肖 文

(望江縣第二中學(xué) 安徽 安慶 246200)

陳 澤

(江蘇省鹽城中學(xué) 江蘇 鹽城 224005)

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談“極限”思想及其求速度加速度的應(yīng)用

肖 文

(望江縣第二中學(xué) 安徽 安慶 246200)

陳 澤

(江蘇省鹽城中學(xué) 江蘇 鹽城 224005)

結(jié)合物理學(xué)科知識，介紹了物理學(xué)中的“極限”思想，并通過運(yùn)動(dòng)學(xué)中的兩個(gè)典型例題,詳細(xì)分析了“極限”思想求解物體的瞬時(shí)速度、瞬時(shí)加速度的方法與思路.這種方法只需要學(xué)生具備初等數(shù)學(xué)的知識，就能加深對物理量瞬時(shí)值的理解；同時(shí)，對學(xué)生今后學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的概念也具有重要的啟發(fā)意義.

極限思想 運(yùn)動(dòng)學(xué) 瞬時(shí)值

在高中物理學(xué)習(xí)過程中,經(jīng)常遇到求解物體的瞬時(shí)速度、瞬時(shí)加速度(通常簡稱速度、加速度)的問題，但多數(shù)都集中在勻變速直線運(yùn)動(dòng)中，因而可以應(yīng)用勻變速直線運(yùn)動(dòng)的基本公式、牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律來求解，這屬于典型的動(dòng)力學(xué)問題的求解思路.還有一些則是非勻變速運(yùn)動(dòng)的問題，通常應(yīng)用“微元法”、“矢量分解法”來求解，這種方法的過程較為復(fù)雜，也很難使學(xué)生真正地理解，針對這種方法的難理解性，很有必要尋找其他思想方法來解決這一問題.而“極限”思想求解物體的速度、加速度雖然過程略顯復(fù)雜，但由于具有較強(qiáng)的數(shù)理邏輯性，也更符合高中學(xué)生的認(rèn)知，因此，相對而言更容易被學(xué)生理解；從本質(zhì)上講，“極限”思想求解物體的速度、加速度立足于速度、加速度的原始定義，因此，這種思想方法對于深入理解速度、加速度的概念是非常重要的；另一方面，這一方法涉及的數(shù)學(xué)知識也是中學(xué)生物理競賽要求掌握的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識[1].

以下將結(jié)合物理學(xué)科知識，介紹物理學(xué)中的“極限”思想，著重就運(yùn)動(dòng)學(xué)中的兩個(gè)典型例題，詳細(xì)分析、介紹 “極限”思想求解物體的速度、加速度的方法與思路.

1 物理學(xué)中的“極限”思想

理解了“極限”思想，非常有利于深化對物理概念的認(rèn)識與理解，對于什么是瞬時(shí)速度、什么是瞬時(shí)功率這樣的問題，也許不少學(xué)生會(huì)熟練地回答：物體在運(yùn)動(dòng)過程中某一時(shí)刻或某一位置時(shí)的速度；力與物體的瞬時(shí)速度的乘積.由此可見，學(xué)生對瞬時(shí)速度還是停留在字面上的理解，而對瞬時(shí)功率的理解則是“翻譯”了公式“P=Fv”，從本質(zhì)上講，學(xué)生并沒有真正理解這些概念[2].

由此可見，某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度就是包含該時(shí)刻的極短時(shí)間間隔內(nèi)的平均速度在Δt→0時(shí)的極限.在實(shí)際的物理問題中，這樣的極限當(dāng)然是存在的，可能還有學(xué)生會(huì)問，Δt→0時(shí)，則Δx→0，這樣的比值到底是什么呢？學(xué)生提出這樣的疑問應(yīng)該值得肯定，說明學(xué)生已經(jīng)深入思考過這個(gè)問題， 對于Δt→0時(shí)，則Δx→0這樣的結(jié)論是完全正確的，但兩者趨向于零的速率未必是相同的.舉例來說，如

x(t)=kt

則

Δx=k(t+Δt)-kt=kΔt

那么Δx趨于零的速率是Δt→0的k倍，再如

x(t)=kt2

Δx=k(t+Δt)2-kt2=2ktΔt+kΔt2

忽略二次項(xiàng)kΔt2，則

Δx=k(t+Δt)2-kt2=2ktΔt

同理也可以用“極限”思想來定義瞬時(shí)加速度與瞬時(shí)功率，即

上面兩個(gè)公式分別表示：物體在某一時(shí)刻的瞬時(shí)加速度(簡稱“加速度”)就是包含該時(shí)刻的極短時(shí)間間隔內(nèi)的平均加速度在Δt→0時(shí)的極限；外力在某一時(shí)刻的瞬時(shí)功率(簡稱“功率”)就是包含該時(shí)刻的極短時(shí)間間隔內(nèi)的平均功率在Δt→0時(shí)的極限.對于瞬時(shí)功率的定義式還可以進(jìn)一步寫為

若F與v方向相同時(shí)，cosθ=1，P=Fv(v為瞬時(shí)速度).

在物理學(xué)中，還有許多含時(shí)間t的物理量，往往都是先從平均值談起，只有當(dāng)Δt→0時(shí)的極限才是對應(yīng)的該物理量的瞬時(shí)值.采用類比的思想，還可得到某一時(shí)刻的角速度、電流、感應(yīng)電動(dòng)勢的瞬時(shí)值.表1為中學(xué)物理中常見物理量的瞬時(shí)值的定義.

表1 高中物理中應(yīng)用“極限”思想定義的常見物理量瞬時(shí)值一覽表

物理量定義式Δt為有限值時(shí)的含義Δt→0時(shí)的含義v=ΔxΔtΔt內(nèi)的平均速度t時(shí)刻的速度a=ΔvΔtΔt內(nèi)的平均加速度t時(shí)刻的加速度P=ΔWΔtΔt內(nèi)的平均功率t時(shí)刻的功率ω=ΔθΔtΔt內(nèi)的平均角速度t時(shí)刻的角速度I=ΔqΔtΔt內(nèi)的平均電流t時(shí)刻的電流E=ΔΦΔtΔt內(nèi)的平均感應(yīng)電動(dòng)勢t時(shí)刻的感應(yīng)電動(dòng)勢

2 “極限”思想求速度和加速度的應(yīng)用

2.1 滑輪組和繩類連接體問題

【例1】如圖1所示，滑輪組由3個(gè)尺寸完全相同的小滑輪與一尺寸較大的大滑輪組成，物體A和B分別具有向下的加速度aA和aB，物體C具有向上的加速度aC，求aA，aB，aC之間的關(guān)系.

圖1

分析與解：由于繞在滑輪組上面的繩的長度是固定的，不妨令繩總長度為l，同時(shí)整個(gè)系統(tǒng)僅涉及到豎直方向上的運(yùn)動(dòng)，建立如圖1所示的豎直向下的坐標(biāo)系Oy，則繩子的總長度可用A，B，C的位置及一些常量表示出來，從圖1中不難看出

l=(yA-lA+πr)+2(yB-lB-lA)+πr+

(πr+yC-lA-lC+πR+yC-yB-lC)

式中yA，yB，yC分別表示物體A，B，C的位置，顯然yA，yB，yC是隨著時(shí)間變化的；r，R為小滑輪的半徑和大滑輪的半徑，lA，lB，lC為3個(gè)固定距離.因此有

l=(yA+yB+2yC)+(πR+3πr-4lA-

2lB-2lC)=(yA+yB+2yC)+c

其中

c=πR+3πr-4lA-2lB-2lC=const

(“const”表示常量)

在t時(shí)刻

l=l(t)=yA(t)+yB(t)+2yC(t)+c

(1)

在t+Δt(Δt→0)時(shí)刻

l=l(t+Δt)=

yA(t+Δt)+yB(t+Δt)+

2yC(t+Δt)+c

(2)

式(2)減去式(1)得

[yA(t+Δt)-yA(t)]+[yB(t+Δt)-yB(t)]+

2[yC(t+Δt)-yC(t)]=0

(3)

式(3)除以Δt后兩邊取極限得

根據(jù)

得

vA+vB+2vC=0

(4)

同理有

進(jìn)一步得出

aA+aB+2aC=0

因此有

式中“-”表示物體C的加速度與物體A,B的加速度方向相反.

2.2 桿滑動(dòng)問題

【例2】如圖2所示，一桿長為l，擱在墻上，其下端端點(diǎn)A以恒定速度v向右滑動(dòng)，當(dāng)桿滑到與水平面成角α?xí)r，求桿上端端點(diǎn)B沿墻下滑的速度與加速度大小.

圖2

分析與解：這是一道常見的物理題，只是關(guān)于桿上端端點(diǎn)B沿墻下滑的加速度大小的求法在習(xí)題中較為少見，若利用“極限”思想，學(xué)生只需要具備了初等數(shù)學(xué)的知識，就能順利求出端點(diǎn)B沿墻下滑的加速度大小.由于桿的長度不變，同時(shí)整個(gè)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)涉及到水平與豎直兩個(gè)方向，因此可以建立如圖2所示的二維直角坐標(biāo)系xOy,在t時(shí)刻A,B的坐標(biāo)分別為xA(t)=xA,yB(t)=yB，桿與水平面之間的夾角為θ，根據(jù)題意有

在t時(shí)刻

[xA(t)]2+[yB(t)]2=l2

(5)

在t+Δt(Δt→0)時(shí)刻

[xA(t+Δt)]2+[yB(t+Δt)]2=l2

(6)

此時(shí)，如圖所示A和B的坐標(biāo)分別變?yōu)閤A+ΔxA和yB+ΔyB(其中ΔyB<0).

式(6)減去式(5)得

[xA(t+Δt)]2-[xA(t)]2+[yB(t+Δt)]2-

[yB(t)]2=0

(7)

式(7)除以Δt后兩邊取極限得

得

2xAvA+2yBvB=0

即

vB(t)=-vcotθ

當(dāng)θ=α?xí)r

vB(t)=-vcotα

式中“-”表示物體B的速度沿著Oy軸負(fù)方向.

如圖2所示,在t+Δt(Δt→0)時(shí)刻，θ變?yōu)棣?Δθ(其中Δθ<0)得

xA(t)=xA=lcosθ

xA(t+Δt)=lcos(θ+Δθ)

則有

由于

因此

則

當(dāng)θ=α?xí)r

按照上面介紹的這種“極限”思想求解桿滑動(dòng)問題中的一端點(diǎn)加速的思路也可以用在解決與此類似的物理問題.

3 結(jié)語

通過介紹物理學(xué)中的“極限”思想，進(jìn)一步詳細(xì)分析了“極限思想”求解物體的瞬時(shí)速度、瞬時(shí)加速度的方法與思路，學(xué)生只需要具備初等數(shù)學(xué)的知識，就能加深對物理量瞬時(shí)值的理解；理解了“極限”思想，對學(xué)生今后學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的概念也具有重要的啟發(fā)意義.

1 全國中學(xué)生物理競賽委員會(huì).全國中學(xué)生物理競賽專輯2014.北京：北京大學(xué)出版社,2014.6,12

2 人民教育出版社課程教材研究所,物理課程教材研究開發(fā)中心.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書 物理·必修1(第3版).北京：人民教育出版社,2010.4,16

3 王溢然.中學(xué)物理思維方法叢書：數(shù)學(xué)物理法卷 .鄭州：大象出版社,1999.9,177～178

4 張筑生.數(shù)學(xué)分析新講(第一冊).北京：北京大學(xué)出版社1990.1,97～98

2015-09-29)