劉保華

(江西上饒中學(xué) 江西上饒 334000)

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物理問(wèn)題討論

有效值都是最大值除以槡2嗎
——— 關(guān)于正弦式交流“兩值”關(guān)系成立條件的討論

劉保華

(江西上饒中學(xué) 江西上饒 334000)

正余弦式交流電 有效值 推導(dǎo) 追根溯源

1 問(wèn)題

【例題】如圖1所示，面積為S的矩形線圈共N匝，線圈總電阻為R，在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中以豎直線OO′為軸，以角速度ω勻速旋轉(zhuǎn)，圖示位置C與紙面共面，位置A與位置C成45°角．線圈從位置A轉(zhuǎn)過(guò)90°到達(dá)位置B的過(guò)程中，下列說(shuō)法正確的是

圖1

D.在此轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，電流方向會(huì)發(fā)生改變

圖2

筆者認(rèn)為此法不對(duì).

為了弄清這個(gè)問(wèn)題，我們有必要推導(dǎo)一下正弦式交流電有效值與最大值的關(guān)系.

2 有效值與最大值的關(guān)系

正弦式交流電有效值與最大值之間關(guān)系的推導(dǎo)許多版本的教材[1]、期刊[2]都有方法介紹，但這些推導(dǎo)多考慮高中數(shù)學(xué)知識(shí)局限，采用初等數(shù)學(xué)或技巧性更強(qiáng)的方法，沒(méi)有去追根溯源探究，筆者認(rèn)為不能從本質(zhì)上解決問(wèn)題.由于新課改后，高中數(shù)學(xué)已經(jīng)引入了初等微積分，為此用積分方法，不失為一種根本解決問(wèn)題之道.

2.1 有效值的推導(dǎo)

正弦式交流電的瞬時(shí)值為

i(t)=Imsinωt

u(t)=Umsinωt

該交流電的瞬時(shí)功率也隨時(shí)間變化

P(t)=ui=Umsinωt·Imsinωt=

(1)

通常功率在一個(gè)比較長(zhǎng)的時(shí)間內(nèi)才有意義，對(duì)一個(gè)隨時(shí)間變化的函數(shù)來(lái)說(shuō)，它在某段時(shí)間里的平均值應(yīng)該等于該函數(shù)對(duì)時(shí)間積分后，除以時(shí)間間隔.因此該交流電一個(gè)周期T內(nèi)平均功率

如果讓該交流電通過(guò)電阻R，在一個(gè)周期T內(nèi)產(chǎn)生的焦耳熱Q可以表示為

(2)

(3)

即

(4)

根據(jù)交流電定義，此時(shí)如果讓一直流電通過(guò)同一個(gè)電阻R，在一個(gè)周期T內(nèi)產(chǎn)生的焦耳熱也同為Q，則

(5)

對(duì)比式(4)、(5)兩式，可得該交流電的有效值

所以時(shí)間段Δt=t2-t1內(nèi)，必須

(6)

2.3 問(wèn)題中C選項(xiàng)的正解

(7)

(8)

對(duì)比式(7)、(8)，可得這段時(shí)間內(nèi)該交變電流的有效值

3 結(jié)束語(yǔ)

1 張大同.(創(chuàng)新班和理科班) 物理 高中(下冊(cè)).上海:上海教育出版社,2013. 194～195

2 許文.探究正弦交流電有效值與最大值的關(guān)系.物理通報(bào)，2011(5)：29～30

3 人民教育出版社,課程教材研究所,物理課程教材研究開(kāi)發(fā)中心.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū) 物理·選修3-2 教師用書(shū). 北京：人民教育出版社，2011.100～103

劉保華(1980- )，男，中教一級(jí)，主要從事高中物理教學(xué)工作．

2015-09-09)