金 潔●

浙江省杭州第二中學(310000)

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“直線與圓的位置關(guān)系”教學實錄與思考

金 潔●

浙江省杭州第二中學(310000)

教材是實施教學，實現(xiàn)課程目標的重要資源.為了更好地發(fā)揮教材的作用，需要有計劃、有目標、有側(cè)重，靈活有效地組織教學，拓展教學空間，這就需要對教材進行二次開發(fā)，變“教教材”為用“教材教”，從而更好地促進學生主動探究學習.筆者以“直線與圓的位置關(guān)系”課堂實錄為例，反思教學中如何重視教材、挖掘教材、創(chuàng)造性地開發(fā)教材.

直線與圓的位置關(guān)系；教學；實錄；反思

一、實際問題引入，激發(fā)學習興趣，培養(yǎng)數(shù)學能力

一艘輪船在沿直線返回港口的途中，接到氣象臺的臺風預報：臺風中心位于輪船正西60km處，受影響的范圍是半徑長為40km的圓形區(qū)域.已知港口A位于臺風中心正北45km處，如果這艘輪船不改變航線，那么它是否會受到臺風的影響？(由課本引例改編)

師：若不建立直角坐標系，你能解決該問題嗎？

生：利用相似三角形性質(zhì)，得到相似比，進而求出臺風中心到航線的距離，與臺風半徑進行比較，判斷是否受影響.

師：引導學生建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?，?0km為單位長度，寫出圓方程及航線所在直線方程，問題轉(zhuǎn)化為直線與圓的位置關(guān)系.

生：方法一，圓心到直線距離與半徑關(guān)系來判斷；

方法二，聯(lián)立方程組，通過方程根的情況來判斷直線與圓交點個數(shù).

師：通過建立直角坐標系，我們將幾何問題代數(shù)化，通過代數(shù)計算來解釋幾何問題.

反思：筆者起初也考慮過利用作家巴金《海上日出》的視頻片段作為課堂的引入，可以營造良好的教學氣氛，體會數(shù)學的人文內(nèi)涵.新課標的理念之一是強調(diào)“數(shù)學是有用的”，選擇教材中的“臺風”問題作為引入，恰好體現(xiàn)了這一理念，同時也能很好地體現(xiàn)數(shù)學在現(xiàn)實生活、生產(chǎn)中的重要價值，

其次，該問題，課本在旁批處追問“若不建立直角坐標系，你能解決該問題嗎？”意在讓學生體會幾何問題代數(shù)化的過程.在學習了直線及圓方程的基礎(chǔ)上，解決“臺風”問題可通過建立合理的坐標系，利用坐標方法求解，這正是解析幾何的核心思想方法.解析幾何的初始學習階段，強化和滲透笛卡爾的坐標法應(yīng)該是必要的.意在讓學生將坐標方法與歐氏幾何方法做對比.

還可以將該引例做變式提問“若不改變航線，受臺風影響的時間有多久？”“為避開臺風，如何設(shè)計航線？”考慮到課堂的教學時間有限，可以將某些比較開放的問題延伸至課外探究.

二、學生主體探究，教師引導總結(jié)，形成新知識

師：通過剛才解決問題的過程，我們可以總結(jié)如何判斷直線和圓的位置關(guān)系.

生1：利用點到直線距離公式求得弦心距，通過比較弦心距和半徑的關(guān)系確定直線和圓的位置關(guān)系.

生2：聯(lián)立方程組，通過對方程根的情況的判斷，確定直線和圓的交點個數(shù).

教師總結(jié)，并用圖表的形式強調(diào)知識點.

師：直線和圓的三種幾何關(guān)系，我們都可以通過不同程度的代數(shù)計算來刻畫.

三、依據(jù)典型例題，搭建探究實踐的問題階梯

例1 (課本例題改編)已知直線l:3x+y-6=0和圓心為C的圓x2+y2-2y-4=0，判斷直線l與圓的位置關(guān)系；如果相交，求它們的交點坐標及弦長.

師(追問)：你能求出弦|AB|的長嗎？

師(追問)：在不求出交點坐標的情況下，能否求出弦|AB|的長呢？

師：當直線和圓相交時，我們在研究交點、弦長的過程中，使用了兩種方法，能否請同學們談?wù)勥@兩種方法在解決問題時的特點嗎？

生1：方法一簡單，計算量也小，解決問題時應(yīng)充分利用圓的幾何性質(zhì).

生2：求交點坐標的方法可以不依賴圖形.

師：充分利用圓的幾何性質(zhì)，抓住圓心與弦中點構(gòu)成的直角三角形，可以簡化計算過程，通過計算點到直線距離，并與半徑大小作比較，將幾何問題進行了代數(shù)刻畫、定量分析.另一位同學將直線與圓聯(lián)立方程，通過消元，方程的根即圖形交點的橫坐標，通過方程的意義來刻畫幾何問題中的交點情況.

設(shè)計意圖：該例題選取課本例1，通過對例1的解決和探究，使學生進一步掌握判斷位置關(guān)系的方法，獲得弦長公式.在求交點坐標時需要聯(lián)立方程求解，求弦長則可以利用垂徑定理構(gòu)造直角三角形求解，也可利用方程韋達定理求解.令學生體會坐標法的過程，學會用代數(shù)計算來解決幾何問題.

例2 (課本例題改編)已知點M(-3,-3)和圓C:x2+y2+4y-21=0.

(1)若過點M的直線被圓C所截得的弦長為8，求直線l的方程.

(2)當弦被M平分時，求直線l的方程.

師：請同學點評.

生2：第一問設(shè)直線方程時沒有考慮斜率不存在的情況，實際上，當x=3時也符合題意.

師：我們要注意思維的嚴謹，直線點斜式方程有其局限性，解決問題時不要遺漏斜率不存在的情況.

師(追問)：過M作直線與圓相交，弦長為8的弦有幾條？所得弦長AB的取值范圍是多少呢？何時最短？何時最長？

師：過點M最長弦及最短弦具有唯一性，除此之外，過點M弦長為定值的弦均有兩條.

設(shè)計意圖：例2仍選自課本，但做了改編，令符合條件的其中一條直線斜率不存在，此處設(shè)計的目的，是為了警示學生在設(shè)直線點斜式方程時常常出現(xiàn)遺漏的錯誤，同時從幾何角度解釋，過圓內(nèi)一定點的弦，其中以定點為中點的弦最短，過定點及圓心的弦(即直徑)最長，除此之外等長的弦有兩條.進一步令學生體會幾何直觀給我們的研究明確了方向，代數(shù)定量計算常常同幾何定性分析互為補充，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的思想方法，形成嚴謹治學的學習態(tài)度.

師：同學們考慮若點M為圓上一點，如何求圓的切線方程？若點M為圓外一點，又如何求圓的切線方程？

例2 (變式) 已知圓C:x2+y2+4y-21=0.(1)求過點M(4,1)的圓的切線方程；(2)求過點N(5,4)的圓的切線方程.

生2：由平面幾何知識可知，過圓外一點應(yīng)有兩條圓的切線，點N(5,4)在圓外，怎么會只有一條切線呢？

生3：在代數(shù)求解的過程中，設(shè)切線的點斜式方程有局限性，遺漏了直線斜率不存在的情況，所以過點N(5,4)的切線應(yīng)為11x-60y+185=0和x=5.

師：代數(shù)計算和幾何直觀互為補充能令問題更為清晰明朗.在運用直線方程時要謹記各方程的局限性，避免漏解.

師：另外，可否得到一般結(jié)論？請同學們探討過圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2上一點P(x0,y0)的切線方程.

生1：已知圓心坐標為C(a,b)，切點P(x0,y0)，設(shè)切線上任一點Q(x,y)，由平面幾何性質(zhì)可知，PQ⊥PC，①當x0=a時，y=y0.

綜上所述過圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2上一點P(x0,y0)處的切線方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.

師：第一位同學利用切線的幾何性質(zhì)，用坐標表達垂直關(guān)系，得到切線方程.第二位同學結(jié)合向量數(shù)量積的幾何意義，通過向量的坐標運算得到動點軌跡.我們體會到了從幾何到代數(shù)的過程，將幾何問題代數(shù)化，用代數(shù)語言描述幾何要素及其關(guān)系，進而將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題.

接下來請同學們思考：若點P(x0,y0)為圓外一點，過點P的圓的切線有兩條，則方程(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2的幾何意義是什么？

師：該問題令我們思考代數(shù)方程背后的幾何意義.解析法，即通過數(shù)形結(jié)合，完成代數(shù)和幾何之間的相互轉(zhuǎn)化.

設(shè)計意圖：對課本例2的變式設(shè)計，令問題層層遞進深入.進一步探究圓的切線問題，在此過程中培養(yǎng)學生數(shù)形結(jié)合思想，體會一個幾何對象用代數(shù)方式完全刻畫，幾何概念可以表示為代數(shù)的形式，幾何目標可以通過代數(shù)方法來達到；反之，代數(shù)語言得到了幾何解釋，從而代數(shù)語言有了直觀意義，從中得到啟發(fā)而提出新的結(jié)論.

四、教學反思

本課的教學目標是使學生能夠根據(jù)直線與圓的方程，判斷直線與圓的位置關(guān)系，充分體會解析幾何的核心思想——坐標法，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合思想，令學生感悟幾何和代數(shù)的密不可分.“只要代數(shù)與幾何分道揚鑣，它們的進展就緩慢，它們的應(yīng)用就狹窄.但是當這兩門科學結(jié)成伴侶時，它們就互相吸取新鮮的活力，就以快速的步伐走向完善.”

教學設(shè)計充分利用教材資源，深層挖掘，由淺入深地推進課堂.著名的數(shù)學教育家波利亞曾形象地指出：“好問題同某種蘑菇有些相像，它們都成堆地生長，找到一個以后，你應(yīng)當在周圍找一找，很可能附近就有好幾個.”由教材的基本問題出發(fā)，設(shè)計問題串，引導學生更多地參與投入到探究中，有效地理解和掌握學科知識，激發(fā)學習的好奇心及挑戰(zhàn)欲.讓學生在探究解決問題的過程中獲取新知識，潛移默化地形成思想方法，培養(yǎng)數(shù)學化的思維方式.

在教學過程中，尊重學生的主體作用，體現(xiàn)教師的引導功能，激發(fā)學生自主探究，教師適時總結(jié)提升.給學生充足的思維空間，通過對話和交流引導學生獨立探索、發(fā)現(xiàn)規(guī)律和建構(gòu)知識，力求讓學生達成探究性理解.總之，守本和創(chuàng)新是相輔相成的，教師扎根于教材的同時，發(fā)揮創(chuàng)造力的課堂設(shè)計才是我們追求的方向.

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