北京市第十二中學(xué)高中部 (100071)

劉 剛 趙 毅

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一道高考模擬圓錐曲線試題的探究與啟示

北京市第十二中學(xué)高中部 (100071)

劉 剛 趙 毅

1.試題

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P在y軸的右側(cè)．直線PA，PB與直線x=4分別相交于M,N兩點(diǎn)．若以MN為直徑的圓與x軸交于兩點(diǎn)E,F，求點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍及|EF|的最大值．

試題考查了直線的方程、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)以及以橢圓為背景的直線與圓的位置關(guān)系、弦長(zhǎng)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查了數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化、坐標(biāo)法、設(shè)而不求、整體代換等數(shù)學(xué)思想方法，檢驗(yàn)了學(xué)生運(yùn)算求解、推理、分析問(wèn)題與解決問(wèn)題等能力．試題以人為本，不在細(xì)枝末葉上難為學(xué)生，如不直接說(shuō)短軸長(zhǎng)為2，不給學(xué)生設(shè)陷阱．試題重點(diǎn)知識(shí)突出，綜合性強(qiáng)，解法靈活，不落俗套，是一道不折不扣的好題，對(duì)復(fù)習(xí)備考具有重要借鑒意義．

2.解法探究

解決解析幾何問(wèn)題首先要根據(jù)已知條件畫(huà)出相應(yīng)圖形，這是獲取解題思路的重要參照，有時(shí)圖一畫(huà)出來(lái)，試題就解決了一半，如同蓋樓要先畫(huà)圖紙一樣．在第(2)問(wèn)中，難點(diǎn)是如何在圓與x軸相交的基礎(chǔ)上求出點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍，這是解答本題的關(guān)鍵所在．在考慮直線與圓位置關(guān)系時(shí)，通常有代數(shù)法和幾何法兩種，本題從圖形特點(diǎn)出發(fā)還可以利用點(diǎn)的坐標(biāo)異號(hào)、極限思想、射影定理、相似三角形等方法，具體如下：

圖1

思路一：借助圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

點(diǎn)評(píng):解法1利用代數(shù)法判斷直線與圓的位置關(guān)系，即聯(lián)立直線與圓的方程得到一個(gè)一元二次方程，然后結(jié)合方程特點(diǎn)進(jìn)行判斷，當(dāng)然大多時(shí)候要借助判別式進(jìn)行判斷．

點(diǎn)評(píng)：解法2把判斷直線與圓相交的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為了判斷直線上的一個(gè)點(diǎn)在圓內(nèi)即可，解法抓住點(diǎn)(4,0)是直線上一個(gè)定點(diǎn)進(jìn)行判斷．

思路二：利用點(diǎn)M,N的縱坐標(biāo)異號(hào)

圖2

點(diǎn)評(píng)：解法3結(jié)合已知條件與圖形特點(diǎn)，直線與圓相交轉(zhuǎn)化為了點(diǎn)M,N的縱坐標(biāo)異號(hào)從而得到點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍．

思路三：利用極限思想

圖3

點(diǎn)評(píng)：本題是一道動(dòng)態(tài)問(wèn)題，在考慮點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍時(shí)先轉(zhuǎn)化為圓與x軸相切時(shí)的情形，算出此時(shí)點(diǎn)P橫坐標(biāo)，這就是一個(gè)邊界值，從而快速得到了結(jié)果．

思路四：利用圓心到直線的距離小于半徑

點(diǎn)評(píng)：解法5利用圓心到直線的距離小于圓的半徑進(jìn)行判斷，利用圓心到直線的距離與半徑的比較是斷定直線與圓位置關(guān)系時(shí)優(yōu)先考慮的方法．

思路五：利用射影定理

圖4

點(diǎn)評(píng)：解法6通過(guò)添加輔助線，構(gòu)造出了利用射影定理的情形，加深了對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)．

圖5

思路六：利用相似三角形

點(diǎn)評(píng)：解法7沒(méi)有盲目代數(shù)計(jì)算，先分析圖形特征，從幾何的方面著手考慮，減少了計(jì)算量．在解決解析幾何問(wèn)題時(shí)，通常先挖掘圖形特點(diǎn)，找出幾何特征，然后再適時(shí)進(jìn)行代數(shù)計(jì)算，這樣才能保證過(guò)程簡(jiǎn)捷，減少運(yùn)算量，從而有效提高正確率．

3.試題推廣

圖6

圖7

4.教學(xué)啟示

在解答解析幾何問(wèn)題時(shí)，很多老師都讓學(xué)生遵循“先聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，然后寫(xiě)出根系關(guān)系，再列出判別式大于0”的解題思路，讓大多數(shù)學(xué)生拿到基本分?jǐn)?shù)．這顯然是讓學(xué)生追求某種解題技巧，雖然有其優(yōu)點(diǎn)，但是缺點(diǎn)也很明顯，那就是思維僵化，學(xué)生會(huì)形成一種思維定勢(shì)，如果這三板斧行不通，學(xué)生往往束手無(wú)策．為了避免題海戰(zhàn)、死記硬背等策略，使師生真正從題海中解放出來(lái)，北京近幾年高考理科圓錐曲線解答題都回避了聯(lián)立法，讓學(xué)生解真正的數(shù)學(xué)題，這樣才能檢驗(yàn)學(xué)生靈活的解題思路與創(chuàng)新能力，海淀這道模擬試題體現(xiàn)了這樣的理念．因此在教學(xué)中，教師不過(guò)度強(qiáng)調(diào)某種解題技巧與解題思路，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)思考、聯(lián)想、轉(zhuǎn)化，善于從多角度解決問(wèn)題，分析比較各種方法的優(yōu)劣，及時(shí)歸納總結(jié)基本的解題規(guī)律，抓住問(wèn)題的本質(zhì)特征，培養(yǎng)學(xué)生研究、探索問(wèn)題的能力．

[1]劉剛，趙毅．一道高考解三角形試題的多解與感悟[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)研究(江西)，2016，6．

[2]劉剛，趙毅．一道高考導(dǎo)數(shù)試題的剖析與思考[J]．中小學(xué)數(shù)學(xué)，2016，1-2．

*作者現(xiàn)為聊城大學(xué)2016級(jí)研究生.