于梅菊，劉楠楠

(通化師范學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 通化 134000)

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關(guān)于極大P-投射模及其投射維數(shù)

于梅菊，劉楠楠

(通化師范學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 通化 134000)

該文在極大P-內(nèi)射模的基礎(chǔ)上構(gòu)造出了它的對(duì)偶模極大P-投射模，引入了極大P-投射維數(shù)的概念，并且研究了極大P-投射模及其投射維數(shù)的等價(jià)命題及其性質(zhì).

極大P-投射模；極大P-投射維數(shù);極大P-左半單環(huán)

環(huán)上的模是向量空間的推廣,最常用也是最基本的三大模類是投射模、內(nèi)射模、平坦模.由于投射模是自由模的自然推廣,而且投射模在對(duì)各種環(huán)如半單環(huán)、V環(huán)、完全環(huán)等的刻畫上起了很大的作用,正如利用Bear準(zhǔn)則對(duì)內(nèi)射模進(jìn)行延拓一樣,人們對(duì)投射模也進(jìn)行了相應(yīng)的延拓,例如文獻(xiàn)[1-4]分別構(gòu)造了P-投射模，F(xiàn)P-投射模、極大投射模、n-P投射模并且研究了它們的性質(zhì).所構(gòu)造出的新模,不僅保有了原投射模的一些良好的性質(zhì),而且利用它們可以更好地刻畫環(huán)的性質(zhì),研究環(huán)的結(jié)構(gòu).本文受文獻(xiàn)[5]的啟發(fā),定義了極大P-投射模,借助它進(jìn)一步構(gòu)造了極大P-投射維數(shù)和極大P-左半單環(huán)，并且刻畫了它們的性質(zhì).

本文所討論的環(huán)都是帶有單位元且存在極大左主理想的結(jié)合環(huán)，模指酉模.

1 極大P-投射模

定義1 若對(duì)R的每個(gè)極大左主理想I,及任意左R-模同態(tài)f∈HomR(M,R/I),都存在左R-模同態(tài)g∈HomR(M,R),使得圖1可交換,即f=πg(shù),則稱左R-模M為左極大P-投射模,簡(jiǎn)稱極大P-投射模.

顯然,自由模、投射模?P-投射模?極大P-投射模.

圖1 交換圖

由定義可以得到下面三條性質(zhì)

命題1 設(shè)R是任意環(huán),M是任意左R-模,則下列條件等價(jià):

(1)M是極大P-投射模;

(2)對(duì)任意左R-模正合列0→I→R→R/I→0,其中I是R的極大左主理想,有正合列0→HomR(M,I)→HomR(M,R)→HomR(M,R/I)→0;

證明 (1)?(2)M是極大P-投射模?對(duì)R的每個(gè)極大左主理想I,任意左R-模同態(tài)f∈HomR(M,R/I),都存在左R-模同態(tài)g∈HomR(M,R),使得f=πg(shù),即HomR(M,-)保持滿同態(tài),則有0→HomR(M,I)→HomR(M，R)→HomR(M,R/I)→0正合.

命題3 對(duì)任意左R-模正合列0→N1→N→N2→0,下列結(jié)論成立：

(1)若左R-模N1,N2為極大P-投射模,則左R-模N也為極大P-投射模;

證明 (1)對(duì)左R-模正合列0→N1→N→N2→0,使用長正合列定理可得

0→HomR(N2,I)→HomR(N,I)→HomR(N1,I)→

定義2 環(huán)R是V環(huán),如果環(huán)R的每個(gè)單左R-模都是內(nèi)射模.

定義3 環(huán)R是左主理想環(huán)，如果環(huán)R的每一個(gè)左理想都是主理想，而且沒有零因子.

定理1 若R既是左主理想環(huán)又是V環(huán),則對(duì)R的任意理想E是極大P-投射模.

證明 設(shè)I是環(huán)R的極大左主理想,對(duì)于任意的f∈HomR(E,R/I),由于R是左主理想環(huán),所以有R/I是單模,又因?yàn)镽是V環(huán),所以有R/I是內(nèi)射模,則一定存在g∈HomR(R,R/I),使得f=gi,由于R是投射模,所以存在h∈End(R),使得g=πh(π為自然投射),如圖2所示,因此有f=gi=πhi,即E是極大P-投射模.

圖2 交換圖

定義4 若每個(gè)左R-模M都是極大P-投射模,則稱環(huán)R是極大P-左半單環(huán).

定理2 R是環(huán),則以下命題等價(jià)：

(1)R是極大P-左半單環(huán);

(2)每個(gè)極大P-投射模的商模是極大P-投射模;

(3)每個(gè)P-投射模的商模是極大P-投射模;

(4)每個(gè)投射模的商模是極大P-投射模.

證明 (1)?(2)由于R是極大P-左半單環(huán),因此每個(gè)左R-模都是極大P-投射模,故每個(gè)極大P-投射模的商模也是極大P-投射模；(2)?(3)?(4)顯然；(4)?(1)設(shè)M是任意左R-模,由于任何左R-模都是某個(gè)一個(gè)投射模的同態(tài)像，所以存在投射模P,有正合列P→M→0,由(4)可知M是極大P-投射模,因此R是極大P-左半單環(huán).

2 極大P-投射模維數(shù)

由于每個(gè)模都是某一個(gè)投射模的同態(tài)像[7]，所以每個(gè)左R-模M都有投射分解,而投射模是極大P-投射模,所以每個(gè)左R-模M都存在極大P-投射模分解,即存在正合列…→Pn→Pn-1→…→P1→

P0→M→0，其中每個(gè)Pn都是極大P-投射模.

定義5 左R-模M的極大P-投射維數(shù)定義為

min{n/存在M的一個(gè)極大P-投射分解…→0→Pn→Pn-1→…→P1→P0→M→0}記作max.pd(M).若上述的n不存在,則max.pd(M)=∞.

顯然對(duì)任意左R-模M,有max.pd(M)≤pd(M).

命題4 若左R-模M是極大P-投射模當(dāng)且僅當(dāng)max.pd(M)=0.

證明 因?yàn)镸是極大P-投射模,則M有極大P-投射分解0→…→0→F0→M→0,其中F0=M,Fi=0(i≥i),那么max.pd(M)=0;反之設(shè)max.pd(M)=0,則M有一個(gè)極大P-投射分解0→…→0→F0→M→0,其中Fi=0(i≥i),因此F0?M,故M是極大P-投射模.

命題7設(shè)M是任意左R-模,則下列條件是等價(jià)的:

(1)max.pd(M)≤1；

(2)極大P-投射模的子模是極大P-投射模；

(3)有極大P-投射模F0,F1,使M?F0/F1.

證明 (1)?(2)設(shè)P0是極大P-投射模,P1是P0的子模,則有正合列0→P1→P0→P0/P1→0,由于對(duì)任意左R-模M,有max.pd(M)≤1,所以max.pd(P0/P1)≤1,則P1是極大P-投射模.

(2)?(1)設(shè)M是任意右R-模,則存在自由模F0,使正合列0→F1→F0→M→0成立,因?yàn)镕0是極大P-投射模,由條件(2)可知F1也是極大P-投射模,則有max.fd(M)≤1.

(1)?(3)顯然.

命題8 設(shè)M是左R-模,則下列條件等價(jià)

(1)max.pd(M)≤n；

(2)?(3)顯然；

[1]苗佳晶.關(guān)于P-投射模[J].吉林師范大學(xué)學(xué)報(bào),2007(3):109-110.

[2]黃影.關(guān)于FP-投射模[J].吉林師范大學(xué)學(xué)報(bào),2007(1):47-48.

[3]羅榮.關(guān)于極大投射模[J].四川師范大學(xué)學(xué)報(bào),2005,28(4):405-408.

[4]喬虎生,汪濤.n_P投射模與強(qiáng)P-投射模[J].西北師范大學(xué)學(xué)報(bào),2013,49(2):23-27.

[5]胡筱鷗.極大P-內(nèi)射模[J].商丘師范學(xué)院學(xué)報(bào),2008,24(12):46-48.

[6]Rotman J J. An Introduction to Homological Algebra[M].New York:Acad.Press,1979.

[7]周伯勛.同調(diào)代數(shù)[M].北京:科學(xué)出版社,1988.

(責(zé)任編輯:陳衍峰)

10.13877/j.cnki.cn22-1284.2016.08.010

2016-03-20

通化師范學(xué)院校級(jí)立項(xiàng)“關(guān)于內(nèi)射模和平坦模的研究”(201264)

于梅菊,女，吉林集安人,博士,講師．

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1008-7974(2016)04-0032-03