蔡支坤 王笑君

(華南師范大學(xué)物理與電信工程學(xué)院 廣東 廣州 510006)

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運(yùn)用質(zhì)心系解決兩體碰撞問(wèn)題

蔡支坤 王笑君

(華南師范大學(xué)物理與電信工程學(xué)院 廣東 廣州 510006)

將以質(zhì)心坐標(biāo)系為橋梁解決兩體碰撞問(wèn)題.先推導(dǎo)出兩物體碰撞前的速度在質(zhì)心系中的表達(dá)，然后推導(dǎo)出兩物體碰撞后速度在質(zhì)心系中的表達(dá)，最后運(yùn)用相對(duì)性原理計(jì)算出兩物體碰撞后速度在一般慣性參考系中的表達(dá)，從而建立起了兩物體碰撞后速度與碰撞前速度的直接聯(lián)系.

質(zhì)心系 兩體碰撞 慣性系

1 研究的背景

兩體碰撞是物理教學(xué)和理論研究中常見(jiàn)的一類(lèi)問(wèn)題，是研究運(yùn)動(dòng)的物體相互作用的最簡(jiǎn)單模型，也是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)中非常重要的內(nèi)容.對(duì)此問(wèn)題，傳統(tǒng)的解法是對(duì)兩個(gè)物體碰撞前后的動(dòng)量和能量進(jìn)行分析，列出方程進(jìn)行計(jì)算，原則上可以解出最后結(jié)果，但是此方法因?yàn)樯婕暗蕉畏匠蹋?jì)算過(guò)程顯得繁瑣，且容易出錯(cuò).本文另辟蹊徑，以質(zhì)心坐標(biāo)系為橋梁，并結(jié)合坐標(biāo)圖像，建立起兩物體碰撞后的速度與碰撞前速度的聯(lián)系，并將最后的計(jì)算結(jié)論推廣到一般的情形中.較之于傳統(tǒng)的解法，此種方法避免了復(fù)雜的計(jì)算，在熟悉了推導(dǎo)過(guò)程后，可以直接將最后的計(jì)算結(jié)果運(yùn)用到所有的一維碰撞過(guò)程中.

2 質(zhì)點(diǎn)組和質(zhì)心系

對(duì)于單個(gè)質(zhì)點(diǎn)的受力和運(yùn)動(dòng)情況的研究，相信讀者已經(jīng)比較熟悉，而對(duì)于存在相互作用的多個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情形，情況看起來(lái)要復(fù)雜一些，為此，我們引入質(zhì)點(diǎn)組的概念，把由許多(有限或無(wú)限)相互聯(lián)系著的質(zhì)點(diǎn)所組成的力學(xué)體系叫做質(zhì)點(diǎn)組.

在對(duì)整個(gè)質(zhì)點(diǎn)組運(yùn)用動(dòng)力學(xué)基本定理時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)：在質(zhì)點(diǎn)組中恒存在一特殊點(diǎn)，它的運(yùn)動(dòng)很容易被確定.如果以這個(gè)特殊點(diǎn)作為參考點(diǎn)，又常能使問(wèn)題簡(jiǎn)化，我們把這個(gè)特殊點(diǎn)叫做質(zhì)點(diǎn)組的質(zhì)量中心，簡(jiǎn)稱(chēng)質(zhì)心C.

現(xiàn)說(shuō)明這個(gè)特殊點(diǎn)的位置是如何定出的[1].

假定有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)，它們的質(zhì)量是m1,m2,…,mn,位于P1,P2,…,Pn諸點(diǎn)，這些點(diǎn)相對(duì)某一指定的參考點(diǎn)O的位矢是r1,r2,…,rn，則質(zhì)心C對(duì)同一點(diǎn)O的位矢rC滿足以下關(guān)系

此即為質(zhì)心C相對(duì)于參考點(diǎn)O的位矢，以質(zhì)心C為原點(diǎn)建立的坐標(biāo)系稱(chēng)為質(zhì)心坐標(biāo)系，簡(jiǎn)稱(chēng)質(zhì)心系KCM.

3 兩物體碰撞前在質(zhì)心系中的速度

兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成最簡(jiǎn)單的質(zhì)點(diǎn)組，如圖1所示，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)的慣性參考系稱(chēng)K系，設(shè)質(zhì)點(diǎn)1和2碰撞前在K系的位矢分別為r10，r20，相對(duì)位矢為

r0=r10-r20

進(jìn)而可以得到質(zhì)點(diǎn)1和2碰撞前在K系中的速度分別為

圖1

引入相對(duì)速度的概念，在K系中兩質(zhì)點(diǎn)碰前的相對(duì)速度為

點(diǎn)C為質(zhì)點(diǎn)1和2的質(zhì)心，則質(zhì)心C應(yīng)在兩質(zhì)點(diǎn)的連線上，根據(jù)質(zhì)心位矢的定義，質(zhì)心C相對(duì)于K系的位矢為

則質(zhì)心C相對(duì)K系的速度vC為

結(jié)合相對(duì)運(yùn)動(dòng)的相關(guān)知識(shí)以及上面的坐標(biāo)圖像，可以建立兩質(zhì)點(diǎn)的位矢和速度矢量在K系和質(zhì)心系KCM之間的聯(lián)系.

位矢之間的關(guān)系為

上邊兩式同時(shí)對(duì)時(shí)間進(jìn)行求導(dǎo)，可以得到速度之間的關(guān)系如下

將上邊兩式相減得到

(1)

由此我們可以看到，兩質(zhì)點(diǎn)在K系中的相對(duì)速度與兩質(zhì)點(diǎn)在質(zhì)心系KCM中的相對(duì)速度相等，也就是說(shuō)，兩質(zhì)點(diǎn)之間的相對(duì)速度與參考系無(wú)關(guān).

下面來(lái)計(jì)算一下兩質(zhì)點(diǎn)在質(zhì)心系KCM中的總動(dòng)量

(2)

從上述結(jié)果我們可以看出兩質(zhì)點(diǎn)在質(zhì)心系KCM的總動(dòng)量為零，不難證明，對(duì)于多個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)組的情況，該結(jié)論仍然成立，因此我們經(jīng)常將質(zhì)心系又叫做零動(dòng)量系或者動(dòng)量中心系[3].

結(jié)合上述相對(duì)速度式(1)和總動(dòng)量為零的式(2)，可以得到質(zhì)點(diǎn)1和2在質(zhì)心系KCM的速度為

因此，結(jié)合坐標(biāo)圖像和相對(duì)運(yùn)動(dòng)的知識(shí)，我們就得到了質(zhì)點(diǎn)1和2碰前在質(zhì)心系KCM中的表達(dá)式.

4 兩物體碰撞后在質(zhì)心系中的速度

本文主要討論比較常見(jiàn)的對(duì)心碰撞，在對(duì)心碰撞中，兩質(zhì)點(diǎn)具有相對(duì)于質(zhì)心的點(diǎn)對(duì)稱(chēng)性，那么兩質(zhì)點(diǎn)在碰撞前后所有速度方向都沿兩質(zhì)點(diǎn)連線方向，據(jù)此，我們可以作出碰撞之后的坐標(biāo)圖像.

圖2

如圖2所示，碰撞后與碰撞前相比，質(zhì)點(diǎn)1和2關(guān)于質(zhì)心C點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，此時(shí)，質(zhì)點(diǎn)1和2在K系中的位矢分別為r1，r2，速度分別為

兩質(zhì)點(diǎn)之間的相對(duì)位矢為

相對(duì)速度為

容易證明，兩質(zhì)點(diǎn)碰撞之后在質(zhì)心系KCM中的總動(dòng)量也為零，因此兩質(zhì)點(diǎn)碰后的計(jì)算與兩質(zhì)點(diǎn)碰前的計(jì)算類(lèi)似，可以得到質(zhì)點(diǎn)1和2碰撞后在質(zhì)心系KCM中的速度分別為

因此，根據(jù)對(duì)心碰撞的點(diǎn)對(duì)稱(chēng)性以及結(jié)合圖像可以快速地得出兩質(zhì)點(diǎn)碰后在質(zhì)心系KCM中的表達(dá)式.

5 兩物體碰撞前后速度的聯(lián)系

在任何短暫的碰撞過(guò)程中，物體之間的內(nèi)力遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于外力，因而總可認(rèn)為，碰撞過(guò)程中系統(tǒng)的總動(dòng)量是守恒的，因此可以得到

m1v10+m2v20=m1v1+m2v2

所以，碰撞前后質(zhì)心C在K系中的速度相等

即碰撞前后質(zhì)點(diǎn)組的質(zhì)心速度保持不變.

牛頓總結(jié)了各種碰撞實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，引進(jìn)了恢復(fù)系數(shù)e的概念[2]，它定義為

根據(jù)點(diǎn)對(duì)稱(chēng)性，在質(zhì)心系KCM中，碰撞前的相對(duì)速度和碰撞后的相對(duì)速度方向彼此相反，因此有u=-eu0；利用此式，我們可以建立碰撞前后質(zhì)點(diǎn)組相對(duì)于質(zhì)心系的速度關(guān)系如下

因?yàn)榕鲎睬昂螅|(zhì)心C的速度vC保持不變，所以根據(jù)伽利略相對(duì)性原理，碰撞后質(zhì)點(diǎn)1和2在K系中的速度分別為

再將相對(duì)速度的表達(dá)式代入上式，就可以得出兩質(zhì)點(diǎn)碰撞后質(zhì)點(diǎn)的速度與碰撞前速度的關(guān)系

我們來(lái)看看該結(jié)論在兩類(lèi)常見(jiàn)碰撞情況中的運(yùn)用.

(1)完全彈性碰撞，e=1

m1v10+m2v20=m1v1+m2v2

聯(lián)立上述兩式或直接將e=1代入，可以得到碰后兩質(zhì)點(diǎn)的速度為

(2)完全非彈性碰撞，e=0

v1-v2=0

m1v10+m2v20=m1v1+m2v2

聯(lián)立上述兩式或直接將e=0代入，可以得到碰后兩質(zhì)點(diǎn)的速度為

6 小結(jié)

行文至此，本文利用質(zhì)心坐標(biāo)系和坐標(biāo)圖像法解決了一般的對(duì)心碰撞問(wèn)題.上述推導(dǎo)過(guò)程看似復(fù)雜，其實(shí)非常有規(guī)律可循，一步一步推導(dǎo)下來(lái)非常嚴(yán)謹(jǐn).再結(jié)合質(zhì)點(diǎn)的位矢坐標(biāo)圖像，不僅可以幫助檢驗(yàn)計(jì)算的結(jié)果，還有助于理解相關(guān)的計(jì)算結(jié)果，避免死記硬背.運(yùn)用質(zhì)心系的優(yōu)越性就在于其對(duì)稱(chēng)性，質(zhì)點(diǎn)組相對(duì)于質(zhì)心系的總動(dòng)量為零，以質(zhì)心系為橋梁，可以很好地建立兩物體在碰撞前后速度的關(guān)系，簡(jiǎn)化計(jì)算.希望本文能為廣大師生解決兩體碰撞問(wèn)題提供一些幫助.

1 周衍柏.理論力學(xué)教程.北京：高等教育出版社,2009. 84～852 趙凱華，羅蔚茵. 新概念物理教程:力學(xué).北京：高等教育出版社,2004. 127～130

3 馮奇勝.質(zhì)心參照系中兩體碰撞問(wèn)題的研究.物理通報(bào)，2001(6)：14～15

2015-10-13)