析幾何的核心思想——坐標(biāo)法,培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合思想,令學(xué)生感悟幾何和代數(shù)的密不可分.“只要代數(shù)與幾何分道揚(yáng)鑣,它們的進(jìn)展就緩慢,它們的應(yīng)用就狹窄.但是當(dāng)這兩門科學(xué)結(jié)成伴侶時(shí),它們就互相吸取新鮮的活力,就以快速的步伐走向完善.”
教學(xué)設(shè)計(jì)充分利用教材資源,深層挖掘,由淺入深地推進(jìn)課堂.著名的數(shù)學(xué)教育家波利亞曾形象地指出:“好問題同某種蘑菇有些相像,它們都成堆地生長(zhǎng),找到一個(gè)以后,你應(yīng)當(dāng)在周圍找一找,很可能附近就有好幾個(gè).”由教材的基本問題出發(fā),設(shè)計(jì)問題串,引導(dǎo)學(xué)生更多地參與投入到探究中,有效地理解和掌握學(xué)科知識(shí),激發(fā)學(xué)習(xí)的好奇心及挑戰(zhàn)欲.讓學(xué)生在探究解決問題的過(guò)程中獲取新知識(shí),潛移默化地形成思想方法,培養(yǎng)數(shù)學(xué)化的思維方式.
在教學(xué)過(guò)程中,尊重學(xué)生的主體作用,體現(xiàn)教師的引導(dǎo)功能,激發(fā)學(xué)生自主探究,教師適時(shí)總結(jié)提升.給學(xué)生充足的思維空間,通過(guò)對(duì)話和交流引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立探索、發(fā)現(xiàn)規(guī)律和建構(gòu)知識(shí),力求讓學(xué)生達(dá)成探究性理解.總之,守本和創(chuàng)新是相輔相成的,教師扎根于教材的同時(shí),發(fā)揮創(chuàng)造力的課堂設(shè)計(jì)才是我們追求的方向.
G632
B
1008-0333(2016)24-0004-02